對(duì)一道平面向量高考?jí)狠S題的研究與思考

李忻玙

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué) 830002)

平面向量將代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合起來，是數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)案例.在解題中，我們也應(yīng)該從代數(shù)、幾何、三角等展開聯(lián)想，不能孤立地看待問題，不能在代數(shù)條件下無視圖形的存在，也不能在已知的幾何圖形中，忘記了代數(shù)運(yùn)算.否則，對(duì)于一些壓軸題，我們將難以順利、正確解答.

1 題目呈現(xiàn)

2 思維受阻

希望通過前一個(gè)方程消去x或y，在①中建立關(guān)于y或x的函數(shù)，依托冪函數(shù)和二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求得最大值.思路很清晰，但是解法在消元一步擱淺了，用x不能表達(dá)y，用y也表達(dá)不了x.于是我開展了研究性學(xué)習(xí)，研學(xué)課本，查閱資料，了解新舊高考題型，以及與平面向量有千絲萬縷聯(lián)系的其它知識(shí)，借此機(jī)會(huì)深度學(xué)習(xí)平面向量，達(dá)到理清此題的來龍去脈的目的，也好提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3解法探究

視角1 以向量三角不等式放縮為突破口.

視角2 以三角函數(shù)為突破口.

(x-3)2+y2=1.

評(píng)析鑒于最初解法思維受阻，我在卡點(diǎn)處進(jìn)行了技術(shù)處理，通過參數(shù)方程、三角換元，使得先前消元步驟順利推進(jìn)，展示了三角函數(shù)的工具性，這也是向量與三角的內(nèi)在聯(lián)系.我也初步體會(huì)到教材在“三角函數(shù)”后安排“平面向量”的深刻用意.

視角3 以幾何關(guān)系為突破口.

解法3 由解法1知

圖1

圖2

評(píng)析以上兩解法緊扣公式|a+b|≤|a|+|b|的等號(hào)成立的條件，找到兩向量共線同向的具體位置，數(shù)形結(jié)合，凸顯了小題小做，小題速做的高考原則.

視角4 構(gòu)造方程求最值.

解法5 由前文知?jiǎng)狱c(diǎn)D(x,y)滿足

(x-3)2+y2=1.

②

③

④

將④代入②,得

28x2-(104+8t2)x+t4+8t2+112=0.

Δ=(104+8t2)2-4×28(t4+8t2+112)≥0，

評(píng)析本解法引進(jìn)了參數(shù)，滲透了函數(shù)與方程的思想，克服了直接換元的困難.雖然運(yùn)算量增大了，但是其間的主元與輔元，設(shè)參與消元的思想還是富有數(shù)學(xué)的辯證關(guān)系的，對(duì)于類似的很多問題都有思路指引.

4 鏈接高考

高考中，類似的以平面向量為背景的最值問題還有很多，解法也五花八門，多多研究，大有裨益，下面例舉幾例.

A.6 B.7 C.8 D.9

注此題宜用向量三角不等式解答，參考答案是B.

注此題宜用三角換元解答，參考答案是A.

A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)

注此題宜用幾何意義解答，參考答案是A.

5 解后反思

眾所周知，高考題源于教材又高于教材.因此解完此題后，我又仔細(xì)查閱了教材(人教2019A版)必修二第六章.教材的第38頁的“平面向量的應(yīng)用”對(duì)我啟發(fā)很大，它滲透了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，給出了應(yīng)用平面向量解決代數(shù)問題、幾何問題、物理問題、生活問題的基本方法，感受了平面向量的強(qiáng)大功能，就像一條力量無限的“魔線”，將很多看似無關(guān)的知識(shí)、方法緊緊地串在一起.

教材第42頁的正余弦定理的證明，讓我體會(huì)到了用平面向量證明問題的簡潔與方便，我們不僅要學(xué)會(huì)定理本身，更重要的是要學(xué)會(huì)如何構(gòu)造知識(shí)背景，應(yīng)用平面向量知識(shí)解決問題，掌握其方法內(nèi)涵.

教材第53頁“綜合運(yùn)用”的第11題，給出了坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的公式，我們不僅要知曉此結(jié)論，應(yīng)用于解題，更重要的是要證明該公式.盡管教材沒提這個(gè)要求，但是我們要主動(dòng)探究，厘清本質(zhì)，知道是什么，還要明白為什么，提升我們應(yīng)用知識(shí)的能力，這也許就是高于教材的高考要求吧.

教材第63頁“數(shù)學(xué)探究”——用向量法研究三角形的性質(zhì)，讓我耳目一新，一方面知道了“四心”的真面目，另一方面感受了平面向量的無所不能，難怪高考?jí)狠S小題常有平面向量的身影，其實(shí)教材已經(jīng)給出信號(hào)，可惜我們還未感知、領(lǐng)悟.