例談圓錐曲線第三定義的應用

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

平面內，與兩定點A,B的斜率之積為非零常數λ(λ≠-1) 的點的軌跡為橢圓(λ<0)或雙曲線(λ>0)(不含點A,B)，我們將這個稱為橢圓和雙曲線的第三定義.反之，設AB是過橢圓(或雙曲線)中心的弦，且PA,PB都存在非零斜率kPA,kPB，則kPA·kPB=e2-1(e為離心率).

因為點A，P在橢圓上，

兩式相減，得

圓錐曲線中有不少問題是和第三定義相關的，利用好第三定義對于這些問題的求解能夠起到很好的簡化作用，下面舉例說明.

1 利用第三定義求斜率之積

圖1

利用這一結論結合橢圓對稱性可知

將其代入雙曲線方程易得離心率e=4.

易知點Q,M關于原點對稱，且kOM=-kMF.

于是k1·k2=kPQ·kOM=-15.

2 第三定義在離心率問題中的應用

分析題中涉及到|k1|+|k2|的最小值問題，考慮基本不等式，自然聯想到k1·k2為定值.

解析根據橢圓第三定義有

于是由基本不等式，得

當且僅當|k1|=|k2|時取等號，|k1|+|k2|的最小值為1.

3 第三定義在定點定值問題中的應用

圖2

(1)求C2的標準方程；

(2)設點P為C2右支上的一個動點，直線PF1與C1交于A，B兩點，直線PF2與C1交于C，D兩點，請你探索|AB|-|CD|是否為定值？證明你的結論.

將|AB|表達式中的k1換成k2可得

綜上,|AB|-|CD|為定值2.

圖3

(1)求E的方程；

觀察實施分層護理管理模式前后1年的基礎護理合格率、病房管理合格率、專業考核合格率、護理不良事件發生率及患者滿意度。其中患者滿意度采用調查問卷的方式評價，實施分層護理管理模式前后分別選取100例住院患者作為調查對象，調查內容包括護理人員溝通能力、服務態度、操作水平、健康教育方式方法、心理干預，每項20分，滿分100分，81～100分為非常滿意、60～80分為基本滿意、0～59分為不滿意。滿意度 =（非常滿意+基本滿意）/總例數×100%。

(2)證明：直線CD過定點.

①

(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,

將此代入①式,得

4 第三定義在最值問題中的應用

(1)求橢圓Γ的方程;

(2)設∠ACB=θ，△ABC與△CMN的外接圓的半徑分別為R1和R2，在△ABC與△CMN中分別利用正弦定理，得

由題意，直線AC的方程為y=k(x+2)，

令x=4,得M(4,6k).

5 第三定義在共線問題中的應用

圖4

解析設直線AT:y=k(x+a)，令x=a,得S(a,2ak).

若O，M，S三點共線，則OS⊥BT.