與圓錐曲線切線有關的考題的命制與解析

劉大鵬

(遼寧省黑山縣第一高級中學 121400)

1 以阿基米德三角形為素材命制試題

定義1拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形叫做阿基米德三角形.

1.1 考查阿基米德三角形底邊中線性質

例1 (自編題)P是直線x=-1上的動點，過點P引拋物線y2=4x的兩條切線PA，PB，A，B為切點，F(1,0),AB中點為M，則( ).

A.直線AB過點F

B.當點P在x軸上時，|AB|最小

C.PF⊥AB

D.PM⊥y軸

性質1 阿基米德三角形底邊(即切點弦)的中線平行于拋物線的軸或在拋物線的軸上.(證明見文[1]).

1.2 考查阿基米德三角形底邊所在直線方程

例2(根據2019年全國Ⅲ卷文改編)已知拋物線C:x2=2y,D(2,-3),過點D向C引切線DA,DB,A,B為切點，則直線AB方程是____.

答案2x-y+3=0.

規律①設P(x0,y0)是圓錐曲線Γ：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上任意一點，求以點P為切點的切線方程.

②設P(x0,y0)是圓錐曲線Γ：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0外任意一點，過點P引切線，M,N為切點，求切點弦直線MN方程.

1.3 考查阿基米德三角形面積的最大值

例3 (根據2021年全國乙卷理21改編)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F,F與圓M:(x+3)2+y2=1上點的距離的最小值為3.

(1)求p的值；

(2)點P在⊙M上，PA，PB是C的兩條切線，A,B是切點，求S△PAB的最大值.

設A(x1,y1),B(x2,y2),PA:y1y=2(x+x1),PB:y2y=2(x+x2),代入點P坐標，得

y0y1=2(x1+x0),y0y2=2(x2+x0).

所以A,B兩點都在直線y0y=2(x+x0)上.

所以(S△PAB)max=32.

1.4 考查阿基米德三角形頂點軌跡方程

(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程；

(2)過點F作直線交拋物線C2于M,N兩點，過M,N分別作拋物線C2的切線l1,l2,求l1,l2交點Q的軌跡方程.

所以p=2,即拋物線方程為x2=4y.

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),MN:y=kx+1,則

l1:x1x=2(y+y1),l2:x2x=2(y+y2).

由韋達定理，得x1+x2=4k,x1x2=-4.

所以點Q的軌跡方程為y=-1.

2 以橢圓的內切圓為素材命制試題

(1)求橢圓C的方程;

(m2+3)y2+2mny+n2-3=0.

由韋達定理，得

所以m2=n2-1=1.

3 以橢圓的基圓為素材命制試題

(1)求橢圓方程；

(2)是否存在圓心在原點的圓，使圓的任意一條切線都與橢圓恒有兩個交點A，B且OA⊥OB，若存在，求圓的方程并求|AB|的取值范圍，若不存在，說明理由.

所以存在圓x2+y2=2滿足題意.