優選目標直線 簡化解幾運算
——以一類直線過定點的解析幾何綜合題為例

蒲榮飛

(安徽省合肥市第八中學 230071)

判斷或證明直線過定點問題是直線和圓錐曲線綜合問題中的一類常見的重要題型，此類問題具有運算量大、運算要求高的典型特點.大量的繁復運算往往成為學生難以逾越的屏障，如果在選擇直線時再不加選擇和甄別，往往還會人為增加運算量，無疑對于本身就很薄弱的運算能力更是雪上加霜.本文將通過具體例子來解讀如何通過優選目標直線來簡化此類解析幾何問題的運算.

1 目標直線的選擇視角

對于此類直線過定點的綜合問題，已知條件和所證結論中均會涉及到多條直線，到底選擇哪條直線作為目標直線可能會比較簡單些？選擇的標準又是什么？下面首先通過一道例題來作以對比分析.

例1 已知圓C過點P(1,0)，且與圓x2+(y-3)2=4外切于點(0,1)，過點P作直線PA,PB與圓C分別交于異于點P的A,B兩點，且kPA·kPB=-3．求證：直線AB恒過定點．(其中kPA,kPB分別為直線PA,PB的斜率)

解析設圓C的方程為x2+(y-b)2=r2，

解得b=0,r=1.

故圓C的方程為x2+y2=1.

方法1 由題意可設lPA:y=k(x-1) (k≠0)，

與x2+y2=1聯立，得

(1+k2)x2-2k2x+k2-1=0.

于是直線AB的方程為

方法2 由題意可設lAB:x=my+b，

與x2+y2=1聯立,得

(m2+1)y2+2mby+b2-1=0.

2 目標直線的甄別優選

(2)當kMN存在時，可設lMN:y=kx+b,

(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0.

而當b=1時，點A與點M重合，不合題意，故k=b+1.

此時直線MN的方程為(x+1)b+x-y=0，過定點(-1,-1)；又kMN不存在時，直線x=-1也過該點，故直線MN恒過定點(-1,-1).

評注如果對于目標直線不做任何甄選，而按照例1中方法1的思路選擇直線AM作為目標直線，而其與橢圓C的方程聯立求得點M的坐標本身形式就很復雜，再利用k1=2-k2代入得到點N的坐標形式將更加復雜，求解化簡kMN的計算量將無法預估.而選擇直線MN作為目標直線，不但思路清晰而且可大大降低運算量.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知經過點A(3,-2)的直線交拋物線C于M,N兩點，經過定點B(3,-6)和點M的直線與拋物線C交于另一點L，問直線NL是否恒過定點？如果過，求出該定點；否則，請說明理由.

故所求拋物線C的方程為y2=4x.

①

②

將①中y0換為y2可得

故直線NL恒過定點(-3,0).

評注本題在求解直線MN的方程時之所以并未使用已知點A，而是使用了未知點M,N，就是充分考慮到三條直線MN,ML,NL具有結構形式完全相同的特點，只需求出其中一條，便可通過代換寫出其余兩條，從而大大簡化了計算.

3 真題演練

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明：直線CD過定點.

4 感悟啟示

4.1 簡化運算,始于“四預”

所謂運算核心素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.筆者認為要達到靈活運算、簡化運算的目的，首先需要做好“四預”即預審、預設、預估、預算.預審條件和對象，它是理解運算對象、進行正確運算的前提；預設視角和思路，它是思維嚴謹科學、方法靈活多樣的體現；預估方法和順序，它是對不同思路所涉及的運算量的一個整體評估，是確定嘗試順序的關鍵；預算選擇和調整，即對運算思路的實踐探索，并在試算的基礎上及時做好調整與糾偏.

4.2 強化能力，起于“三練”

要想提升運算能力，必須要勤加練習.但是這里的練習不是盲目的低效重復，而應該是一種具有明確目的專項練習，需要明確為什么而練？練什么？它是一種持之以恒的艱苦練習，需要付出額外的能力和辛苦；它是一種需要科學指導的有意練習，需要有一套科學的訓練方法，并及時反饋及時針對性地調整.

4.3 形成素養，源于“雙積”

由運算能力上升到運算素養的高度，一定是源于背后的“雙積”即積累和積淀.積累的是基礎知識和基本方法，積淀的是基本的數學思想和基本的活動經驗，扎實的基礎知識和基本方法的積累是學科核心素養形成的主要載體，而豐富的數學思想和活動經驗的積淀則是學科核心素養形成的主要路徑.