夯實基礎，多管齊下
——談立體幾何中三類角的求解策略

■安徽省蕪湖市第十二中學 夏旭東

立體幾何問題綜合考查同學們的空間想象、邏輯推理和數學運算等能力,其中“空間角”是高考每年必考內容,高考對“空間角”的考查,包括三類:線線角、線面角和面面角。空間直角坐標系的引入,使得空間向量坐標法以定量的計算代替了純幾何法的定性分析,以程序化的算法替代了繁難的推理論證。對于空間幾何體本身不具備垂直關系,或圖形本身不易建立空間直角坐標系,或雖能建系卻不易求出點的坐標的立體幾何問題,同學們往往束手無策,這一現象成為目前同學們學習立體幾何亟待解決的問題。事實上,在很多有關立體幾何空間角的問題中,綜合幾何法或基底法比通過建系使用向量坐標法求解更加便捷,解題效率更高。下面筆者通過幾道例題與讀者交流,以期拋磚引玉。

一、異面直線所成角的求法

1. 定義法(平移法)

解題策略:(1)平移:①利用圖中已有的平行線平移;②利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;③補形平移。(2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角或其補角。(3)尋找:在立體圖形中,尋找或者作出含有此角的三角形,并解之。(4)取舍:所作的角為鈍角時,應取它的補角作為異面直線所成的角。

例1如圖1,P是平面ABC外一點,PA=4,BC=2,D,E分別為PC,AB的中點,且DE=3,則異面直線PA與BC所成角的大小為____。

圖1

解析:如圖2,取AC的中點為F,連接DF,EF。在△PAC中,因為D是PC的中點,F是AC的中點,所以DF∥PA,同理可得EF∥BC,所以∠DFE為異面直線PA與BC所成的角(或其補角)。在△DEF中,DE=3,又DF==2,EF,則DE2=DF2+EF2,所以∠DFE=90°,即異面直線PA與BC所成的角為90°。

圖2

例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小。

解法1:如圖3,連接A1C1,B1D1,交點為O,取DD1的中點為G,連接OG,A1G,C1G,則OG∥B1D,EF∥A1C1,所以∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)。因為GA1=GC1,O為A1C1的中點,所以GO⊥A1C1,故異面直線DB1與EF所成的角為90°。

圖3

解法2:如圖4,連接A1D,取A1D的中點為H,連接HE,則HE∥DB1,HE=DB1,所以∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)。連接HF,設AA1=k(k>0),則EF=,HE=,取A1D1的中點為I,連接HI,IF,則HI⊥IF,所以HF2=HI2+IF2=,所以HF2=EF2+HE2,所以∠HEF=90°,故異面直線DB1與EF所成的角為90°。

圖4

解法3:如圖5,連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點M,N,連接MN。因為E,F分別是A1B1,B1C1的中點,所以EF∥A1C1。又MN∥A1C1,所以MN∥EF。連 接DM,B1N,MB1,DN,則B1N∥DM,B1N=DM,所以四邊形DMB1N為平行四邊形,所以MN與DB1必相交,設交點為P,則∠DPM為異面直線DB1與EF所成的角(或其補角)。設AA1=k(k>0),則MP=,DM=DP=,所 以DM2=DP2+MP2,則∠DPM=90°,故異面直線DB1與EF所成的角為90°。

圖5

2.向量法

若兩異面直線的方向向量為a,b,則兩異面直線所成角θ滿足cosθ=

例3如圖6,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別是PC,PB的中點。

圖6

(1)求證:PB⊥DM;

(2)求異面直線AC與PD所成角的余弦值。

解析:(1)證明過程略。

二、直線與平面所成角的求法

1.定義法

解題策略:(1)作:在斜線上選取恰當的點,過該點向平面引垂線,作出所求的角,其中確定垂足的位置是關鍵;(2)證:證明所作的角為直線與平面所成的角;(3)求:構造角所在的三角形,利用三角形的知識求角。

2.公式法

已知h為斜線上除垂足外的任一點到所給平面α的距離,l為該點到斜足的距離,θ為斜線與平面α所成的角,則sinθ=

3.向量法

已知AB為平面α的斜線,n為平面α的法向量,θ為斜線與平面α所成的角,則sinθ

例4如圖7,已知多面體ABC-A1B1C1中,AA1,BB1,CC1均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,AA1=4,CC1=1,AB=BC=BB1=2。

圖7

(1)證 明:AB1⊥平 面A1B1C1;

(2)求直線AC1與平面ABB1所成角的正弦值。

解析:(1)證明過程略。

圖8

圖9

三、二面角的求法

1.定義法

在二面角的公共棱上找一個特殊點,過該點在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線,這兩條射線所夾的角為二面角的平面角。

2.垂面法

過棱上一點作棱的垂面,該平面與二面角的兩個半平面的交線所形成的角即為二面角的平面角。

3.垂線法(三垂線定理法)

過二面角的一個半平面內一點作另一個半平面的垂線,過垂足向棱引垂線,利用三垂線定理找出所求二面角的平面角或其補角。

4.向量法

利用公式cos=n2分別為兩個平面的法向量)進行求解,注意與二面角大小的關系,是相等還是互補,需要結合圖形進行判斷。

例5如圖10,在多面體ABC-A′B′C′中,AC=BC=且AC⊥BC,D為AB的中點,AA′⊥平面ABC,AA′∥BB′∥CC′且AA′=BB′=CC′=1。

圖10

(1)證 明:AB′⊥平 面A′DC;

(2)求平面AB′C′與平面ABC所成的銳二面角的余弦值。

解析:(1)證明過程略。

(2)方法1:如圖11,因為BC∥B′C′,BC?平 面AB′C′,B′C′?平面AB′C′,所以BC∥平面AB′C′。因為BC?平面ABC,設平面AB′C′∩平面ABC=l,則l∥BC。因為BC⊥AC,所以BC⊥平面ACC′,所以l⊥平面ACC′,所以∠CAC′為平面AB′C′與平面ABC所成的銳二面角的平面角,因為cos∠CAC′=所以平面AB′C′與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為

圖11

圖12