也談函數(shù)零點問題中如何“找點”

殷 慧

(江蘇省建湖縣第二中學(xué) 224700)

函數(shù)零點問題是新高考中的常見題，經(jīng)常處于壓軸題的位置.幾乎很少同學(xué)在函數(shù)零點問題上能寫對、寫全.究其原因，絕大多數(shù)是因不會“找點”.“找點”的前提是準確把握零點存在性定理，依據(jù)“找點”原則(簡潔、熟悉、借助第三方 )等價變形.

例1 已知函數(shù)f(x)=ex3-ax(x∈R)，若函數(shù)g(x)=f(x)-x2(x>0)有且僅有兩個零點，求a的取值范圍.

經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)在區(qū)間(0,1)和(1,+∞)內(nèi)，只需分別再找一個點，使得其函數(shù)值為正數(shù)即可.

(1)在區(qū)間(0，1)內(nèi)找點.

那若是不斷嘗試，卻又找不到使得函數(shù)值大于0，怎么辦？可以依據(jù)找點的原則，借助第三方，進行放縮.

(2)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)找點.

要使F(x)>0，需x3-2lnx-ax>0即可.

由lnx≤x-1x3-2x-ax.

以下我們在區(qū)間(0,1)和(1,+∞)內(nèi)，只需分別再找一個點，說明其函數(shù)值為正數(shù)即可.

①在區(qū)間(0,1)內(nèi)找點.

由函數(shù)單調(diào)遞減，要使得x3-ax-2lnx>0，則當(dāng)x越靠近0時，不等式大于0也就越好說明.

由x3-ax>2lnx，易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x→0+時，x3-ax→0，2lnx→-∞,

所以取常數(shù)α∈(-∞,0)，即x3-ax>α>2lnx.

特別地，取α=-1，則x3-ax>-1>2lnx.

通過觀察發(fā)現(xiàn)，有關(guān)一元三次不等式很難具體解出來，所以這時可以考慮不直接完全解出該不等式，只需找出一個符合的情況即可.

②在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)找點.

由函數(shù)單調(diào)遞增，要使得x3-ax-2lnx>0，則當(dāng)x越靠近+∞時，不等式大于0也就越好說明.

即x3-ax>x2>2lnx.

第三方引入原則:

(1)當(dāng)x趨于某個值，不等式左右兩邊的函數(shù)值也會相應(yīng)地趨于某些數(shù)值，可能會出現(xiàn)一個數(shù)值范圍，我們只需在這個范圍內(nèi)引入一個第三方常數(shù)即可.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2)，若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

(1)在區(qū)間(-∞,lna)內(nèi)找點.

方法1若是將函數(shù)作為整體分析，后續(xù)說明函數(shù)值大于0會比較困難.可將函數(shù)拆分為兩部分熟悉的函數(shù)考慮，一部分是y=ex，另一部分是y=-a(x+2)，從而易知ex恒大于0，同時又注意到lna>-1，所以要使得在(-∞,lna)內(nèi)f(x)>0，只需-a(x+2)>0，即x<-2.

所以特別地，在(-∞,lna)內(nèi)，我們可取x1=-3，則-a(x1+2)>0且ex1>0，進而f(x1)>0.

方法2由函數(shù)單調(diào)遞減，要使得ex-a(x+2)>0，則當(dāng)x越靠近0時，不等式大于0越好說明.

將不等式變形成ex>a(x+2)，易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x→-∞時，ex→0，a(x+2)→-∞.所以取第三方常數(shù)α∈(-∞,-1)，即ex>α>a(x+2).

(2)在區(qū)間(lna,+∞)內(nèi)找點.

方法2由函數(shù)遞增，則要使得ex-a(x+2)>0，則當(dāng)x越靠近+∞，則不等式大于0就越好說明.

根據(jù)ex>a(x+2)，易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x→+∞時，ex→+∞，a(x+2)→+∞,所以可取第三方函數(shù)kxβ，即ex>kxβ>a(x+2).

特別地，可取x2=4a+2∈(lna,+∞)，則ex2-a(x2+2)>0.