一個由特殊到一般的過程
——一道圓錐曲線題的本質

馬必武

(福建省福鼎市第一中學 355200)

由特殊到一般的過程經常在教材中出現，比如：在研究指對數函數時先是由特殊的函數入手研究它們的性質然后推廣到一般的情況.在圓錐曲線這一塊內容的教學中我們也應該有這種由特殊到一般的思想.即當我們解決了有關橢圓或拋物線或雙曲線的題目后，是否應該思考，這一結論能否推廣到一般的情況，當我們嘗試推廣時會有意外的發現.下面以一道題為例進行說明.

1 題目呈現

圖1

(1)求橢圓E的方程

(2)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q,試探究:在x軸上是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M,若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.

2 解法探析

(2)假設在x軸上存在M(t,0)滿足條件.依題意設P(x1,kx1+m),Q(4,4k+m),

由已知可得m≠0.因為以PQ為直徑的圓過點M,所以∠PMQ=90°.

所以(t-x1,-kx1-m)·(t-4,-4k-m)=0.

即(t-x1)(t-4)+(-kx1-m)(-4k-m)

=0.

①

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

因為只有一個公共點P,所以Δ=0.

即(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0.

化簡,得-m2+3+4k2=0.

②

③

將②③式代入①化簡,得

④

當t-1=0且t2-4t+3=0時④式恒成立.

即t=1,所以M(1,0).

檢驗:當點M的坐標為(1,0)時,能使以PQ為直徑的圓過點M.

3 題目引申

對于一般的橢圓方程這一性質也符合.

圖2

證明設橢圓上點P(x1,y1),右焦點F(c,0).

系統根據用戶的需求定義了一系列的訪問控制規則，下面我們就詳細闡述一下訪問控制規則。訪問控制規則包括三個元素：敏感話題（ST）、請求者的類型（RC）、訪問水平（AL）。用戶可以根據自己的隱私偏好選擇他想保護的敏感話題，敏感話題列表由在線社交應用提供，用戶在使用前對自己想要保護的話題進行選擇就可以。用戶還需要將自己社交應用上的好友根據親密程度或者信任程度進行分類，然后根據好友的親密程度將每個敏感話題的訪問水平與請求者類型進行對應。通過這種方式，用戶就可以對自己的隱私信息進行控制，不同類型的請求者訪問到的隱私消息的水平不同。下面的三元組就是一個訪問控制規則：

所以以PQ為直徑的圓過橢圓的右焦點.

上述引申1的逆命題也是成立的.

圖3

又因為過點P(x1,y1)的橢圓切線方程為

將點Q代入時滿足該方程.

所以PQ為橢圓的切線方程.

其實在這個推廣中有四個要素，切線、焦點、準線、垂直.只要知道三個要素，就可以證明或求另一個要素(所謂知三求一).

那在雙曲線和拋物線中是否也成立呢？

答案是肯定的.(讀者可以試著證明)

這樣我們就得到:

引申3 過圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)上一點M作該圓錐曲線的切線交準線于點P,則以MP為直徑的圓過相應圓錐曲線的焦點.

先證一個引理: 如圖4，直線l交圓錐曲線于點M,N,交其準線于點P,連接MF交曲線于點E,連接NF,PF.求證:PF平分∠NFE.

圖4

先說明圓錐曲線的統一定義,即：圓錐曲線上的點到焦點的距離與該點到相應準線的距離之比為離心率.

證明如圖4,過點M,N分別作準線的垂線交準線于點M1,N1,由圓錐曲線的統一定義，得

由外角平分線定理的逆定理知PF平分∠NFE.

下面證明引申3:

由上述引理的證明可知:當直線l與圓錐曲線相交變為相切時,即M,N兩點重合為一點時,∠NFE變為平角(即變為∠MFE),此時PF平分∠NFE,也就平分平角,所以PF⊥ME,即PF⊥MF.所以以MP為直徑的圓過相應的焦點.

到此可以發現引申3應該是原題目的本質，即一般性結論，同樣也是知三求一的.

4 一般性結論的應用

例題如圖5,設點F是圓錐曲線C的一個焦點,直線l是相應于焦點F的準線,設過焦點F的直線l′交曲線C于A,B兩點,曲線C在A,B兩點處的切線分別為l1,l2,證明:兩切線的交點K一定在準線l上.

圖5 圖6

證明假設兩切線的交點K不在準線l上,那么設l1與準線l的交點為K1,l2與準線l交點為K2,如圖6.因為l1為切線,所以由引申3得K1F⊥l′.

同理得K2F⊥l′.

因為過點F不可能有兩條直線垂直于l′.

所以假設不成立.

所以兩切線的交點K一定在準線l上.

至此，我們從一道橢圓的題目出發得到一般的圓錐曲線也符合這一性質即得到一般性的結論，這樣我們經歷了一個由特殊到一般的思維過程，在這個過程中如果能和學生一起研究，那么對培養學生思維很有幫助.