“一致性”視角下運算教學的思考與探索

林燕萍

【摘 要】本文以探索數與運算一致性教學理念的實施策略為目標，豐富教學內容，轉變教學策略，從而逐步構建獨具特色的小學數學數與運算一致性教學體系。

【關鍵詞】小學數學 運算一致性 核心素養

一、類比融通，體會算法一致性

數學是有結構的，不僅是教學內容，還包括方法、思想、策略等，都是一脈相承的。我們要改變原來一個知識點、一個例題、一組練習勻速前進的教學方式，立足每一節課，又高于每一節課，從“一致性”的視角審視課堂，通過類比推理，不斷地把小數與分數的知識納入整數的認知結構，使學生明白“數與運算”就那么點事，實現數學學習結構化，提高學生的運算能力和推理意識。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出在數與運算教學中教師應注重建立運算之間的聯系，體會運算的一致性。在教學中，教師應適時組織學生對不同數據類型的運算進行交流，以及探尋不同運算方法之間的聯系。在學完人教版五下“分數的加法和減法”后，應引導學生思考分數加減運算方法與整數、小數加減運算方法之間的共性。在探索分數加減法怎樣計算的時候，應鼓勵學生思考已學過的加減運算的算理，從而遷移運算的一致性。

例如，在教學人教版五下“異分母分數加、減法”時，課堂上學生通過自主探究、分享交流、梳理方法，理解了其中的意義，教師通過追問：“為什么整數加減法計算要求相同數位對齊？而小數加減法要求小數點對齊？異分母分數為什么要通分？”打通整數、小數、分數加減法的關聯，即本質都是以計數單位這個核心要素進行相同計數單位的累加或遞減。當計數單位不同不能直接相加減時，可以把單位細化成小一點的單位繼續加減。在溝通關聯中發現它們本質的一致性，建立了數的運算的整體結構，讓學生感悟整數、小數、分數加減法運算的一致性。

面對《課程標準》中“一致性”的新要求，教師必須對教材進行統整，建構不同單元、不同運算算理的一致性，將零散的、碎片的數學知識先在自己頭腦中形成整體化、系統化、邏輯化的數學知識結構。有了這樣的認知與儲備，才會產生相應的意識，進而制定與之配套的、具體到每一節運算課的教學目標和教學行為。

二、數形結合，感悟算理與算法的聯結

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，而運算能力主要涉及三個問題：一是“如何算”，即對算法與運算過程的運用，指向實施運算的學科能力；二是“為什么可以這樣算”，即對算理的理解，表現為運算的合理性，指向理解運算的學科能力；三是“怎樣算得更好”，即對算法的優化，表現為運算的靈活性，指向選擇運算策略的學科能力。要培養和提高學生的運算能力，就必須讓“理”越變越明，讓“法”越變越清。理解算理、掌握算法是運算教學的靈魂所在，只有將算理和算法兩者相輔相成才能讓學生通透理解。

例如，在教學人教版六上“分數除法”時，教學時先讓學生回憶整數除法、小數除法的算理，從而引發學生思考：分數除以整數該怎么計算？從知識體系來激發學生的探究欲望。接著，呈現進階關系的三個核心問題：（1）把一張紙的[45]平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？（2）把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？（3）請你總結出分數除以整數的計算方法。在問題探究中，以學生自主探究為主線，放手讓學生獨立思考，把更多的時間、空間留給學生。讓學生在畫一畫、涂一涂、算一算、說一說的活動中，探索分數除以整數的運算方法。通過面積模型讓算理與算法交融起來，使學生在算法剖析中理解算理，在理解算理的基礎上形成算法，做到以數形結合深化算理。

數形結合是學習數學的一種重要方法，借助直觀的“形”可以理解抽象的“數”，同理抽象的“數”可以表示直觀的“形”，利用它們之間的關系可以有效地幫助學生理解概念、建構知識。因此，在數的運算教學中要巧妙借助圖形表征打通算法與算理的聯結，感悟數與運算的一致性，探索從知識技能本位走向素養能力本位的教學實踐。

三、聚焦核心，凸顯運算一致性

數的運算以計數單位為核心概念，將整數、小數、分數的四則混合運算統領在一起。在與“乘法運算”相關的課堂中圍繞著“計數單位的個數相乘得到新的計數單位個數；計數單位相乘，得到新的計數單位；得到新的計數單位及其個數，這樣就產生了一個新的數，這個數就是乘法算式的結果”。如果說所有的加法運算都是相同計數單位的累加，那么乘法運算依然是計數單位的累加和聚合。建立這樣的認識，再用這一理念組織教學，并貫穿各個學段的乘法運算教學之中，然后通過知識間的關聯和學生學習經驗的積累，讓學生感悟到數的運算的一致性。

以“整數乘法”和“小數乘法”為例，比如：5×3表示3個5、5個3或者5的3倍。從計數單位出發，它就表示5個1的3倍是多少？所以5×3=（5×1）×（3×1）=（5×3）×（1×1）=15×1=15，很明顯這里單位的總個數是15，而計數單位是1。

依此類推，50×30是5個10的30倍，即5個10乘3個10，（5×10）×（3×10）=（5×3）×（10×10）=1500，同樣的道理，這里新單位的個數依然是15，但是計數單位是10個10，即100。

若拓展到小數0.5×0.3，教師可以引導學生加上單位，創設情境：客廳鋪的地磚長是0.5米，寬是0.3米，求它的面積。學生自然會把0.5米轉化成5分米，把0.3米轉化成3分米，然后用5×3=15（平方分米），再將15平方分米化成0.15平方米。教師也可以嘗試引導學生從計數單位出發，結合運算的意義和運算律，培養學生的遷移類推能力：0.5×0.3=（5×0.1）×（3×0.1）=（5×3）×（0.1×0.1）=15×0.01=0.15，在這里5×3依然統計的是計數單位的總個數，而0.01則是新的計數單位。所以，落實到算法就是小數乘法按照整數乘法的法則算出積，這個積統計的就是計數單位的總個數；再觀察兩個乘數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點，則是確定新的計數單位。

這樣看來整個小學階段的乘法運算是一脈相承的：其一尋找新的計數單位，其二統計有多少個這樣的單位。因此，乘法運算具有跨學段的內在一致性。那么教師在實際教學的過程中，除了結合實際情境，關注直觀操作，讓學生感悟算理，明晰算法，更應該將計數單位這個一致性的靈魂種子植入學生的心中，逐步滲透，從推理的角度溝通關聯、整體建構，持續發展學生的數感、運算能力和推理意識。

再以“分數除法”為例，《課程標準》在教學建議中進一步提出：“在進行除法計算的過程中，進一步理解除法是乘法的逆運算。在這樣的過程中，感悟如何將未知轉為已知，形成初步的推理意識?！狈謹党ǚ▌t是利用“除以一個不為0的數等于乘這個數的倒數”來進行計算，這與整數除法的算法和算理似乎有明顯差異，也容易引起學生的質疑。因此，很有必要打通整數除法與分數乘法的關系，幫助學生學會整體思考、自覺遷移，并發展學生的運算能力和推理意識。從學生開始學習整數除法到小數除法的算理時，教師要以“計數單位”這一核心概念為抓手，真正理解除法就是求“計數單位個數之間的包含關系”，讓學生形成除法運算之間的一致性和整體性的意識。

總而言之，學生對數的運算的一致性的感悟是一個循序漸進的過程，在教學中教師要引導學生以聯系的視角看待數的認識與數的運算，溝通不同階段數的意義的一致性以及不同類數的運算之間的聯系。教師應在數的認識、數與運算的每節課中滲透，在單元學習結束時進行融會貫通的復習，實現算理貫通、算法統整，讓學生會用整體的、聯系的、發展的眼光看數學、想問題，促進學生的思維進階，讓數學核心素養落地生根。

（作者單位：福建省安溪縣第三實驗小學 責任編輯：宋曉穎）

［1］鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（06）：45-51，56.

［2］趙莉，吳正憲，史寧中.小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐——以“數與運算”總復習為例［J］.課程·教材·教法，2022，42（08）：122-129.