平面幾何中垂直的證明方法

耿 永

(貴州省遵義市第十八中學 563099)

1 原題呈現

圖1

2 試題解析

解法1如圖2，取AB中點E，連接DE,CE,DB.

因為AB∥CD,AB=2,CD=1,

所以CD∥BE且CD=BE.

所以四邊形DCBE為平行四邊形.

又BC=BE=1,

所以四邊形DCBE為菱形.

圖2

所以BD⊥CE.

同理可證：四邊形AECD為平行四邊形.

所以AD∥CE.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

解法2由AD=CD=BC=1，AB∥CD知四邊形ABCD為等腰梯形.

所以∠DAB+∠DCB=180°.

所以cos∠DAB=-cos∠DCB.

在△ABD和△CBD中，由余弦定理知

所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

圖3

所以BD2=DE2+EB2=3.

因為AD=1,AB=2,

所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

解法4 如圖4，取BD中點E，連接CE.

在△BCD中，CD=BC=1，所以CE⊥BD.

即∠DEC=90°.

圖4

因為AB∥CD,所以∠EDC=∠DBA.

所以△DEC∽△BDA.

所以∠BDA=∠DEC=90°.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

解法5 如圖5，取AB中點E，連接DE.

易知CD∥BE且CD=BE.

圖5

所以四邊形DCBE為平行四邊形.

所以BC=DE=1.

又AD=AE=1，所以△ADE為正三角形.

即∠DAE=60°.

在△DAB中, 由余弦定理知

BD2=12+22-2×1×2cos60°.

因為AD=1,AB=2,

所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

解法6 由解法5知DE=1.

即ED=EA=EB.

所以點D在以E為圓心，AB為直徑的圓上.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

解法7 由解法5知△ADE，△DEC，△BEC均為正三角形.所以∠DCB=∠DCE+∠ECB=120°.

因為AD=1,AB=2,所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD， 所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

圖6

即BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

圖7

因為AD=1,AB=2,所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

解法10如圖8，由AB=2，AD=CD=BC=1，AB∥CD，知四邊形ABCD是以1為邊長的正六邊形的一半.

圖8

所以A,B,C,D四點共圓，且以AB為直徑.

所以BD⊥AD.

因為PD⊥面ABCD， 所以PD⊥BD.

因為PD∩AD=D，PD,AD?面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.

通過以上十種證明垂直的方法，涉及到的解題方法有：勾股定理的逆定理、四點共圓問題、正余弦定理、三角形的相似等，希望同學們從中可以受到啟發，對以后相關題目具有指引作用.