三角函數(shù)常見問題及解答策略分析

施美仙

［摘 要］三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，三角函數(shù)考點(diǎn)較多，學(xué)生在面對(duì)不同問題時(shí)無從下手，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。文章總結(jié)三角函數(shù)的常見問題，并有針對(duì)性地提出解答策略，以期提高學(xué)生的解題效率。

［關(guān)鍵詞］三角函數(shù)；常見問題；解答策略

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）35-0011-03

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，在每年的高考數(shù)學(xué)試卷中都會(huì)出現(xiàn)多道與三角函數(shù)相關(guān)的題目，題型多為選擇題、填空題和解答題。本文總結(jié)三角函數(shù)的常見問題，并有針對(duì)性地提出解答策略，以期提高學(xué)生的解題效率。

一、最值問題

三角函數(shù)最值問題的常用解答策略有運(yùn)用基本性質(zhì)、利用輔助角、運(yùn)用均值不等式等。在實(shí)際解題中，還需要學(xué)生結(jié)合題意，選擇合適的解題策略。

［例1］已知[α∈0，π2]，[β∈0，π2]，且[sin（2α+β）=32sinβ]，則[cosβ]的最小值為（）。

A. [53] B. [55] C. [12] D. [23]

解析：因?yàn)閇sin（2α+β）=32sinβ]，所以[sin（α+β）+α=32sin（α+β）-α]，所以[sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=32sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα]，

進(jìn)一步整理可得[sin（α+β）cosα=5cos（α+β）sinα]，所以[tan（α+β）=5tanα]，即[tanα+tan? β1-tanαtan? β=5tanα]，故[tanβ=4tanα1+5tan2α=41tanα+5tanα≤421tanα×5tanα=255]，而且在[tanα=55]時(shí)取等號(hào)。

因?yàn)閇tan β]的最大值為[255]，所以[1cos? β]的最大值為[1+tan2β=355]，所以[cos? β]的最小值為[1355=53]。故正確答案為A。

二、[ω]取值范圍問題

三角函數(shù)中[ω]取值范圍問題是高考數(shù)學(xué)中常見的一類問題，這類問題一般會(huì)與三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、零點(diǎn)等相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系。在解題中，需要學(xué)生靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象及相關(guān)性質(zhì)對(duì)問題進(jìn)行分析，進(jìn)而解答問題。

［例2］已知[ω>0]，函數(shù)[f（x）=sinωx+π4]在[π2，π]上單調(diào)遞減，則[ω]取值范圍為（）。

A. [12，54] B. [12，34]

C. [0，12]? ? ? D. [0，2]

解析：令[π2+2kπ≤ωx+π4≤3π2+2kπ（k∈Z）]，可得[π4ω+2kπω≤x≤5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

所以函數(shù)[f（x）=sinωx+π4]的單調(diào)遞減區(qū)間為[π4ω+2kπω，5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）=sinωx+π4]在[π2，π]上單調(diào)遞減，所以[π2，π?π4ω+2kπω，5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

所以[π4ω+2kπω≤π2，π≤5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

解得[ω≥12+4k，ω≤54+2k（k∈Z）]，

因?yàn)閇ω>0]，所以[k=0]，所以[12≤ω≤54]，故選A。

三、單調(diào)性問題

單調(diào)性作為三角函數(shù)的基本性質(zhì)，是解答三角函數(shù)復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。三角函數(shù)單調(diào)性問題的解答策略也不盡相同，常用的解答策略有整體代入、同增異減、圖像分析等，每種策略都有自身的優(yōu)勢(shì)，如[y=sin（ωx+φ）（ω>0）]、[y=cos（ωx+φ）（ω>0）]、[y=tan（ωx+φ）（ω>0）]等形式的三角函數(shù)運(yùn)用整體代入法可以快速解答。這就需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中總結(jié)常見解答策略的運(yùn)用情景，以保證在實(shí)際考試中可以快速準(zhǔn)確地選擇合適的解題策略，高效解答問題。

［例3］函數(shù)[f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<π2]的部分圖象如圖1所示，將其橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，后圖象沿[x]軸向左平移[π3]個(gè)單位長度，得到函數(shù)[g（x）]的圖象，則[g（x）]的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）。

A. [-5π3，π3]? B. [π3，7π3]

C. [π4，3π8] D. [3π8，π2]

解析：由函數(shù)[f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<π2]的部分圖象可知[A=1]，可解得[ω=2]，

結(jié)合五點(diǎn)作圖法，可得[2×π6+φ=π2]，所以[φ=π6]，則函數(shù)[f（x）=sin2x+π6]。

根據(jù)平移規(guī)律可得[g（x）=sin12x+π6+π6=sin12x+π3]的圖象。

令[2kπ-π2≤12x+π3≤2kπ+π2]，

解得[4kπ-5π3≤x≤4kπ+π3]，

可得函數(shù)[g（x）]的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-5π3，4kπ+π3，k∈Z]，

令[k=0]，則[g（x）]的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[-5π3，π3]。

四、零點(diǎn)問題

因?yàn)槿呛瘮?shù)圖象的特殊性，使得三角函數(shù)零點(diǎn)問題頻繁出現(xiàn)在高考試卷之中。關(guān)于零點(diǎn)的考查，主要包括零點(diǎn)的存在與否、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、零點(diǎn)和等幾類問題。對(duì)于不同的零點(diǎn)問題，解題方法也不盡相同。如求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，可以運(yùn)用直接法、定理法和數(shù)形結(jié)合法；零點(diǎn)和問題則更多地考查學(xué)生對(duì)圖象的理解。在實(shí)際的解題中，除了需要學(xué)生掌握基本的解題策略，還需要學(xué)生掌握諸多函數(shù)的圖象及性質(zhì)。

［例4］函數(shù)[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有（）。

A. [0] B. [1] C. [2] D. [3]

解析：由分析可知，函數(shù)[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程[2sinxsinx+π2-x2=0]的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)[g（x）=2sinxsinx+π2]與函數(shù)[h（x）=x2]圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

[g（x）=2sinxsinx+π2=2sinxcosx=sin2x]，

畫出函數(shù)[g（x）=sin2x]與[h（x）=x2]的圖象如圖2所示，

由圖2可知，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，

則函數(shù)[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，故正確答案為C。

五、角度問題

角度問題會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題及解答題等題型中，解答這類問題時(shí)，需要學(xué)生熟悉掌握三角恒等變換，并能結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)及正余弦定理。

［例5］[△ABC]內(nèi)角[A]、[B]、[C]的對(duì)邊分別為[a]、[b]、[c]，已知[cosA1+sinA=sin2B1+cos2B]，若[C=2π3]，求[B]。

解析：因?yàn)閇sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB]，所以[cosA1+sinA=sinBcosB]，

[cosAcosB=sinB+sinAsinB]，

[cosAcosB-sinAsinB=sinB]，

即[cos（A+B）=sinB]，所以[cos（π-C）=sinB]，[sinB=cosπ3=12]，

又[0

六、綜合問題

通過對(duì)近幾年的高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)對(duì)三角函數(shù)綜合問題的考查在不斷增加。在實(shí)際的考查中，往往會(huì)將三角函數(shù)與平面幾何、函數(shù)方程、平面向量、基本不等式等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，而這就需要學(xué)生除了掌握三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，還需要切實(shí)掌握其他諸多知識(shí)，這樣才能有效解答綜合問題。

［例6］設(shè)向量[m=（2sinωx，cos2ωx-sin2ωx）]，[n=（3cosωx，1）]，其中[ω>0]，[x∈R]，且已知函數(shù)[f（x）=m·n]的最小正周期為[π]。

（1）求[ω]的值；

（2）在[△ABC]中，若[f（B）=-2]，[BC=3]，[sinB=3sinA]，求數(shù)量積[BA·BC]的值。

解析：（1）由題意知，[f（x）=m·n=23·sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx]，

[3sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π6]，

又因?yàn)閇ω>0]，函數(shù)[f（x）]的最小正周期為[π]，

可知[2π2ω=π]，解得[ω=1]。

（2）由（1）知，函數(shù)[f（x）=2sin2x+π6]，所以由[f（B）=-2]，得[2sin2B+π6=-2]，

即[sin2B+π6=-1]，又由[0

從而可知[2B+π6=3π2]，解得[B=2π3]，

又因?yàn)閇sinB=3sinA]，所以[3sinA=sin2π3=32]，化簡(jiǎn)可得[sinA=12]，

又易知[0

因此，[C=π-A-B=π6]，

于是[A=C]，故[AB=BC=3]。

故[BA·BC=BA·BC·cosB=3×3×cos2π3=-32]。

本題中，（1）考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、三角恒等變換及正弦型三角函數(shù)的周期性，首先將[f（x）=m·n]轉(zhuǎn)化為[f（x）=][2sin2ωx+π6]，而后由[ω>0]及函數(shù)[f（x）]的最小正周期為[π]解得。（2）考查三角形與三角函數(shù)圖象及性質(zhì)、向量的數(shù)量積。由[f（B）=-2]解得[B=2π3]，而后進(jìn)一步得到[A=π6]，由[A=C]，[AB=BC=3]得[BA·BC=-32]。

綜上所述，三角函數(shù)作為重要的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，在高考中的考查方式靈活多變。本文結(jié)合實(shí)際問題，分析了三角函數(shù)的幾類常見問題，分別為最值問題、[ω]取值范圍問題、單調(diào)性問題、零點(diǎn)問題、角度問題及綜合問題。在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生重視以上各類問題的解答策略的總結(jié)，以幫助學(xué)生快速解答三角函數(shù)問題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 吳德利，代鳳鐸.關(guān)于三角函數(shù)單調(diào)性求法的探究［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（13）：8-9.

［2］? 林品玲，葉誠理.破除思維定式 明晰概念圖像：三角函數(shù)中參數(shù)ω范圍的錯(cuò)解分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（8）：19-21.

［3］? 張琳.三角函數(shù)零點(diǎn)問題常見題型分析［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（13）：6-7.

［4］? 靳曉霞.三角函數(shù)最值問題解題策略分析［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（13）：20-21.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）