探究立體幾何中的存在性問題

■江蘇省高郵市第一中學 陳 麗

立體幾何中的存在性探索問題,內涵豐富,立意新穎,形式多變,一直是新高考數學試卷中的一大熱點問題。此類問題背景新穎,具有開放性、靈活性、探究性及創新性等特點,無法套用統一的解題模式,同時體現了“開放探索,考查探究精神,開拓展現創新意識的空間”的高考命題指導思想與命題原則,成為高考數學試題中一道亮麗的風景線。

一、點的存在性問題

例1如圖1,已知△ABC是邊長為3 的等邊三角形,E,F分別在邊AB,AC上,且AE=AF=2,M為BC邊的中點,AM交EF于點O。沿EF將△AEF翻折到△DEF的位置,使得DM=

圖1

(1)證明:DO⊥平面EFCB。

(2)若平面EFCB內的直線EN∥平面DOC,且與邊BC交于點N。試問:在線段DM上是否存在點P,使得二面角P-EN-B的大小為60°? 若存在,則求出點P;若不存在,請說明理由。

解析:(1)在△DOM中,易得DO=,OM=,而DM=,則DM2=DO2+OM2,故DO⊥OM。又因為AE=AF=2,AB=AC=3,所以EF∥BC。又M為BC邊的中點,所以AM⊥BC,所以DO⊥EF。因為OM∩EF=O,OM,EF?平面EFCB,所以DO⊥平面EFCB。

(2)連接OC,過E作EN∥OC交BC于N。因為OC?平面DOC,EN?平面DOC,所以EN∥平面DOC。又OE∥CN,所以四邊形OENC為平行四邊形,可得OE=NC=1。

圖2

由題意知平面ENB的一個法向量為n=(0,0,1),又因為二面角P-EN-B的大小為60°,所 以cos 60°=|cos|=

點評:涉及立體幾何中點的存在性的探索與判斷問題,往往先假設對應的點存在,借助參數的引入,利用線段的比例關系或向量的線性關系的構建,通過幾何法進行分析與推理,或利用向量法進行分析與運算,進而求出對應的參數值是否滿足題設背景,從而得以探索與判斷點的存在性。

二、參數的存在性問題

例2如圖3,在幾何體ABCDEF中,平面CDEF⊥平面ABCD,∠EAD=60°,四邊形CDEF為矩形。在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD。

圖3

(1)點G在線段BE上,且是否存在實數μ,使得AG∥DF? 若存在,求出μ的值;若不存在,請說明理由。

(2)點P在線段DF上,求直線BP與平面ABE所成角的正弦值的取值范圍。

解析:因為四邊形CDEF為矩形,所以CD⊥DE。因為平面CDEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,DE?平面CDEF,所以DE⊥平面ABCD。

不妨設AB=BC=2AD=2,所以在△ADE中,有DE=ADtan∠EAD=3。

圖4

點評:涉及立體幾何中參數的存在性的探索與求解問題,往往直接利用對應的參數值的關系式,從幾何法或向量法視角切入,結合空間位置關系的判斷與推理、空間角的求解與運算等加以分析,進而求解相關參數值,對比題設條件與背景,加以合理探索與求解參數的存在性。

立體幾何中的存在性探索問題,往往通過立體幾何背景的巧妙設置,判斷在某些確定的條件下的某一立體幾何對象(位置、圖形、數值等)的存在性問題,先假設存在,再利用數學運算或邏輯推理,無矛盾則存在,有矛盾則不存在,可以全面考查考生的空間想象能力與邏輯推理能力,有利于考查考生的數學素質和創新能力,檢測考生的學習潛能,具有很好的選拔性與區分度。