定比點差法在圓錐曲線中的應用

李小蛟

(四川省成都市樹德中學 610091)

下面我們通過近年高考試題和模擬試題的解答，從不同題型剖析定比點差法在圓錐曲線問題中的實際應用.

1 定值問題

(1)求橢圓的方程；

(3)設點P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，

(x0+4,y0)=λ(x1+4,y1),

(x0-4,y0)=μ(x2-4,y2).

所以λx1-ux2=8-4(λ+μ).

①

又點P,M,N均在橢圓上，

②

③

2 定點問題

解析由對稱性可知，直線AC過定點必在x軸上，不妨設M(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則C(x2,-y2).

則λ=-μ.

又A,B兩點在橢圓上，

兩式相減可得

所以m=1.

即直線AC過定點(1,0).

評注本題考慮到A,B,P三點共線和A,C,M三點共線，故將點P轉化為點A,B定比分點，將點M轉化為點A,C定比分點，從而利用定比分點公式找到坐標之間關系；利用定比點差法將相關量之間進行轉換，減少運算量，觀察等式結構很容易找到所求參數m的值.

3 定直線問題

(1)求橢圓的方程；

(2)設點Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，

又A,P,B,Q四點共線，從而

④

⑤

即點Q總在直線2x+y-3=0上.

4 最值問題

⑥

⑦

將⑦代入⑥可得y1-2y2=-m.

5 范圍問題

所以x1+λx2=0,y1+λy2=3+3λ.

評注本題的解答中，范圍求解要依賴于橢圓中相關量的范圍解答，定比點差法的處理使所求解參數λ很快與相關點A,B的坐標之間建立等量關系，從而關系交代清晰明了，簡化運算，事半功倍.

(1)求C的方程；

(1)求橢圓C的標準方程；

變式練習3(2021年全國高考乙卷數學(文)試題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2．

(1)求C的方程;

定比點差法是圓錐曲線中對線段比例關系處理的一種技巧，在題目中遇到三點共線、定點、成比例等條件時，我們可以充分地考慮這一思路，以起到事半功倍的效果.