例析坐標系與參數方程應用中的常見誤區

侯有岐

(陜西省漢中市四○五學校 723312)

坐標系與參數方程作為高考的選考內容之一，考查難度相對穩定，第一問考查內容多為互化，第二問常利用參數方程中參數的幾何意義或極坐標方程中ρ,θ的幾何意義解決問題，內容涉及距離、面積、弦長、交點、軌跡等問題.但在坐標系與參數方程的應用中，由于學生忽略互化條件的限制、混淆參數方程中參數的幾何意義和ρ,θ的幾何意義及范圍的限制，常出現下列思維誤區：

1 參數方程與普通方程的互化中忽略“等價變形致錯

A.一條直線 B.兩條直線

C.一條射線 D.兩條射線

剖析出錯的根本原因是忽視了參數的取值范圍從而導致縮小了x的取值范圍.

所以參數方程化為普通方程為y=2(x≤-2或x≥2),所以表示兩條射線.故選D.

評注參數方程化普通方程，既要消參得到橫、縱坐標所滿足的關系式，又要探究橫、縱坐標對參數的值域，這個值域和橫、縱坐標所滿足的關系式才與原參數方程等價.

2 混淆直線參數方程的一般式與標準式致錯

(1)求曲線C的直角坐標方程和參數方程；

(2)求直線l被曲線C截得的弦長.

錯解(1)曲線C的極坐標方程化為

ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.

由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

x2+y2=2y+4x.

所以曲線C的直角坐標方程為

(x-2)2+(y-1)2=5.

代入(x-2)2+(y-1)2=5，

所以直線l被曲線C截得的弦長為

剖析出錯的根本原因是忽視了本題中所給出的直線參數方程不是標準形式,導致計算弦長錯誤.

正解(1)曲線C的極坐標方程化為

ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.

由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

x2+y2=2y+4x.

所以曲線C的直角坐標方程為

(x-2)2+(y-1)2=5.

(x-2)2+(y-1)2=5，

又因為直線l的參數方程可化為

所以直線l被曲線C截得的弦長為

方法2因為直線l的參數方程是

評注已知直線l經過點M0(x0,y0),傾斜角為α,點M(x,y)為直線l上任意一點,則直線l的參數方程為

①

(2)令a=cosα,b=sinα,則直線參數方程的標準形式可以化為

②

(3)如果直線參數方程的一般形式為

③

當c2+d2≠1或d<0時，應先化成標準形式后才可以利用t的幾何意義解題.

(4)不少模擬試題以及高考試題，若采用直線參數方程中參數t的幾何意義去解決能夠收到事半功倍的效果.

3 對橢圓參數方程中角參數的含義理解不清致錯

剖析錯解中把點M和原點連線與x軸的夾角誤認為是過該點的橢圓參數方程中所對應的角參數α，事實上，橢圓參數方程中角參數α是離心角，現階段的教材不研究其幾何意義，故可借助點M與原點連線的傾斜角和三角函數知識分類討論求解.

所以tanα=2.

(2)當點M在第四象限時，由

所以tanα=-2.

評注當已知角為橢圓上一點和原點連線與x軸的夾角時，可依據傾斜角的含義和范圍，結合三角函數知識分類討論求解，這樣就避免了橢圓參數方程中角參數幾何意義的理解.

4 忽視極坐標系中點的極坐標不唯一性致錯

例4在極坐標系中,點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的坐標可以是( ).

①(ρ,-θ)；②(-ρ,-θ)；③(-ρ,θ)；④(ρ,π+θ).

A.④ B.①② C.①③ D.③④

錯解由點的極坐標的意義知，點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的坐標可以是(ρ,π+θ).

剖析出錯的根本原因是忽視了極坐標下點的極坐標的不唯一性，因為ρ∈R的特性,所以點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的坐標也可以是(-ρ,θ).事實上,當ρ>0時,點P(ρ,θ)在極角θ的終邊上,|OP|=ρ；當ρ<0時,點P(ρ,θ)在極角θ的終邊的反向延長線上,|OP|=-ρ.

正解因為ρ∈R，所以ρ既可以是正值，也可以是負值.因此，點P(ρ,θ)關于極點對稱的點的坐標可以是(-ρ,θ)或(ρ,π+θ).故選D.

評注解答極坐標系下有關點的極坐標問題時，一定要注意點的不唯一性.另外，本題也可以把點P(ρ,θ)的坐標化成直角坐標，然后根據三角函數的誘導公式判斷解決.

5 忽視極角的范圍致錯

由ρ=4cosθ，得曲線C的方程為(x-2)2+y2=4.

所以，曲線C是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.

由ρ=4cosθ，得(x-2)2+y2=4.

評注極坐標方程實質上是極徑關于極角的函數表達式，于是求解有關最值問題時，常選用極坐標方程，此時應特別注意極角的范圍，即研究函數問題，定義域優先.

同步檢測：

由|AB|=5，得

故ρ=4.

題2化極坐標方程ρ2cosθ-ρ=0為直角坐標方程為( ).

A.x2+y2=0或y=1 B.x=1

C.x2+y2=0或x=1 D.y=1

答案C.

因為直線l的極坐標方程為ρ(cosθ+2sinθ)=15,

所以直線l的直角坐標方程為x+2y-15=0.

故選C.

(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

設P,Q相對于M(1,0)的參數方程分別是t1,t2，

故t1與t2異號.

(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

解析(1)直線l的普通方程為

由曲線C：3ρ2+ρ2sin2θ=12，

將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲線C可得

3(x2+y2)+y2=12.