還原法巧解滑塊速度—時間圖像問題

楊天才

(重慶市大學城第一中學校 401331)

1 問題提出

兩個物體之間的相對運動是一種常見的運動形式，即某一物體對另—物體而言的相對位置的連續變動，滑塊木板問題是典型的相對運動模型.如果題目已知滑塊木板運動的相對速度時間關系，筆者發現將其轉化為速度時間圖像，能直觀、簡便、巧妙的反映二者之間的物理規律，對解題有獨特的優越性，在本質上可理解為參考系的轉化.常見的無外力作用下的滑塊問題的v相-t和v-t如表1.

表1

2 典例品鑒

例1 如圖1(a)所示，在光滑水平面上放置一木板A，在A上放置物塊B，A和B的質量均為m=1kg.A與B之間的動摩擦因數μ=0.2，t=0時刻起，對A施加沿水平方向的變力作用，使A和B均由靜止開始運動.取水平向右為正方向，B相對于A的速度用vBA=vB-vA表示，其中vA和vB分別為A和B相對水平面的速度.在0～2s時間內，相對速度vBA隨時間t變化的關系如圖1(b)所示.運動過程中B始終未脫離A，重力加速度取g=10m/s2.求：

(1)0～2s時間內，B相對水平面的位移；

(2)t=2s時刻，A相對水平面的速度.

圖1

(2)在2s時B的速度為v2=aBΔt=2×(1.5-0.5)m/s=2m/s，由圖1(b)可知，2s時vBA=v2-vA=2m/s，則vA=0.或vA=aA1t1-aA2t2=0

圖2

點評本題考查v相-t圖像在滑塊問題中的應用，對學生的科學思維和知識遷移能力有較高的要求，理解圖像所圍的面積在數值上表相對位移，斜率表相對加速度，選取正方向是解題的關鍵，畫出v-t圖像是巧解必不可少的環節.

例2 如圖3(a)所示，一長木板A在水平地面上向右運動，在t=0時刻將以無初速度的物塊B輕放到木板上，取水平向右為正方向，B相對于A的速度用vBA=vB-vA表示，在0～0.75s內，相對速度vBA隨時間t變化的關系如圖3(b)所示.已知A、B的質量相等，A與B及A與地面之間均有摩擦(動摩擦因數不等)，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，B始終沒有滑出A，重力加速度g=10m/s2.求：

圖3

(1)A與B間，A與地面間動摩擦因數；

(2)從t=0時刻到A與B均停止時，B相對于A的位移大小.

解析(1)由圖3(b)可知，在0～0.75s內，B與A存在相對速度，可知此過程B一直受到A給其的滑動摩擦力，設A與B間的動摩擦因數為μ1，由牛頓第二定律，B的加速度大小始終為aB=μ1g，在0～0.5s內，vBA小于0，此時B相對于水平面向右做勻加速運動，在0.5s末時二者共速，在0.5s～0.75s內，vBA大于0，此時B相對于水平面向右做勻減速運動，在0～0.5s內，設A與地面間動摩擦因數為μ2，由牛頓第二定律，A的加速度為aA1=-(μ1+2μ2)g，且A的初速度為v0=5m/s，結合vBA-t圖像，在0～0.5s內，aBA1=aB1-aA1=10m/s2，在0.5s～0.75s內，A的加速度為aA2=(-2μ2+μ1)g，aBA2=aB2-aA2=2 m/s2，代入數據μ1-(μ1+2μ2)=10，-μ1-(-2μ2+μ1)=2，解得：μ1=0.2，μ2=0.3.

圖4

點評本題仍然考查v相-t圖像在滑塊問題中的應用，與上題不同的是，本題沒有外力作用，但兩個接觸面均有摩擦，且初速度不都為零，因μ1<μ2，二者共速后，將按各自的加速度相對運動.通過比較本題的v-t圖像，可以看出它就是2013年全國卷Ⅱ壓軸題，只是已知條件由長木板的v-t圖改成了物塊與木板的v相-t圖，設問都完全相同.

例3 如圖5(a)所示，光滑水平地面上停放著一輛平板車A，其右端有一塊靜止的小金屬塊B.金屬塊與平板車間有摩擦，與中點為界，前后兩段動摩擦因數不同，金屬塊與車的前段間的動摩擦因數為μ1，與后段間的動摩擦因數為μ2.現給車施加一個向右的水平恒力，使車向右運動，同時金屬塊在車上開始滑動，當金屬塊滑到中點時，即撤去這個力，最后金屬塊恰停在車的左端.已知平板車的質量為金屬塊的2倍，取水平向右為正方向，B相對于A的速度用vBA=vB-vA表示，在t2時間內，相對速度vBA隨時間t變化的關系如圖5(b)所示.若在t1時刻，平板車的速度為金屬塊的2倍，求：μ1與μ2的比值.

圖5

圖6

通過以上幾例可以看出，在解決相對運動時，特別是已知相對速度時間圖像問題時，雖可以用解析法、相對運動公式求解，但將圖像轉化為速度時間圖像求解更簡便.