構造法在高中數學解題中的應用

孫利萍

(云南省怒江州民族中學 673100)

近年來，隨著經濟社會的不斷發展，我國也加快了課程改革，其中包含數學學科，這使得對數學思想方法的研究也在不斷地深入.作為一種技巧性和創新性很強的非常規性解題方法，數學構造法的應用有一定的前提條件，不僅要求學生有扎實的數學基礎知識，還能夠全面分析高中數學解題的特點.

1 構造幾何圖形解題

從整個高中數學知識體系的角度來講，其包含代數和幾何兩大部分的內容.在高中數學解題教學中，將構造法應用其中，不僅能夠解決各種代數問題，還能夠應對和處理幾何圖形問題.通過切實構建幾何圖形，能夠有機融合所研究問題的特征和圖形，達成解決幾何問題的目的.

圖1

解析教師可以引導學生運用構造法切實解決幾何圖形問題，根據題目中的cosα2+ cosβ2+cosγ2=1，連接長方體對角線，構造如圖1所示的圖形.通過構造長方體ABCD-A1B1C1D1的方式，不僅能夠將長方體對角線DB1和其三條側棱對應∠α，∠β，∠γ三個夾角明確下來，還能夠將三條棱AD，DD1，DC的長分別設置為a，b和c，以此來保證其能夠被證實.基于這種狀況，當且僅當三條棱相等的時候，才能夠保證不等式取等號的原問題被證實.

2 構造輔助角解決幾何問題

通過構造輔助角解決問題的方式被稱為構造輔助角法.在實際解決幾何問題的時候，常常會依托輔助角，建立起相應的聯系，這樣一來就能夠使幾何問題得到切實的解決.對已知條件的角度和結論進行深入分析，采取構造兩個或者多個角的方式，構造出與題目相應的輔助角.

例2在棱長全都相等的四面體A-BCD中，E，F分別為AD，BC的中點，連接AF，CE，如圖2所示.

(1)求異面直線AF，CE所成的角；

(2)求CE與底面BCD所成角的大小.

圖2

解析(1)構造∠AFG，連接AG，則∠AFG就是AF和CE所形成的角.

(2)通過構造∠ECM，BD⊥面EMN，而BD?平面BCD,所以平面EMN⊥平面BCD.

由此EH⊥平面BCD.

即∠ECH就是CE和平面BCD所成的角.

因為△EMD和△NMD都是直角三角形，MD為公共邊，則∠EDM=∠NDM=60°.

所以△EMD≌△NMD.

3 構造向量解決幾何問題

例3已知定點A(-1，0)和B(1，0)，P是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一個動點，則|PA|2+|PB|2的最大值和最小值是多少.

圖3

點P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上，

4 構造輔助多邊形解決幾何問題

為了切實解決平面幾何或者立體幾何當中的重要問題，可以采取構造更加復雜的幾何圖形方式.要想保證構造的多邊形是切實有效的，必須要結合題目中所給出的各種已知條件或者結論等內容.一般情況下，涉及到三角形的幾何題，需要利用三角形的某些特性來構造三角形.如果題目中已知的條件或者結論涉及到正方形或者平行四邊形，則可以采取構造相應的正方形或者平行四邊形的方式.

圖4

證明(采取構造法，將△CFG構造出來)

(1)因為AD⊥CD，所以△ADC與△ADF都是直角三角形.

又因為∠CAD=∠FAD，AD為公共邊，

所以△ADC≌△ADF.所以CD=FD.

即D為CF的中點.

同理可得E是CG的中點

即DE=FG，故DE∥AB.

(2)由 △ADC≌△ADF，得出AC=AF.

由△BEC≌△BEG，得出BC=BG.

5 構造輔助圓來解決幾何問題

通過添加輔助圓，充分考慮圓的性質，尋求解決幾何問題的已知條件和隱含條件.這種借助構造圓解決問題的方式叫做構造輔助圓.采取這種方式可以將平面幾何中關于角度和線段相等等方面的問題得到解決.同時，還要考慮平面幾何中的計算題和極值等問題，以此來構造輔助圓.

例5在平面直角坐標系內存在三點，即A,B,C，其中點A的坐標為(4，0),點B的坐標為(-6，0)，點C在y軸上，并且是一個動點.當∠BCA=45°的時候，點C的坐標可以表示為____.

圖5

解析設點E為線段AB的中點，AB=10，點E可以表示為(-1，0)，由于點C的位置存在兩種可能，即在y軸正半軸或者y軸負半軸，所以要分情況討論.

其一：假設點C在y軸的正半軸，如圖5所示.

此時以點P為圓心，PA當作半徑，

過點P作垂直于y軸的點F，則OF=PE=5.

根據勾股定理，在Rt△PFC中，可得CF=7.

由此OC的長度為5+7=12，即C(0，12).

其二：假設點C在y軸負半軸，則類比第一種解法，可得點C的坐標為(0，-12).

綜上，點C的坐標為 (0，12)和(0，-12).

綜上所述，采取了具體的高中數學解題案例的方式，利用數學構造法，并且將其應用在高中數學解題當中.教師應當盡可能引導學生發現其中的隱藏條件，盡可能降低構造法的具體應用意識.同時，高中數學教師在培養學生數學學習和教學思維能力的過程中，并未完全融入構造法的技巧和能力，還受到了一定的研究因素和條件限制.為此，對構造法在高中數學解題當中的應用還需要更進一步的探究，從而保證學生形成正確合理的構造法幾何解題策略.