讓學生在發現與探究中成長

陳棟

［摘 要］“最短路徑問題”是初中數學的重要內容，也是中考數學的熱門考點。在“最短路徑問題”教學中，嘗試自編闖關游戲，以任務驅動的方式驅動學生學習，讓學生在不斷闖關的過程中理解最短路徑問題的內涵與本質，從而提升學生的思維品質，培養學生的核心素養。

［關鍵詞］最短路徑問題；發現；探究；成長

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0004-04

“最短路徑問題”是蘇科版八年級上冊 “軸對稱圖形”一章中的重要內容。在歷年的中考或數學競賽中，“最短路徑問題”是熱門考點。但是，在日常的課堂教學中發現學生不容易理解這個問題，在解題時常不知從何下手。為了讓學生能理解這個問題并能有效解答問題，筆者嘗試自編闖關游戲，以任務驅動的方式驅動學生學習，讓學生在不斷闖關的過程中理解最短路徑問題的內涵與本質。

一、教學流程

環節1：分享經典數學故事，激發學生的求知欲

經典數學故事：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠萬里專程前來向海倫求教一個他百思不得其解的問題：如圖1所示，將軍從A地出發先到河邊飲馬，然后再到B地軍營視察，他按什么樣的路線走，路程最短？精通數學與物理的海倫略加思索，便解答了這個問題，這就是著名的“將軍飲馬”問題。

評析：引入經典數學故事，激發學生的學習興趣，并給學生留下懸念：海倫是如何解決這個問題的？將軍如何走才能使路程最短？解決這個問題需要哪些數學知識？我能不能解決這個問題呢？讓學生帶著問題進入課堂，有利于進一步激發學生的探究欲。

環節2：自編闖關游戲，引導學生智慧闖關

愛因斯坦說：“興趣是最好的老師?！碑斘覀儗δ撤N事物有了研究的興趣，就會自主地去求知、去探究，無須他人督促，且在艱難的求知與探索過程中產生的情緒與體驗是愉悅的，獲得的知識也是永久的。

教師自編闖關游戲，將全班學生分成五個小組，每個小組選出一名組長，由組長帶領其他組員過關斬將，每個小組只有答對了才能進入下一關解答下一道題。以闖關成功次數最多、用時最少的為冠軍，其次為亞軍、季軍。評出闖關最優秀的三個小組，由教師頒發獲獎證書及獎品，以資鼓勵。

評析：教師自編闖關游戲，激發學生的學習興趣；把重難知識點融入闖關游戲中，引導學生小組協作闖關，培養學生的團隊合作精神：把“最短路徑問題”涉及的題型分類逐步呈現，由淺入深，層層遞進，最終完成全部任務。

第一關：如圖2所示，工廠[A]與工廠[B]想在公路[m]旁修建一座共用的倉庫[O]，并且要求[O]到[A]與[O]到[B]的距離之和最短，請你在[m]上確定倉庫應修建的[O]點位置，同時說明你選擇該點的理由。

生1：如圖3所示，連接[AB]交直線[m]于點[O]，則點O即為所求的點。理由：因為連接兩點的所有線中線段最短，所以[OA+OB]最短。

評析：這個問題比較簡單，雖然也是兩定點、一動點與定直線，但是兩定點在定直線的兩側，學生只要了解“兩點之間，線段最短”就可以解答這個問題。讓學生說明作圖的理由，旨在從實際問題邁向數學問題，為解決其他“最短路徑問題”提供理論依據。

第二關：如圖4所示，某大型農場擬在公路[l]旁修建一個農產品儲藏加工廠，將該農場兩個規模相同的水果生產基地[A]、[B]的水果集中進行儲藏和技術加工，以提高經濟效益。請你在圖中標明加工廠所在的位置[P]，使[A]、[B]兩地到加工廠[P]的運輸路程之和最短。（要求：保留作圖痕跡，寫作法和證明）

生2：如圖5所示，作點[A]關于直線[l]的對稱點[A′]，連接[BA′]交直線[l]于點[P]，則點[P]即為所求加工廠的位置。證明：在直線[l]上取不同于點[P]的點[P′]（如圖5），連接[AP′]、[BP′]，因為[A]和[A′]關于直線[l]對稱，所以根據軸對稱的性質得[PA=PA′]，[P′A=P′A′]，在[△A′BP′]中，根據三角形的三邊關系得[A′B

評析：這個問題就是本節課要探究的主題，即“將軍飲馬”問題，教師要善于把實際問題轉化為數學問題。本關的實際問題是：在公路旁修建一個農產品儲藏加工廠，使這個廠到[A]、[B]兩個水果生產基地的路程之和最短，該如何選址呢？數學問題是：在直線[l]的同側有兩個固定點[A]、[B]，如何在直線[l]上找一點[P]，使[PA+PB]的值最??？解決方案是：作其中一固定點關于直線[l]的對稱點，然后連接另一固定點與對稱點，連線與直線[l]的交點就是所求的點，其本質就是“兩點之間，線段最短”，方法是利用軸對稱“化折為直”。

第三關：如圖6所示，草地邊緣[OM]與小河河岸[ON]在點[O]處形成30°的夾角，牧馬人從[A]地出發，先讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到[A]地。已知[OA=2 km]，請在圖中設計一條路線，使所走的路徑最短，并求出整個過程所行的路程 。

生3：如圖7所示，分別畫出點[A]關于[OM]、[ON]的對稱點[B]、[C]，連接[BC]交[OM]、[ON]于點[D]、[E]，連接[AD]、[AE]，則線段[AD]、[DE]、[EA]即為所求的路徑，由題意可知點[A]、[B]關于直線[OM]對稱，根據軸對稱的性質得[OB=OA=2]，[∠AOM=∠BOM]，因為點[A]、[C]關于直線[ON]對稱，所以根據軸對稱的性質得[OA=OC=2]，[∠AON=∠CON]，因為[∠MON=∠AOM+∠AON=30°]，所以[∠BOC=60°]，因為[OB=OC=2]，所以三角形[OBC]為等邊三角形，所以[BC=2]，根據軸對稱的性質得[BD=AD]，[AE=CE]，所以[AD+DE+AE=BC=2]，所以其總路程為2 km。

評析：第三關的實際問題可以轉化為這樣一個數學問題：有兩條固定直線的夾角為30°，在夾角內有一固定點[A]，它到夾角頂點的距離為2 km，在固定直線上各確定一點，使這兩個點與點[A]組成的三角形周長最小，并求出最小周長。這個問題在第二關問題的基礎上增加了難度，因為上一個問題只需作一次軸對稱即可，而這個問題則需要作兩次軸對稱，上一個問題是求作使兩條線段和最小的一個點，而這個問題是求作使三條線段和最小的兩個點，拓寬了學生的思維空間，進一步凸顯了軸對稱在解決“最短路徑問題”中的作用。

第四關：如圖8所示，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執勤小隊從[A]處出發，先到公路[m]上設卡檢查，再到公路[n]上設卡檢查，最后再到達[B]處執行任務，他們應如何走才能使總路程最短？畫出圖形并說明作法。

生4：如圖9所示，作點[A]關于直線[m]的對稱點[A′]，作點[B]關于直線[n]的對稱點[B′]，連接[A′B′]交直線[m]、[n]于[M]、[N]兩點，連接[AM]、[BN]，則[AM]—[MN]—[NB]即為最短路線。

評析：這一關的問題在上一關問題的基礎上又增加了難度，上一關的問題是一個定點、兩條定直線，求作兩個動點，使形成三條線段的和最小，而這一關的問題是兩個定點、兩條定直線，求作兩個動點，使形成的四條線段的和最小。兩關的相同點是作兩次軸對稱，利用軸對稱“化折為直”，其底層邏輯仍是“兩點之間，線段最短”。其作圖的關鍵是找準對稱軸，作出對稱點，繼而確定最短路徑。

第五關：如圖10所示，直線[l1]、[l2]表示一條河的兩岸，且[l1]∥[l2]，現要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），橋建在何處才能使從村莊[A]經過河到村莊[B]的路線最短？畫出示意圖，并說明理由。

生5：如圖11所示，讓點[A]向上平移到點[A′]，使[AA′]與河等寬，且[AA′]垂直于河岸，然后連接[BA′]，與河岸的交點為[C]，過點[C]作[CD]垂直于河岸，交另一河岸于點[D]，則[CD]就是所求的橋的位置。理由：由作圖過程可知，[CD]與[AA′]相等且互相平行，所以四邊形[ADCA′]為平行四邊形，所以[A′C]可以看作是由[AD]平移得到，根據“兩點之間，線段最短”得[A′B]最小，由于河寬不變，[CD]即為橋。

評析：第五關與前面四關的不同點在于把平移也加入了作圖中，相當于在第一關的基礎上由一條定直線變為兩條平行的定直線，兩個固定點仍在固定直線的兩側，此時需要把一個固定點通過平移得到它的對應點，這個對應點代替原來的點，然后利用“兩點之間，線段最短”求得最短路徑。第五關突出了平移在作圖中的作用，讓學生學會綜合應用平移與軸對稱找最短路徑。

第六關：如圖12所示，在銳角[△ABC]中，[AC=7 cm]，[S△ABC=21 cm2]，[AD]平分[∠BAC]，[M]、[N]分別是[AD]和[AB]上的動點，求[BM+MN]的最小值并說明理由。

生6：根據題意畫出符合條件的圖形，作[N]關于[AD]的對稱點[R]，則[BM+MN=BR]，作[AC]邊上的高[BE]（[E]在[AC]上），根據“垂線段最短”得出[BM+MN≥BE]，所以[BE]的長就是[BM+MN]的最小值。如圖13所示，作[N]關于[AD]的對稱點[R]，[作AC]邊上的高[BE]（[E]在[AC]上），因為[AD]平分[∠BAC]，[△ABC]為銳角三角形，所以點[R]必在[AC]上，因為[N]關于[AD]的對稱點為[R]，由軸對稱的性質得[MR=MN]，所以[BM+MN=BM+MR]，根據“垂線段最短”得[BM+MN=BR≥BE]，因為[S△ABC=21 cm2]，[AC=7 cm]，所以[12×7×BE=21]，解得[BE=6]（cm），所以[BM+MN]的最小值為6 cm。

評析：本題的數學模型是兩動點、一定點、兩條定直線。雖然第三關的問題也是兩動點、一定點、兩條定直線，但是兩者的不同點在于雙方定點的位置不同，第六關的定點在其中一條定直線上，而第三關的定點在兩條定直線之間。雙方所求最小值的目標也不同，第六關求兩條線段和的最小值，第三關求的是三條線段和的最小值。第六關顯然是第三關的升級版，其底層邏輯是“垂線段最短”，線段公理研究的是兩點之間的最短距離，而“垂線段最短”研究的是點到直線的最短距離。同時，本題還加入了“角是軸對稱圖形”這一知識點。

第七關：如圖14所示，[A]、[B]兩個工廠位于一段直線形河的兩側，[A]廠距離河邊[AC=5 km]，[B]廠距離河邊[BD=1 km]，經測量[CD=8 km]，現準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠[E]。（1）設[ED=x]，請用[x]的代數式表示[AE+BE]的長；（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水處理廠[E]的位置應怎樣來確定？此時需要管道多長？（3）通過以上的解答，充分展開聯想，運用數形結合思想，求代數式[x2+9+（15-x）2+25]的最小值。

生7：（1）在Rt[△ACE]中，根據勾股定理可得[AE=（8-x）2+25]，在Rt[△BDE]中，根據勾股定理可得[BE=x2+1]，所以[AE+BE=（8-x）2+25+x2+1]。

（2）如圖15所示，根據“兩點之間，線段最短”可知，連接[AB]，其與[CD]的交點就是污水處理廠[E′]的位置。過點[B]作[BF]垂直[AC]的延長線于點[F]，則有[BF=CD=8]，[CF=BD=1]，所以[AF=AC+CF=6]。在[Rt△ABF]中，由勾股定理得[BA=AF2+BF2=62+82=10]，所以最少需要管道1[0 km]。

（3）根據以上推理，可以構造如圖16所示的圖形，設[ED=x]，[BD=3]，[CD=15]，[AC=5]，點[E]是[CD]上一動點，當[A]、[E]、[B]三點共線時，[AE+EB]的值最小，等于[AB]的長。在Rt[△ABF]中，[AF=8]，[BF=CD=15]，由勾股定理得[AB=82+152=17]，所以代數式[x2+9+（15-x）2+25]的最小值為17。

評析：這一關是利用幾何模型解決代數問題，是數形結合的典型案例，如何求得定直線兩側兩定點之間的最短距離，是一件簡單易行的事，但是利用幾何模型來求兩個二次根式和的最小值，卻不是一件容易的事。這一關解決了如何求兩個二次根式和的最小值的問題，這是本節課難度最大的一關。

二、教學反思

本節課以“生活情境—數學知識演繹—生活問題解決”為路徑進行教學，讓學生感受到數學源于生活又高于生活。

教材只是個例子，教師在精確把握教材中的重難點內容的同時，要學會加工處理教材，為學生設計形式多樣、內容新穎的情境，如本節課自編闖關游戲來驅動學生解決最短路徑問題，逐步化解難點，課程內容由易到難、層層遞進，注重與基礎知識的銜接，注重不同知識點之間的融合，如軸對稱與平移、軸對稱與線段公理、軸對稱與垂線段最短，注重代數與幾何知識的融合，使學生真正掌握解決問題的方法。

情境教學有利于激發學生的學習興趣，任務驅動教學有利于促進學生思維螺旋式上升。本節課采用情境教學與任務驅動教學相結合的方法，以學生的自主探究為主，以學習小組的合作交流為輔。在真實情境下，學生先思考再討論最后動手，手眼腦協同作業。在將實際問題轉化為數學問題的過程中，學生培養了綜合分析圖形的能力，思維得以由點到面地進行發散。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 朱華平.最短路徑怎么找［J］.初中生學習指導，2021（29）：34-35.

［2］? 王莉.初中數學教學中關于數學建模的理解與路徑探究［J］.數學教學通訊，2023（20）：54-56.

［3］? 周濤.任務驅動在初中數學教學中的應用［J］.中學數學，2022（24）：84-85.

（責任編輯 黃桂堅）