一道平面向量數(shù)量積最值問題的多解

王昌林

(四川電影電視學院實驗中學 611331)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

2 試題溯源

試題溯源可以幫助解答者加深對問題的認識，從而尋求更多的解答方式.向量數(shù)量積問題是高考的熱點問題，最小值問題深受命題者青睞.弄清問題的源頭，對于問題的多角度、多方法求解可以起到事半功倍的效果.

評注例題與上海卷第8題都是向量數(shù)量積的雙動點問題，并且兩動點之間都是固定距離且兩向量的起點都是固定的，兩者的區(qū)別僅在于例題中向量的起點是位于同側的，上海卷第8題是位于異側，但兩者的解答方式與思想方法都是十分類似的.

圖2

評析本例中點E為邊CD上的動點，點E相對于兩定點A，B；例題中點D為相對于兩距離固定的動點M，N的定點.運動是相對的，將兩定點A，B相對于動點E運動看作距離固定的兩點A，B為相對于點E動點時，也就是例題.在2015，2016，2018，2019年天津卷中文理科都考了向量的數(shù)量積，其中2015年文科14題與2018年理科第8題都是向量的數(shù)量積的最小值問題.

3 試題多解

3.1 考慮基底法

何為基底法？即用兩條不共線的非零向量表示這一平面內(nèi)所有向量的方法.在具體問題中，往往不能直接對問題所求向量進行運算，這時就需要運用基底法將所求向量進行合理轉化，最終方便運算.

解法1如圖3所示，連接AM.

圖3

因為AB=3，BC=6，∠B=60°，

3.2 考慮解析法

建立坐標系是解決向量數(shù)量積問題的常用方法，也是大多數(shù)同學喜歡的方法之一.通過建立合適的平面直角坐標系，將所求向量用坐標表示，向量數(shù)量積的最值問題也就轉化為了函數(shù)的最值問題.

解法2以點B為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖4所示平面直角坐標系，所以B(0,0).

圖4

設M(t,0)，N(t+1,0)，則

所以當t=2時存在最小值.

評注由解法2中所設M(t,0)，N(t+1,0)可以看出，并不是所有點的坐標都是已知的，因此需要設點的坐標.為了運算方便且過程簡潔，在設點時應當注意挖掘點的特殊性以及點與點之間的關系，盡量減少未知數(shù)個數(shù).

3.3 考慮余弦定理求兩向量夾角余弦值

許多時候，向量數(shù)量積不能直接運算的主要原因不在于向量模長的求取，而是兩向量夾角余弦值的未知.運用三角形余弦定理可以較為方便地求出夾角的余弦值，因此，將余弦定理與向量數(shù)量積公式相結合.具體如下：

又因為DM與DN為△MDN的邊長，且三角形存在，

所以有DM2+DN2≥2DM·DN.

評注若是已知兩向量模長，運用余弦定理可以求得其夾角的余弦值，這樣也就可以有效解決兩向量夾角余弦值未知或難求的問題.關鍵在于正確運用余弦定理將兩向量夾角的余弦值進行轉化.

3.4 考慮將雙動點轉化為單動點

圖5

評注例題中點M與點N雖為雙動點，但兩點之間的距離是固定的，因此運用向量加法的三角形法則將動點M與動點N轉化為它們的中點E，解法4亦可看作是分點恒等式的應用.

3.5 考慮向量中值定理

解法5如圖5所示，取MN中點E并連接DE.

因為點E為MN中點，

由向量中值定理可知

評注向量中值定理是一個較為常用但是往往被忽略的一個定理，在平行四邊形中利用余弦定理可以得到中值定理.

3.6 考慮極化恒等式

由極化恒等式,得

解法7如圖6所示，構造DMGN.根據(jù)平行四邊形四邊對角線平方和定理可知

DG2+MN2=2DM2+2DN2.

圖6

因為DM2+DN2≥2DM·DN，

所以當DM=DN時，DG最短.

3.7 考慮對棱角公式

對棱角公式在平面四邊形ABCD中，有

解法8如圖7所示，過點A作DM的平行線交BC于點G，連接AN，DG.

圖7

因為AD∥BC，所以四邊形ADMG為平行四邊形.

由對棱角公式知四邊形ADNG中有

因為GN=GM+MN=2，

則GN2=4，AD2=1.

因為AN2+DG2≥2AN·DG，

所以當AN=DG時，AN2+DG2有最小值.

根據(jù)已有條件易得AN=DG=3.

評注對棱角公式可以將向量的運算關系轉化為簡單的線段長度的運算關系，不僅在平面上有應用，在空間中的運用更廣.

3.8 考慮對角線向量定理

在四邊形ABCD中，有

解法9如圖8所示，連接AM，構造以AD為邊且以點M為對角線交點的平行四邊形.

圖8

因為四邊形ADNM為平行四邊形，

由對角線向量定理可知

因為AD=EF=1，

評注對角線向量定理可以說就是向量數(shù)乘余弦定理的組合或推導結論，在各地的高考試題都有所體現(xiàn).

縱觀歷年高考向量題，是沒有屢試不爽的通法妙招的.解答向量數(shù)量積最值問題的方法可以是多樣的；除常規(guī)的基底法與解析法以外，可充分利用平面向量幾何意義從而構造幾何圖形，以及運用極化恒等式、向量中值定理、對棱角公式等恒等式進行解答.