遞推數(shù)列通項(xiàng)公式問題中的待定系數(shù)法

李富春

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

給出數(shù)列遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式是高考中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造等差、等比、常數(shù)數(shù)列是求解此類問題的常用方法.那么問題是怎樣待定？在什么樣的遞推關(guān)系下待定一個(gè)系數(shù)？二個(gè)系數(shù)？三個(gè)系數(shù)？對此問題，本文作一些歸納、探究，供大家參考.

在這里，為了方便理解記憶，分別把引入一個(gè)等待確定的字母系數(shù)的值的方法叫做單待定系數(shù)法，簡稱“單待定法”；引入二個(gè)等待確定的字母系數(shù)的值的方法叫做雙待定系數(shù)法，簡稱“雙待定法”；引入三個(gè)等待確定的字母系數(shù)的值的方法叫做三待定系數(shù)法，簡稱“三待定法”.

1 單待定法

求形如遞推關(guān)系an+1=pan+q(p，q均為常數(shù)，且pq≠0)和an+1=pan+qrn(p，q，r均為常數(shù)，且pq≠0，p≠r≠1)的通項(xiàng)公式，均可用“單待定法”求解.

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析設(shè)an+1+λ=2(an+λ)，

則an+1=2an+λ.

因?yàn)閍n+1=2an+3，所以λ=3.

故an+1+3=2(an+3).

又a1+3=4≠0，于是數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.故an+3=4·2n-1.

所以an=2n+1-3.

例2 在數(shù)列{an}中，a1=6，an+1=2an+3·5n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析設(shè)an+1+x·5n+1=2(an+x·5n)，

則an+1=2an-3x·5n.

因?yàn)閍n+1=2an+3·5n，

所以-3x=3.

解得x=-1.

從而an+1-5n+1=2(an-5n).

又a1-5=1≠0，所以數(shù)列{an-5n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.故an-5n=1·2n-1.

所以an=2n-1+5n.

2 雙待定法

故而an=3·21-n+4n-6.

解析設(shè)an+2+san+1=t(an+1+san)，

則an+2=(t-s)an+1+stan.

評注若取α=-2，β=2也可獲解，同學(xué)們不妨試一試.

3 三待定法

求形如遞推關(guān)系an+1=pan+qn2+rn+s(p，q，r，s均為常數(shù)，且p≠0，q≠0)和an+2=μan+1+λan+f(n)(μ，λ均為非零常數(shù)，f(n)為關(guān)于n的函數(shù))的通項(xiàng)公式，均可用“三待定法”求解.

例6 在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n2+4n+5，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)，則

an+1=2an+xn2+(y-2x)n+z-x-y.

因?yàn)閍n+1=2an+3n2+4n+5，

故遞推關(guān)系an+1=2an+3n2+4n+5

可化為an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)，

所以數(shù)列{an+3n2+10n+18}是首項(xiàng)為32，公比為2的等比數(shù)列.

于是an+3n2+10n+18=32·2n-1.

從而an=2n+4-3n2-10n-18.

例7 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，且an+2=2an+1+3an+2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析設(shè)an+2+xan+1+y·2n+1=z(an+1+xan+y·2n)，則

an+2=(z-x)an+1+xzan+(z-2)y·2n.

因?yàn)閍n+2=2an+1+3an+2n，

故an+1+an+2n=5·3n-1.

①

②

由于數(shù)列的遞推關(guān)系形式多變復(fù)雜，從而求解數(shù)列的遞推關(guān)系的通項(xiàng)公式解法靈活，由此使不少同學(xué)深感困難.若能掌握上述三種策略，可以說，解決這類問題就沒有問題了.