三角函數常見問題及解答策略分析

施美仙

［摘 要］三角函數是高中數學的重要知識點，三角函數考點較多，學生在面對不同問題時無從下手，容易出現錯誤。文章總結三角函數的常見問題，并有針對性地提出解答策略，以期提高學生的解題效率。

［關鍵詞］三角函數；常見問題；解答策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0011-03

三角函數是高中數學的重要知識點，在每年的高考數學試卷中都會出現多道與三角函數相關的題目，題型多為選擇題、填空題和解答題。本文總結三角函數的常見問題，并有針對性地提出解答策略，以期提高學生的解題效率。

一、最值問題

三角函數最值問題的常用解答策略有運用基本性質、利用輔助角、運用均值不等式等。在實際解題中，還需要學生結合題意，選擇合適的解題策略。

［例1］已知[α∈0，π2]，[β∈0，π2]，且[sin（2α+β）=32sinβ]，則[cosβ]的最小值為（）。

A. [53] B. [55] C. [12] D. [23]

解析：因為[sin（2α+β）=32sinβ]，所以[sin（α+β）+α=32sin（α+β）-α]，所以[sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=32sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα]，

進一步整理可得[sin（α+β）cosα=5cos（α+β）sinα]，所以[tan（α+β）=5tanα]，即[tanα+tan? β1-tanαtan? β=5tanα]，故[tanβ=4tanα1+5tan2α=41tanα+5tanα≤421tanα×5tanα=255]，而且在[tanα=55]時取等號。

因為[tan β]的最大值為[255]，所以[1cos? β]的最大值為[1+tan2β=355]，所以[cos? β]的最小值為[1355=53]。故正確答案為A。

二、[ω]取值范圍問題

三角函數中[ω]取值范圍問題是高考數學中常見的一類問題，這類問題一般會與三角函數的單調性、對稱性、零點等相關內容進行聯系。在解題中，需要學生靈活運用三角函數的圖象及相關性質對問題進行分析，進而解答問題。

［例2］已知[ω>0]，函數[f（x）=sinωx+π4]在[π2，π]上單調遞減，則[ω]取值范圍為（）。

A. [12，54] B. [12，34]

C. [0，12]? ? ? D. [0，2]

解析：令[π2+2kπ≤ωx+π4≤3π2+2kπ（k∈Z）]，可得[π4ω+2kπω≤x≤5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

所以函數[f（x）=sinωx+π4]的單調遞減區間為[π4ω+2kπω，5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

因為函數[f（x）=sinωx+π4]在[π2，π]上單調遞減，所以[π2，π?π4ω+2kπω，5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

所以[π4ω+2kπω≤π2，π≤5π4ω+2kπω（k∈Z）]，

解得[ω≥12+4k，ω≤54+2k（k∈Z）]，

因為[ω>0]，所以[k=0]，所以[12≤ω≤54]，故選A。

三、單調性問題

單調性作為三角函數的基本性質，是解答三角函數復雜問題的基礎。三角函數單調性問題的解答策略也不盡相同，常用的解答策略有整體代入、同增異減、圖像分析等，每種策略都有自身的優勢，如[y=sin（ωx+φ）（ω>0）]、[y=cos（ωx+φ）（ω>0）]、[y=tan（ωx+φ）（ω>0）]等形式的三角函數運用整體代入法可以快速解答。這就需要學生在日常學習中總結常見解答策略的運用情景，以保證在實際考試中可以快速準確地選擇合適的解題策略，高效解答問題。

［例3］函數[f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<π2]的部分圖象如圖1所示，將其橫坐標擴大到原來的4倍，縱坐標不變，后圖象沿[x]軸向左平移[π3]個單位長度，得到函數[g（x）]的圖象，則[g（x）]的一個單調遞增區間為（）。

A. [-5π3，π3]? B. [π3，7π3]

C. [π4，3π8] D. [3π8，π2]

解析：由函數[f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<π2]的部分圖象可知[A=1]，可解得[ω=2]，

結合五點作圖法，可得[2×π6+φ=π2]，所以[φ=π6]，則函數[f（x）=sin2x+π6]。

根據平移規律可得[g（x）=sin12x+π6+π6=sin12x+π3]的圖象。

令[2kπ-π2≤12x+π3≤2kπ+π2]，

解得[4kπ-5π3≤x≤4kπ+π3]，

可得函數[g（x）]的單調遞增區間為[4kπ-5π3，4kπ+π3，k∈Z]，

令[k=0]，則[g（x）]的一個單調遞增區間為[-5π3，π3]。

四、零點問題

因為三角函數圖象的特殊性，使得三角函數零點問題頻繁出現在高考試卷之中。關于零點的考查，主要包括零點的存在與否、零點個數、零點和等幾類問題。對于不同的零點問題，解題方法也不盡相同。如求零點個數的問題，可以運用直接法、定理法和數形結合法；零點和問題則更多地考查學生對圖象的理解。在實際的解題中，除了需要學生掌握基本的解題策略，還需要學生掌握諸多函數的圖象及性質。

［例4］函數[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零點個數有（）。

A. [0] B. [1] C. [2] D. [3]

解析：由分析可知，函數[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零點個數等價于方程[2sinxsinx+π2-x2=0]的根的個數，即函數[g（x）=2sinxsinx+π2]與函數[h（x）=x2]圖象的交點個數，

[g（x）=2sinxsinx+π2=2sinxcosx=sin2x]，

畫出函數[g（x）=sin2x]與[h（x）=x2]的圖象如圖2所示，

由圖2可知，兩個函數圖象的交點個數為2，

則函數[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零點個數有2個，故正確答案為C。

五、角度問題

角度問題會出現在選擇題、填空題及解答題等題型中，解答這類問題時，需要學生熟悉掌握三角恒等變換，并能結合函數的基本性質及正余弦定理。

［例5］[△ABC]內角[A]、[B]、[C]的對邊分別為[a]、[b]、[c]，已知[cosA1+sinA=sin2B1+cos2B]，若[C=2π3]，求[B]。

解析：因為[sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB]，所以[cosA1+sinA=sinBcosB]，

[cosAcosB=sinB+sinAsinB]，

[cosAcosB-sinAsinB=sinB]，

即[cos（A+B）=sinB]，所以[cos（π-C）=sinB]，[sinB=cosπ3=12]，

又[0

六、綜合問題

通過對近幾年的高考數學試題進行分析，發現對三角函數綜合問題的考查在不斷增加。在實際的考查中，往往會將三角函數與平面幾何、函數方程、平面向量、基本不等式等相關知識進行聯系，而這就需要學生除了掌握三角函數相關知識，還需要切實掌握其他諸多知識，這樣才能有效解答綜合問題。

［例6］設向量[m=（2sinωx，cos2ωx-sin2ωx）]，[n=（3cosωx，1）]，其中[ω>0]，[x∈R]，且已知函數[f（x）=m·n]的最小正周期為[π]。

（1）求[ω]的值；

（2）在[△ABC]中，若[f（B）=-2]，[BC=3]，[sinB=3sinA]，求數量積[BA·BC]的值。

解析：（1）由題意知，[f（x）=m·n=23·sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx]，

[3sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π6]，

又因為[ω>0]，函數[f（x）]的最小正周期為[π]，

可知[2π2ω=π]，解得[ω=1]。

（2）由（1）知，函數[f（x）=2sin2x+π6]，所以由[f（B）=-2]，得[2sin2B+π6=-2]，

即[sin2B+π6=-1]，又由[0

從而可知[2B+π6=3π2]，解得[B=2π3]，

又因為[sinB=3sinA]，所以[3sinA=sin2π3=32]，化簡可得[sinA=12]，

又易知[0

因此，[C=π-A-B=π6]，

于是[A=C]，故[AB=BC=3]。

故[BA·BC=BA·BC·cosB=3×3×cos2π3=-32]。

本題中，（1）考查數量積的坐標運算、三角恒等變換及正弦型三角函數的周期性，首先將[f（x）=m·n]轉化為[f（x）=][2sin2ωx+π6]，而后由[ω>0]及函數[f（x）]的最小正周期為[π]解得。（2）考查三角形與三角函數圖象及性質、向量的數量積。由[f（B）=-2]解得[B=2π3]，而后進一步得到[A=π6]，由[A=C]，[AB=BC=3]得[BA·BC=-32]。

綜上所述，三角函數作為重要的高中數學知識，在高考中的考查方式靈活多變。本文結合實際問題，分析了三角函數的幾類常見問題，分別為最值問題、[ω]取值范圍問題、單調性問題、零點問題、角度問題及綜合問題。在日常教學中，教師要引導學生重視以上各類問題的解答策略的總結，以幫助學生快速解答三角函數問題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 吳德利，代鳳鐸.關于三角函數單調性求法的探究［J］.數理天地（高中版），2023（13）：8-9.

［2］? 林品玲，葉誠理.破除思維定式 明晰概念圖像：三角函數中參數ω范圍的錯解分析［J］.中學數學研究，2023（8）：19-21.

［3］? 張琳.三角函數零點問題常見題型分析［J］.數理天地（高中版），2023（13）：6-7.

［4］? 靳曉霞.三角函數最值問題解題策略分析［J］.數理天地（高中版），2023（13）：20-21.

（責任編輯 黃桂堅）