立足關聯條件 破解三角形最值問題

王中學

(安徽省合肥一六八中學 230601)

眾所周知，解三角形問題一直以來都是高考的重要考點以及熱點.常見的解三角形是要給出三角形中的三個條件(必須至少有一邊)才能求解，而只給出一邊及對角、一角、一邊及邊上中線、一邊及所對角的角平分線等三角形的最值問題也受到了各地高考的熱愛，本文以歷年的高考題為例，立足于關聯條件，來破解三角形最值問題.

1 一邊與對角

同理BC=2sinA.

評注本道題是利用正弦定理以及輔助角公式，不僅可以求出最大值，還可以求出取值范圍，并且系數可以進行變化，可以加強輔助角公式的訓練以及給角求范圍的求解.

例2(2014年新課標Ⅰ卷)已知a,b,c分別為△ABC的三個內角A,B,C的對邊，a=2，且(2+b)·(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為____.

解析由a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，故(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

又根據正弦定理，得(a+b)(a-b)=(c-b)c.

化簡，得b2+c2-a2=bc.

又b2+c2-bc=4≥bc，

評注本題的難點是將2用a代換，這樣題中的等式就是角和邊的關系，使用正弦定理把角轉化成邊，再利用余弦定理求出角，最后用不等式解出面積的最大值.

(1)求f(x)的單調區間；

評注本題只是求三角形面積的最大值，如果求面積的取值范圍，就不能采用余弦定理，需用正弦定理，并且需要確定角的范圍進而確定面積的取值范圍，對學生掌握輔助角公式以及給角求值等有很大幫助.

2 只有一角

(1)求∠B的大小；

再由(A+B)+C=π，得

評注本題是由三邊關系來確定一角的大小，進而求另兩角的余弦和的取值問題，主要是輔助角公式的應用以及角的互換和范圍確定.

例5(2015年湖南)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，a=btanA，且B為鈍角．

(2)求sinA+sinC的取值范圍．

解析(1)由a=btanA及正弦定理，得

=sinA+cos2A

=-2sin2A+sinA+1

評注本題是由邊角關系確定三個角之間的關系以及兩角正弦和的范圍問題，主要是輔助角公式的應用以及角的互換和范圍確定.

3 一角與其對邊上三等分線

解析在△ABC中，由余弦定理，得

a2=b2+c2-2bc·cos60°=b2+c2-bc.

又∠ADB+∠ADC=π,

所以cos∠ADB+cos∠ADC=0.

將a2=b2+c2-bc代入,得

b2+c2+2bc=36≥2bc+2bc，所以bc≤9(當且僅當b=c時取等號).

評注本題是由一角與其對邊上三等分線來求面積的最值問題，主要是應用余弦定理以及不等式進行求解，但其中應用了互補的兩角余弦值的和為零來確定三邊關系.

4 一邊與其上中線

例7 在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c．已知acosB=bcosA，邊BC上的中線長為4.

(2)求△ABC面積的最大值．

解析(1)由acosB=bcosA及正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA.

所以sin(A-B)=0.

所以△ABC的面積

評注此題解法較多，除上述解法還可以用切割法、建系、阿氏圓等方法.

5 一角與角平分線

例8(2018年江蘇)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為____．

解析因為∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，所以∠ABD=∠CBD=60°.

由三角形的面積公式可得

化簡,得ac=a+c.

評注本題主要是應用角平分線將三角形的面積進行分割，然后利用不等式進行求解.

6 三邊關系或三角關系

C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24

解析因為A+B+C=π，

因此選項C，D不一定成立．

又b+c>a>0，

因此bc(b+c)>bca≥8.

即bc(b+c)>8，故選項A一定成立．

綜上所述，故選A.

評注本題是已知三角關系以及面積的范圍來確定三邊的乘積的大小問題，利用正弦定理、面積公式以及兩邊之和大于第三邊等進行求解.

評注本題是已知三個角之間的關系，求其中一個角的取值范圍，主要是利用正弦定理進行邊角互換，再利用余弦定理以及不等式進行求解.

7 綜合應用

例11(2015年新課標Ⅰ卷)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____．

圖1

評注此題雖然是已知四邊形中的三個角和一邊求其中另一條邊的取值范圍，但其本質是考查解三角形問題，其實只用到了正弦定理.

例12(2014年浙江理 17)如圖2，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值____.

圖2

設BP′=x，則CP′=20-x.

評注本題是空間中的解三角形問題，但是本題中的三角形載體都是直角三角形.

在高考的復習中，應在抓住核心考點的基礎下，注重通性通法的講解，因此例題的選擇很重要，它可以讓學生自己體會更為一般的解題策略，也可以對一般的解題策略如何應用到具體問題以及如何應用輔助方法提供“示范”作用，為學生的高效解題提供有力的參考.