化歸思想在不等式證明中的應用

王德朋

(新疆喀什大學數學與統計學院 844000)

不等式是基礎數學中較為重要的內容，為高等數學的學習打基礎，同時也是高考內容的重要考點.不等式的問題通常都會與其他章節的內容結合在一起進行考查，涵蓋的內容知識量比較大.因此，在不等式的證明過程中，方法的運用比較靈活，可以通過方法的創新對不等式進行證明.在不等式的證明中采用化歸思想的方法來解決問題就是一個很好的方法.將原始問題轉化為新的較容易解決的問題，運用相應知識對新問題進行證明.最后將其還原到對原問題的證明.本文通過一些例題來探討化歸思想在不等式證明中的應用.

1 化歸思想的含義

轉化與化歸思想是指將待解決的問題轉化為熟知的問題，即化難為易、化繁為簡，對新問題求解的一種數學思想方法.著名數學家羅莎通過對“化歸法”的生動比喻，體現了化歸思想的特點：將待解決的問題，經過轉化，變為自己熟知的問題進行求解，最終回到原來問題的解決.這一解題過程可以用圖1所示.

圖1

2 化歸思想的應用指導

2.1 熟悉化歸方法，能夠靈活運用

在高中的數學解題中，教師經常讓學生多做題，進行“題海戰術”.通過大量的做題來提高解題效率，這種做法有一定的好處，但學生的思維得不到鍛煉.化歸方法有等價變形法、非等價變形法、引入參數法、換元法及待定系數法等一系列解題方法.學生在對不等式進行剖析的過程中，能夠找到用化歸思想中的一種方法進行解決.平常的教學中，教師要多對學生進行引導，鍛煉學生的思維能力，對化歸方法能夠靈活運用，能夠做到熟練掌握，且能夠將問題有效轉化.最終做到對不等式的有效證明.

2.2 把握化歸原則，進行簡單轉化

在高中階段基礎數學中，不等式證明的相關知識較為晦澀難懂，學生對于證明不等式的方法不夠靈活，思維不夠敏捷.在教學中，教師要向學生引入化歸思想，引導學生把抽象的問題轉化為形象具體的問題.學生能夠理解簡單化原則、熟悉化原則以及直觀化原則，對于不等式的證明有更好的運用.將較難理解的問題轉化為容易的問題，且能夠用自己所熟知的知識對問題進行解決.對不等式進行簡單轉化，可以大大提高學生的解題效率.

3 化歸思想在不等式證明中的應用

分析觀察發現，要證明的不等式直接證明有些困難.根據已知，能夠聯想到：sin2β+cos2β=1.即可以令a=xsinβ,b=xcosβ(x≤1).

證明令a=xcosβ,b=xsinβ,(x≤1),將a和b代入不等式左邊，得

|a2+2ab-b2|=|x2cos2β+2x2sinβcosβ-x2sin2β|

=x2|cos2β-sin2β+2sinβcosβ|

=x2|cos2β+sin2β|

分析觀察不等式，能夠運用放縮法對不等式進行證明，使問題更簡化.將左端從m=2開始逐步擴大，用歸納法對原式進行證明.

設m=n時，結論成立，則

說明m=n+1時，該命題是真命題，即原不等式得證.

分析觀察不等式左邊是有關x和y的對稱式，根據已知條件和不等式，可以運用三角代換進行證明.

證明因為|x|≤1,|y|≤1，令x=sinβ,y=cosθ，將sinβ和cosθ代入不等式的左端,得

=sinβ·cosθ+|cosβ·sinθ|.

所以sin(β±θ)≤1.

例5 已知x>0,y>0,并且x3+y3=2， 證明：x+y≤2.

分析根據已知條件，要證x+y≤2會有困難，能夠引入參數x和y做以變換，“x=c+d,y=c-d”可以使問題得到簡化，方便于不等式的證明.

證明令x=c+d,y=c-d，則

x+y=2c,(x>0,y>0).

那么，x,c,y構成以c為等差中項的等差數列.

所以x3+y3=(x+y)[(x+y)2-3xy]=2.

即2c·(4c2-3xy)=2.即c·(4c2-3xy)=1.

所以1=x·(4x2-3xy)

=4x3-3x·x2.

即1≥x3，因此，x≤1.

那么，x+y≤2，即原問題得證.

證明設向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)，兩向量的夾角為θ，

根據兩向量的內積，得a·b=|a|·|b|·cosθ.

即a1a2+b1b2+c1c2

因為cos2θ≤1,

4 結論

不等式是基礎數學中極為重要的一部分，不等式的證明更是關鍵之處.證明不等式成立的方法有很多，諸如：柯西不等式法、基本不等式法、比較法、分析與綜合法、換元法、放縮法、反證法、數學歸納法與幾何法等.本文主要運用化歸的思想對不等式進行證明，將原問題轉化為熟知的、簡單的以及容易解決的問題，最終還原到對原問題的解答.通過對幾道例題的證明，從對于化歸思想的原則上(熟悉化原則與簡單化原則)及方法上(等價思想、不等價思想、對稱代換思想、增量代換思想、和差代換思想與橫向化歸)的有效應用，使待證明的不等式轉化為能夠解決且熟悉的不等式，更有利于不等式的證明.不等式證明中，思想是靈魂，方法是關鍵.學生在運用化歸思想證明不等式時，要能夠熟練運用化歸方法將問題有效轉化，并能夠掌握化歸原則，對問題進行有效處理.