基于數學本質學習的“基本不等式”微專題教學設計

蔣峰

摘? 要：文章是高三二輪復習中“基本不等式”的教學微專題設計，精選例題及變式，使學生靈活使用基本不等式求最值問題。以提升解決數學問題為出發點，讓學生更加準確地把握數學本質及其內在聯系，加深對數學思想方法的理解和認識。

關鍵詞：微專題；教學設計；基本不等式

一、關于數學本質的理性認識

不少數學教師會感慨一節課時間太短，盡管備課充足，但由于客觀因素的影響，課堂效果仍然不盡如人意，學生也埋怨課堂教學信息量太大，難以消化吸收。然而，在實際教學中，微專題的利用，可以使這一現狀獲得改善，增強課程的講授效果和針對性，但是，要想真正解決這一困局，還需要更多的努力和改進。在教學設計中，闡明數學教育的本質是解題的關鍵，數學本質是一種共同的穩定屬性，是事件變動中保持穩定的特征。所以數學本質指的是數學學科的實質，它決定了數學學科的性質、面貌和發展，換句話說，它是數學內容的本真意義，是數學學科發展的基石。

“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。”如何通過教學設計，使數學核心素養落實到課堂中，是數學學科教研的重要課題。本文是以一節高三數學二輪微專題課為例，對“基本不等式”這一重要內容的微專題教學設計的探索。

二、基于數學本質的課堂建構路徑

本專題教學目標：借助數學小故事，結合具體情境，引入基本不等式≤（a≥0，b≥0），了解其結構特征，通過具體實例和適當訓練，能夠靈活運用基本不等式解決最值問題。本專題內容，以基本不等式的生成為起點，關注數學的內在聯系和思想方法，注重學生思維能力的培養，能把握數學本質，提升解決實際問題的能力，能夠靈活使用基本不等式解決最值問題。本專題設計分兩部分：第一部分：利用基本不等式求最值，通過一道錯題呈現引起學生對基本不等式運用過程中細節的重視，進而通過三個變式，強化一正、二定、三相等這三個要素；第二部分：二元及多元問題的常見處理方法，如消元法，主要含代入消元法、換元消元法（雙換元、三角換元等）、構造消元法（齊次式），待定系數法及“1”的代換等，以加強學生對基本不等式的靈活應用。

（一）知識回顧引出數學本質

1. 基本不等式：≤

（1）基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0。（2）等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號。（3）其中正數a，b的算術平均數為，正數a，b的幾何平均數為。

2. 幾個重要的不等式

（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R），當且僅當a=b時取=。（2）ab≤

（a，b∈R），當且僅當a=b時取=。（3）+≥2（a，b同號），當且僅當a=b時取=。（4）ab≤

≤。（5）≤≤≤（a≥0，b≥0）。

3. 利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，則（1）若積xy是定值p，則當且僅當x=y時，x+y有最小值是2。（簡稱：積定和最小）（2）若和x+y是定值s，則當且僅當x=y時，xy有最大值是。（簡稱：和定積最大）

細節強調：①在利用基本不等式求最值時：“一定，二正，三相等”，分別指使用條件，式子結構，取等要求，忽略任一條件，就會導致出錯。②在利用基本不等式求最值時，盡可能避免多次使用，如必須多次使用，需關注取等條件，條件一致時方可傳遞。

設計意圖：通過提問已經學習的基本不等式的相關內容，幫助學生回憶基本不等式的內容，理清知識間的關系，形成知識的框架和體系。同時為后面的例題和練習提供基本的公式參考，揭露基本不等式的本質應用即求最值問題。

（二）課堂導入探尋數學本質

引例：函數f（x）=lgx，若0

錯解呈現：由f（a）=f（b）得0

師：本題解法有錯嗎？如果有，錯在哪里？

生（預設）：取等條件不滿足0

設計意圖：使用基本不等式時要檢驗取等條件。等號取不到該怎么辦？這時可以通過函數求導等手段求最值；通過錯題重現強化對基本不等式的認識以及如何利用基本不等式準確求得最值。大多數學生可能無法完全理解復雜的理論知識，需要教師的充分指導，對此，教師需要積極鼓勵學生針對課堂教學主要內容進行深入分析研究，在小組內部共同研究相關課題或相關教學內容，了解基礎不等式例題的計算過程，認真分析例題的主要要求以及相關內容，查找例題中的核心要素，提取相應的學科知識點。

（三）知識應用鞏固數學本質

例1：求函數f（x）=x+（x<0）的值域。

例2：函數已知x>2，則x+的最小值是（? ? ）。

A. 2? ? B. 4? ? C. 2? ? D. 6

例3：已知函數f（x）=（a∈R），若對任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是________。

例4：求a2++（a>b>0）的最小值。

設計意圖：例1的設置在于對“一正”的考察。“一正”是應用基本不等式的前提條件。形式符合利用基本不等式，但條件不符合，可以通過對條件加工進而使用基本不等式。例2的設置是對“二定”的考察。這是利用基本不等式求最值的主體，其核心在于通過“湊”（等價變形）找到“定值”，即和為定值積有最大值，積為定值和有最小值。例3的設置是對“三相等”的考察。基本不等式的主體運用結束之后，必須判斷取等條件，檢驗基本不等式是否失效。例4主要針對題目中需要多次使用基本不等式，必須關注取等的條件，不能出現“不一致”的情況。

這幾個例題從幾類典型問題出發，通過分析糾錯，方法提煉，引出基本不等式應用過程中的三個重要條件，幫助學生梳理知識體系，從而強化對基本不等式的認識，引導學生理清使用條件和等號能否取到的問題，從而進一步提高解決數學問題的能力。

（四）拓展練習深挖數學本質

練習1：已知x2+2y2=1，則u=3x2+y2-2x+1的取值范圍。

練習2：設實數x，y滿足-y2=1，則3x2-2xy的最小值是________。

練習3：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為________。

練習4：設a，b>0，a+b=5，則+的最大值為________。

設計意圖：“拓展練習”模塊，為學生提供了不同類型的典型例題，在學生學習基礎定理之后，為學生提供相關知識點，進一步啟發學生發散思維，完善學生學科知識體系，拓展學生學習視野，幫助學生認真學習數學方面的學科知識，了解數學的基本定理與性質，在學習數學基礎定理的基礎之上，解決具體的數字運算題目，培養學生舉一反三、學以致用的能力。從而引導學生開展自主學習，積極地探討和解決教學中的問題，深入理解數學學科的核心概念和重點知識，熟悉數學課程的教學內容，并能夠運用數學知識解決實際問題。

三、基于數學本質學習的微設計反思感悟

教科書中的數學知識，是一種“冰冷的知識”，它只是一種表面的概念，但實際上，知識背后的數學本質更加深奧，因此，數學教師有責任將其轉化為有效的教育形式，以幫助學生更好地理解這些知識中的數學概念，并且讓他們能夠主動、積極地學習，深度學習的實踐和理論發展，正是對這一觀點最好的詮釋。

（一）關注核心素養，聚焦數學本質

在高中數學教學環節中，教師需要認真遵循課程改革的整體要求，逐步優化課堂教學具體流程，在教學設計以及教學研究等方面融入課程教學的基本教學理念與相關思維，在逐步培養學生良好學習能力以及思辨意識的前提之下，逐步提升課堂教學整體質量與水平。教師不僅要在課堂上培養學生的學習能力和專業素養，還應該利用各類教育資源，結合日常教學要求，深入淺出地講解數學的基本性質和定理，并且利用實例幫助學生理解數學的變化規律，同時也要提供具體的解答技巧和全新的解析思路，以此拓展學生的學科知識面。

高中數學學科與其他類型的學科有所不同，更加注重培養學生的邏輯思維能力以及理性發展能力，更加注重學生學習學科知識的過程。教師應融入新型的學習理念與學習方法，指導學生自主調整當前學習狀態，引導學生著重發現數學學科的本質，鼓勵學生結合數學學科的特色學習方法，學習相關學科知識點，了解高中數學課程的具體教學內容。

（二）基于學情分層設計微課程

不同學生的理解能力以及接受能力有所不同，不同學生對同一知識點的理解也可能存在偏差，在此前提之下，教師需要針對課堂教學改革工作的整體要求，深入分析當前教學現狀，結合具體問題，探索具有針對性的問題解決策略以及教學方法，幫助學生學習基礎理論知識，隨后深入研究重難點知識。基于數學本質學習的“基本不等式”課堂設計工作要求，教師立足于基本不等式定理以及相關函數性質，為學生分析基本不等式的主要性質，同時也需要由教師結合基本不等式定理推導具體的數字運算過程。最后在教學設計方案中，合理設置思維導圖，安排具體的教學例題，結合典型例題，揭示基本不等式與函數之間的密切聯系，將函數與基本不等式的理論知識進行有效銜接，鼓勵學生通過一些例題或者是一部分理論知識發現數學的本質，了解數學學科的本質與特征。

由于班級內部存在優等生和后進生，在講解過程中，教師應該充分考慮到每一位學生的學習情況，靈活調整教學策略和進度，尤其是在講解基本不等式定理時，要積極鼓勵并引導優等生深入理解課程內容，以提高學習效果。

（三）巧用問題串啟發深層思考

在本次教學設計環節中，著重提出了新型的教學策略與方法，其中包含基本不等式以及三角函數方面的學科知識點，結合三角函數的典型例題，為學生推出新的學科知識點，隨后鼓勵學生在學習基本不等式定理的基礎之上解答相關題目，通過例題分析與課程講解等形式鼓勵學生了解例題的解題方式，不斷調整自己的解題思路與學習方法。大多數學生在了解三角函數之后，對函數的基本定理以及函數性質有了更全面的認識，也有部分學生可以將三角函數、一次函數以及二次函數的相關知識點串聯在一起，通過此種方式，可以培養學生的學科思維，同時也可以幫助學生深入研究學科知識的本質與內涵，進一步挖掘學科知識的核心要點。

四、結語

高中生需要廣泛學習相關學科知識點，也需要教師有意識、有目的地培養學生多方面的學習能力以及學科素養。學生的個性成長與能力發展需要教師的指導和幫助，也需要教師充分引導學生通過自主努力解決相關問題，或者是通過小組合作的形式共同探討例題的解題思路，結合例題中的函數定理進行綜合分析與研究。此外，本次教學設計方案中著重推出了“拓展練習”模塊，該模塊中著重指出了具體的解題方法與思路，主要目的在于幫助學生了解典型例題，了解不同題目的解題思路與方法，了解學科核心知識點的變形過程。學生可以不斷調整自己的解題思路，運用基礎定理快速了解題目的主要內容，隨后根據題目要求快速解答題目，在數字運算過程中學習數字運算定理，或者是在學習數字運算定理的過程中，熟練掌握數字運算定律，掌握數字運算的技巧，逐漸完善課堂教學的主要流程與體系，凸顯教學設計工作的整體價值。

參考文獻：

［1］殷玲. 串珠成鏈，培養學生應用能力的探索與認識：以人教A版“基本不等式的應用”為例［J］. 中學數學教學參考，2021（04）：34-36.

［2］譚國華. 高中數學解題課型及其教學設計［J］. 中學數學研究：華南師范大學版，2013（15）：12-16.

［3］金明，吳潤文. 讓探究成為高三微專題復習課的主旋律：以一節高三微專題復習課為例［J］. 中學數學，2017（09）：5-8.

（責任編輯：淳? 潔）