例談質點與圓弧槽系統問題情境的設計與解答方略

許冬保

(江西省九江市第一中學 332000)

質點與圓弧槽系統構成力學中一類典型的組合模型.該模型涉及力學中的功能關系、牛頓運動定律、平衡條件、圓周運動等知識的應用，由此模型演繹的物理問題，綜合性強、設計方式靈活、能力要求高.以下從“物理觀念”素養中的運動與相互作用觀念以及能量觀念的視角，進行分析.

1 質點與圓弧槽系統問題情境設計

如圖1，在質點與圓弧槽系統中，質點在槽中可分為加速運動型及動態平衡型兩類；而槽又可分為固定型與可動型兩類.根據質點與圓弧槽的相互作用方式，以及質點與圓弧槽系統對系統外約束物體的作用方式，可以設計出豐富多彩的運動情境，運動情境設計主要有以下方式：

圖1

(1)圓弧槽不固定、置于水平地面上，因外界約束而保持靜止，質點運動時，探究圓弧槽所受作用力的變化規律；

(2)圓弧槽固定或不固定，內壁光滑或粗糙，質點在下滑過程中，考查質點或系統功能關系的應用；

(3)圓弧槽固定或不固定，質點在圓弧槽某位置，通過法線方向建立牛頓運動定律方程求解有關問題；

(4)圓弧槽固定，通過分析水平方向及豎直方向加速度的變化，探究水平方向、豎直方向速度、重力瞬時功率等物理量的變化規律；

(5)圓弧槽不固定、置于光滑水平面上，從動量與能量的角度，分析質點與圓弧槽的運動，定性判斷或定量計算有關物理量；

(6)質點從圓弧槽外進入槽，并與圓弧槽發生相互作用，多角度探究小球與圓弧槽的作用.

2 情境分類與解答方略

2.1 質點與圓弧槽系統的平衡問題

例1質量為M的凹槽靜止在水平地面上，內壁為半圓柱面，截面如圖2，A為半圓的最低點，B為半圓水平直徑的端點.凹槽恰好與豎直墻面接觸，內有一質量為m的小滑塊.用推力F推動小滑塊由A點向B點緩慢移動，力F的方向始終沿圓弧的切線方向，在此過程中所有摩擦均可忽略，下列說法正確的是( ).

圖2

A.推力F先增大后減小

B.凹槽對滑塊的支持力先減小后增大

C.墻面對凹槽的壓力先增大后減小

D.水平地面對凹槽的支持力先減小后增大

解析設滑塊和O點連線與豎直方向夾角為θ，由平衡條件有

F=mgsinθ；FN1=mgcosθ

滑塊從A緩慢移動B點時，θ增大，則推力F增大，支持力FN1減小.

對凹槽與滑塊整體分析，得墻面對凹槽的壓力為

可見，當θ增大時，墻面對凹槽的壓力先增大后減小.

水平地面對凹槽的支持力為

FN3=(M+m)g-Fsinθ=(M+m)g-mgsin2θ

可見，當θ增大時，水平地面對凹槽的支持力減小.綜上，正確選項是C.

評述該題情境設計符合上述考查方式中的(1)要求.試題通過光滑凹槽中滑塊沿圓弧切線方向的力F作用下的運動情境，考查受力分析、動態平衡的分析、力的合成與分解等知識點.主要考查“科學思維”素養中的模型建構、科學推理及科學論證等要素.

2.2 質點在固定粗糙圓弧槽中運動的問題

例2 (2016年全國III卷試題)如圖3，一固定容器的內壁是半徑為R的半球面；在半球面水平直徑的一端有一質量為m的質點P.它在容器內壁由靜止下滑到最低點的過程中，克服摩擦力做的功為W.重力加速度大小為g.設質點P在最低點時，向心加速度的大小為a，容器對它的支持力大小為FN，則 ( )

圖3

選項A、C正確.

評述本題運動情境設計符合上述方式(2)、(3)要求.試題主要考查動能定理、牛頓運動定律及圓周運動規律的應用，側重考查考生的理解能力及推理論證能力.本題最容易出現的錯誤是，由于未進行受力分析而遺漏重力.

2.3 質點在固定光滑圓弧槽中運動的問題

例3(東北師大附中2022年摸底考試)如圖4，內壁光滑的半圓形凹槽放置于粗糙的水平地面上，現將一個質量為m的小鐵球從與圓心O等高處A由靜止釋放，在鐵球沿凹槽下滑的過程中凹槽保持靜止，若研究小鐵球從最高點A滑至最低點B的過程，已知重力加速度為g.則下列說法正確的是( ).

圖4

A.鐵球下滑過程中加速度的豎直分量先減小后增大

B.鐵球下滑過程中加速度的水平分量先增大后減小

C.鐵球下滑過程中重力瞬時功率逐漸增大

D.地面對凹槽摩擦力的最大值為1.5mg

解析研究小鐵球從A滑至B的過程，小鐵球作加速運動.在A處小鐵球的加速度為重力加速度，方向豎直向下；在B處向心加速度方向豎直向上，無切向加速度.因此，該過程中，豎直方向的加速度分量先減小后增大；水平方向的加速度分量先增大后減小.

重力的瞬時功率取決于豎直方向的分速度.A處的速度為0，B處的速度方向水平向左，所以，A、B兩處重力瞬時功率為0.可見，小鐵球從最高點A滑至最低點B的過程，重力瞬時功率的變化規律是先增大后減小.

如圖5，設凹槽的半徑為R，某時刻運動至小球與球心連線跟水平方向夾角為θ處，速度大小為v，此時小球所受彈力為FN，由機械能守恒定律，有

圖5

解得FN=3mgsinθ.

評述該題情境設計符合上述考查方式中的(1)、(2)、(3)、(4)要求.要求能通過定性或半定量的方法，分析豎直方向及水平方向速度、加速度的變化規律，重力瞬時功率的概念在此得到有效考查.其次，地面對凹槽摩擦力的方向，要求能結合牛頓運動定律、機械能守恒定律、力的平衡條件及數學求極值的方法，通過科學推理得到最大靜摩擦力大小.試題主要考查考生的推理論證能力.

2.4 質點在可動光滑圓弧槽中運動的問題

例4如圖1，在光滑水平地面上靜止放置一質量為M的半圓槽，半圓槽內壁光滑，軌道半徑為R，軌道最低點為B，兩端A、C與其圓心O處等高.現讓一質量為m的小滑塊從A點由靜止開始釋放，小滑塊可視為質點，重力加速度為g，若M=2m.則在此后的過程中( ).

A.半圓槽與小滑塊組成的系統動量守恒，機械能守恒

D.小滑塊運動到B點時，半圓槽對水平地面的壓力為3mg

小滑塊運動到B時，設小滑塊的速度大小為v1，半圓槽的速度大小為v2.由動量守恒定律，有

0=mv1-2mv2

由機械能守恒定律，有

小滑塊相對半圓槽做圓周運動，在B處，向心加速度方向向上，出現超重.因此，半圓槽對水平地面的壓力大于3mg.

綜上，正確選項是B、C.

評述該題情境設計符合上述考查方式中的(2)、(3)、(5)要求.試題以小滑塊在半圓槽中的運動為載體，考查動量守恒定律、機械能守恒定律成立的條件；類比人船模型導出半圓槽運動的位移；能綜合應用動量觀念與能量觀念，確定小滑塊與半圓槽在B處的速度；定性分析半圓槽對水平地面的壓力與重力的關系.主要體現對理解能力、推理論證能力的考查.

2.5 質點在光滑圓弧槽中運動的綜合問題

例5 如圖6(a)所示，帶有半圓形軌道的凹槽放在水平面上，凹槽左側有一固定的障礙物，a、b為軌道的兩端，軌道半徑為R.在a點正上方某高度從靜止開始釋放一質量為m的小球，小球下落后從a端進入軌道，此后小球只在凹槽內運動，設凹槽質量為2m，不計摩擦和空氣阻力.

(1)求小球釋放時距離a端的最大高度；

(2)在滿足(1)的條件下，求凹槽離開障礙物后其軌道最低點對小球的支持力大??；

(3)現將該凹槽固定在傾角為30°的斜面上(圖6(b))，將小球從距離a點某高度水平拋出，小球恰好能無碰撞地從a端進入軌道運動，此后小球能原路返回到拋出點.試求拋出點距離a端的最大高度.

圖6

解析(1)設小球距離a端的最大高度為h，小球進入凹槽后，達最低點速度為v0.要使小球恰不能從凹槽右端b飛出，則小球與凹槽必共速，設該速度為v.由機械能守恒定律，有

(2)在凹槽離開障礙物以后運動的過程中，設小球從凹槽兩端返回至最低點時的速度為v1，此時凹槽速度為u1，取v0方向為正方向.由動量守恒定律，有

mv0=mv1+2mu1

由機械能守恒定律，有

凹槽對小球的支持力大小為FN，小球運動返回到凹槽最低點時，由牛頓運動定律，有

解得FN=4mg.

(3)設拋出點距離a端的最大高度為H，欲使小球原路返回，其在凹槽內運動的最高點應與圓心等高.設小球剛從a端進入凹槽時速度為v2，豎直分速度為vy.由機械能守恒定律，有

評述該題情境設計符合上述考查方式中的(2)、(3)、(5)、(6)要求.要求能根據力與運動的關系，定性得出小球及凹槽的運動性質與規律，能靈活地使用機械能守恒定律、水平動量守恒定律及牛頓運動定律定量研究題設問題.問題(3)的分析要點是能找出小球在凹槽右側上升的最大高度.該題通過多處設置臨界狀態，考查考生的分析綜合能力及推理論證能力.