大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之認(rèn)知錯誤分析
——以工科線性代數(shù)教學(xué)為例

單妍炎

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，呼和浩特 010051）

線性代數(shù)是以向量空間、線性方程組為主要研究對象，以矩陣、行列式為重要基礎(chǔ)工具，處理對象間線性關(guān)系的學(xué)科。作為一種解題工具，這種基本的數(shù)學(xué)理論在許多課程上被普遍應(yīng)用。尤其對于主修工程、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)、土木建筑和其他自然科學(xué)的學(xué)習(xí)者而言，它更是必備的知識。作為大學(xué)數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)課程，線性代數(shù)建立在向量空間理論基礎(chǔ)上，以線性變換為其核心運(yùn)作機(jī)制，是大學(xué)數(shù)學(xué)抽象性、形式化與實(shí)用性的典范。然而，正是這門繼高等數(shù)學(xué)之后的后續(xù)課程，對不少同學(xué)而言，并不是點(diǎn)燃了其對大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，而是由于接觸此課程后對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了困擾。事實(shí)上，在線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)場，缺乏“人、地、時、事、物”的傳統(tǒng)教學(xué)，局限與障礙日益凸現(xiàn)。1990 年1 月線性代數(shù)課程研究小組（Linear Algebra Curriculum Study Group），在美國國家科學(xué)基金（NSF）的支持下成立，旨在持續(xù)激發(fā)研究者與實(shí)踐者對本科生線性代數(shù)課程的興趣，并提高其教學(xué)質(zhì)量[1]。同時，部分研究者從認(rèn)知診斷分析入手，通過知識結(jié)構(gòu)圖分析找出學(xué)習(xí)者的核心概念，旨在能更正確地描述學(xué)習(xí)者的實(shí)際能力，為教師補(bǔ)救教學(xué)及教學(xué)研究提供了科學(xué)的研究起點(diǎn)[2-3]。

一 研究目的

單一的認(rèn)知診斷工具，滿足不了完整刻畫學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)狀況的需求。為了能有效地了解學(xué)習(xí)者的迷思概念和知識盲點(diǎn)，提升國內(nèi)線性代數(shù)的教與學(xué)，本研究在專家對錯誤類型鑒定的基礎(chǔ)上，輔助以線性代數(shù)學(xué)習(xí)情感量表，搭配訪談資料，通過多元度量與聚類分析的整合模式，對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆秩?。除了有效分群以外，本研究對不同學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行了比較，并準(zhǔn)確把握個體與各群之間的關(guān)系。此施測結(jié)果，可以為教師補(bǔ)救教學(xué)及線性代數(shù)的教與學(xué)提供科學(xué)依據(jù)。研究方法整合了多向度量尺、聚類分析和試題反應(yīng)理論觀點(diǎn)，以結(jié)構(gòu)化的圖像和學(xué)習(xí)情感分類來全面地展現(xiàn)每一集群中學(xué)習(xí)者的內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)。

二 文獻(xiàn)探討

學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中注意力不集中或者記憶不牢固，會對知識產(chǎn)生誤解（mistakes）或混淆。而認(rèn)知過程中的錯誤（errors），卻揭示了學(xué)習(xí)者相關(guān)知識的不足，是由于對基本事實(shí)、概念和技能掌握不夠造成的[4]。進(jìn)一步地，在新創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境中，它與想象力和創(chuàng)造力緊密相連，因此，在很大程度上影響甚至決定著學(xué)習(xí)者能否做到不同領(lǐng)域知識間的相互連結(jié)。數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不可避免地學(xué)習(xí)者會出現(xiàn)這樣或是那樣的認(rèn)知錯誤。教育研究者和實(shí)踐者不能一味地害怕或回避學(xué)生錯誤的出現(xiàn)，而應(yīng)該營造學(xué)生能夠呈現(xiàn)自身認(rèn)知錯誤的合適的情境和場域，然后從方法論上對其進(jìn)行補(bǔ)救和糾正。

（一）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的錯誤研究

數(shù)學(xué)教育中學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，并不是情境的偶然，也不是單純地由于學(xué)生的不確定和粗心而出現(xiàn)的結(jié)果。它產(chǎn)生于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)本身，或者是數(shù)學(xué)課堂上前期教學(xué)的產(chǎn)物。通常情況下，如果教師不從教學(xué)法上對其進(jìn)行干預(yù)，這些學(xué)生的認(rèn)知錯誤能持續(xù)數(shù)年。簡單地說，錯誤分析從兩方面獲得了人們的重視。一方面在于，它能診斷學(xué)習(xí)困難，更多地了解學(xué)生的能力，提高學(xué)習(xí)成績，從而改進(jìn)教學(xué)；另一方面，它是數(shù)學(xué)教學(xué)過程研究的重要起點(diǎn)，是一種相當(dāng)有前景的教育研究策略[5-6]。

通常情況下，在教學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)課堂分析中，研究者把數(shù)學(xué)上的錯誤（mathematical errors）和教學(xué)法上的錯誤（didactic errors）區(qū)分開來。數(shù)學(xué)上的錯誤是指學(xué)習(xí)者在某個特定的時刻把不正確的數(shù)學(xué)陳述認(rèn)為是正確的，或是從數(shù)學(xué)的立場為不正確的陳述維護(hù)其合理性。教學(xué)法上的錯誤意味著一種情境，在這種情境中，教師的行為與教學(xué)法、方法論和常規(guī)準(zhǔn)則相背離。在情境為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)任務(wù)中，這兩種錯誤的類型有時顯得更為突出[7]。無論是理解任務(wù)本身、把任務(wù)轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，還是操作數(shù)學(xué)程序、解碼并解釋研究結(jié)論在現(xiàn)實(shí)情境中的意義，都更加需要跨領(lǐng)域知識間的連結(jié)。連結(jié)是一種極其重要的能力，在數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐中，教師只關(guān)注發(fā)展學(xué)生概念的內(nèi)部連結(jié)是不夠的，更要注重應(yīng)用的、延拓的外部連結(jié)。與連結(jié)有關(guān)的兩個指標(biāo)性文件，分別是1989 年NCTM（National Council of Teachers of Mathematics，美國數(shù)學(xué)教師學(xué)會）[8]提出的課程標(biāo)準(zhǔn)和荷蘭的RME（Realistic Mathematics Education，真實(shí)數(shù)學(xué)教育）[9]。

（二）知識結(jié)構(gòu)的心理計(jì)量

傳統(tǒng)紙筆測驗(yàn)的分?jǐn)?shù)，不能完整說明學(xué)習(xí)者的真實(shí)能力或?qū)W習(xí)情形，擁有相同分?jǐn)?shù)的不同學(xué)習(xí)者，其知識結(jié)構(gòu)圖可能是不同的。從實(shí)證研究文獻(xiàn)可知，徑路搜尋、多向度量尺和聚類分析是知識結(jié)構(gòu)圖心理測量常用到的方法[10]。這三種方法各有功用和自身獨(dú)到的價(jià)值，而不同方法的聯(lián)合使用則相輔相成，對知識結(jié)構(gòu)的探究有重大的助益[11]。多向度量尺從整體觀點(diǎn)，敘述語意概念距離的空間性，在較低維的歐氏空間把客體的相似程度用圖形表達(dá)出來，從而揭示客體之間的真實(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系。集群分析方法，根據(jù)語意概念之間的距離遠(yuǎn)近，能化繁為簡做一個適當(dāng)?shù)慕M別歸類，并給予每個組別一個適合的命名。整合多向度量尺和聚類分析方法，可以互補(bǔ)訊息的不足，適合于對編制的試題進(jìn)行內(nèi)容效度分析。根據(jù)多向度量尺所分析的結(jié)果，可以得到適當(dāng)?shù)木S度來解釋這些概念。每個維度可加以命名，而這些坐標(biāo)表示各個概念在各個維度上的位置，也可據(jù)此判斷在該維度上的重要性。但是，多向度量尺不能把概念做適當(dāng)?shù)姆诸悾晕覀兛筛鶕?jù)多向度量尺分析所獲得的各概念坐標(biāo)資料，來進(jìn)行聚類分析，將概念加以群組化。根據(jù)分析所得的集群的特性，必要時可將集群予以命名。就聚類分析而言，一般以群平均法及Ward 法較為精準(zhǔn)，經(jīng)常被一般研究者使用。在認(rèn)知結(jié)構(gòu)的大量分析文獻(xiàn)里，諸多研究是采用階層集群分析方法，因?yàn)槠浣Y(jié)果可以看出概念群組之層級性。在SPSS 提供的常用距離模型中，多維尺度分析還有一些其他的缺點(diǎn)：一方面，它們受各指標(biāo)的量綱影響;另一方面，它們沒有考慮指標(biāo)之間的相關(guān)性。因此，在進(jìn)行多維尺度分析時，要盡量解決和避開這些缺點(diǎn)，特別是指標(biāo)之間的相關(guān)性問題。

三 研究方法

本研究的具體工作是從理論和實(shí)踐兩個方面，進(jìn)行線性代數(shù)學(xué)習(xí)認(rèn)知的診斷與研究。研究學(xué)校位于中國西部漢族和蒙族的聚集地，是一所以培養(yǎng)理工科背景學(xué)生為主要任務(wù)的綜合類高校。在考查學(xué)生對線性代數(shù)主要內(nèi)容掌握程度的初探性研究基礎(chǔ)上，透過405 位非數(shù)學(xué)類專業(yè)大二上學(xué)期學(xué)生參與封閉結(jié)構(gòu)試題的有效作答，進(jìn)行多元度量與聚類分析，并輔助于線性代數(shù)學(xué)習(xí)情感量表的口頭和文本資料，來探討學(xué)習(xí)者線性代數(shù)學(xué)習(xí)能力的分類。這些學(xué)生在施測過程中均為有效樣本，他們在校內(nèi)均系統(tǒng)完整地學(xué)習(xí)過線性代數(shù)課程，就其所就讀的科系類別而言，可區(qū)分為土木工程、能源動力、環(huán)境科學(xué)、工業(yè)工程、測量控制和企業(yè)管理六大類別。

本研究的測量工具共分為兩部分，第一部分為數(shù)學(xué)概念題，用于分析不同專業(yè)背景的學(xué)習(xí)者對線性代數(shù)這門學(xué)科的實(shí)際掌握能力。以常用統(tǒng)計(jì)套裝SAS 和SPSS作為主要的軟體分析工具，經(jīng)過信度考驗(yàn)，15 個獨(dú)立題項(xiàng)的Cronbach's Alpha 值達(dá).85。參考前期初探性研究的資料，題項(xiàng)經(jīng)由7 位試題審查委員編寫，并聽取3 位在職工科數(shù)學(xué)講師的意見，最終將試題編制、修正完成。第二部分為線性代數(shù)情感量表，區(qū)分了對數(shù)學(xué)的情感和對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感，并將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感界定為以下九個子構(gòu)念：對數(shù)學(xué)成功的情感、家庭文化、學(xué)校氛圍、教師情感、數(shù)學(xué)的跨學(xué)科性、數(shù)學(xué)的實(shí)用性、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、數(shù)學(xué)焦慮和學(xué)習(xí)動機(jī)。在實(shí)際應(yīng)用上，盡量克服由于測量題目過多，而導(dǎo)致在短時間內(nèi)無法了解一個班級或者學(xué)校對數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感的局限性。

四 結(jié)果與討論

表1 是模型擬合優(yōu)度的基本情況，該表中指標(biāo)stress 的值為0.041 83，另一指標(biāo)Dispersion Accounted For（D.A.F.）（類似于經(jīng)典部分的RSQ）的值為0.958 17，表明模型的擬合效果比較好。研究者將受試者所有可能的錯誤類型，經(jīng)由專家鑒定后，依據(jù)各樣本的解題表現(xiàn)，搭配錯誤類型以進(jìn)行分群，作為日后分群補(bǔ)救教學(xué)的依據(jù)。分群分析的目的在于對文本資料進(jìn)行有意義的分群，以有效地使用該資料，基本理念在于經(jīng)過適當(dāng)分群后，使同一群內(nèi)的有效樣本同質(zhì)性較高，而不同群集之間異質(zhì)性較高。分群的階段性成果包括線性代數(shù)學(xué)習(xí)的核心概念、認(rèn)知分析及五類知識結(jié)構(gòu)圖類型。

表1 應(yīng)力和擬合度量表

線性代數(shù)學(xué)習(xí)的六大核心概念包括以下內(nèi)容。①矩陣的運(yùn)算與性質(zhì)。包括矩陣的加法、乘法、運(yùn)算規(guī)則、矩陣轉(zhuǎn)置、逆矩陣和三種初等變換。學(xué)習(xí)過矩陣加減法及數(shù)乘運(yùn)算以后，學(xué)生對矩陣與矩陣之間乘法的“自然方式”產(chǎn)生期待。國內(nèi)線性代數(shù)教材所介紹的矩陣的乘法規(guī)則及應(yīng)用價(jià)值對學(xué)生來說，是一個挑戰(zhàn)[12]。學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)“矩陣的乘法”的過程中，若對于矩陣乘法的產(chǎn)生、規(guī)則及其價(jià)值沒有清楚地認(rèn)識，常常會產(chǎn)生以下困惑：矩陣為什么要這樣乘？實(shí)際的工作生活中，矩陣乘法的用途體現(xiàn)在哪里？樣本中的受測者對于較復(fù)雜矩陣的乘法，出錯的概率較大。②行列式的計(jì)算。行列式運(yùn)算的三種方法、行列式的性質(zhì)和克萊姆法則。學(xué)習(xí)者缺乏必備概念知識，將導(dǎo)致不當(dāng)?shù)恼賳境绦?。受測者因認(rèn)識不清楚，經(jīng)常發(fā)生誤用公式或規(guī)則的情形。如四階及四階以上行列式的計(jì)算，誤用二階和三階行列式的對角線法則；將矩陣的運(yùn)算規(guī)則誤用于行列式之上，數(shù)乘以行列式等于數(shù)乘以整個行列式的所有元素。從受測樣本的答題情況來看，一些從數(shù)學(xué)本身來看非常簡單和明顯的事實(shí)，在線性代數(shù)教學(xué)中卻并非如此。③線性方程組的求解。包括線性方程組解的結(jié)構(gòu)和判定、基礎(chǔ)解系的性質(zhì)以及解法。樣本資料顯示，學(xué)習(xí)者對基礎(chǔ)解系的由來和求法倍感陌生。缺乏具體化操作的線性代數(shù)教學(xué)，使學(xué)生無法建立數(shù)學(xué)概念知識與程序知識之間的關(guān)聯(lián)。同時，在求解線性方程組時，對系數(shù)矩陣（增廣矩陣）作初等變換化為階梯形矩陣時，誤用了初等列變換。④向量組的基。包括向量空間中線性相關(guān)性、矩陣的秩、向量組的基、向量在不同基下的坐標(biāo)和內(nèi)積。向量空間是線性代數(shù)的主要研究對象和核心運(yùn)作機(jī)制。從施測樣本資料來看，線性相關(guān)、最大線性無關(guān)組等非機(jī)械性的概念知識，會給學(xué)習(xí)者帶來更多的認(rèn)知負(fù)荷。在廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域中，從歐氏空間類推到Rn空間，需要恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動設(shè)計(jì)來化解一般知識概念的抽象性與形式化。⑤二次型的標(biāo)準(zhǔn)型。利用正交矩陣化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣的方法，求解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式。相比于配方法和初等變換法，這種方法再次用到矩陣特征值和特征向量的概念，這需要學(xué)習(xí)者對相關(guān)概念有足夠的熟悉度。⑥方陣的特征值與特征向量。包括方程組的求解、相似對角化的條件和方法。從有效樣本資料來看，在完整解決問題的一些重要節(jié)點(diǎn)上，能有效使用數(shù)學(xué)概念并建構(gòu)長期記憶的程序知識，顯得至關(guān)重要。因此，在引入幾何例子的基礎(chǔ)上，搭配學(xué)習(xí)者專業(yè)上的實(shí)作經(jīng)驗(yàn)來介紹特征值與特征向量，是一種改進(jìn)了的教學(xué)策略。鑒于僅僅依靠紙筆測驗(yàn)的分?jǐn)?shù)，不能全面刻畫學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)狀況，如果聚焦學(xué)習(xí)教材的核心概念并給予合適的權(quán)重，計(jì)算出來的加權(quán)分?jǐn)?shù)搭配知識結(jié)構(gòu)圖、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情意量表，可以確認(rèn)學(xué)習(xí)者可能的迷思概念，以作為補(bǔ)救教學(xué)的依據(jù)和參考。

通過K-Means 聚類分析，搭配線性代數(shù)學(xué)習(xí)情意量表，按照知識結(jié)構(gòu)圖的良好程度（從結(jié)構(gòu)缺失、結(jié)構(gòu)不合理、結(jié)構(gòu)尚可、結(jié)構(gòu)良好到結(jié)構(gòu)優(yōu)化），可以把有效樣本分成五大群（各個群集之間的距離關(guān)系見表2），各群學(xué)生分別有75 人、78 人、98 人、26 人和128 人。例如，編碼為5 和10 的樣本，雖然按照傳統(tǒng)紙筆測驗(yàn)分?jǐn)?shù)一致為71 分，但是他們分屬于群集5 和群集3；編碼為124 和127 的樣本，傳統(tǒng)紙筆測驗(yàn)分?jǐn)?shù)均為53 分，但是他們分屬于群集3 和群集1。因理工科大學(xué)入學(xué)是依據(jù)高考成績相近的學(xué)生安排在同一系所就讀，所以，研究者在學(xué)業(yè)成就同質(zhì)性較高的同校學(xué)生中，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)者的知識結(jié)構(gòu)圖和情意面向，從而進(jìn)行有意義的分類，具有其實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。

表2 五個群集之間的距離關(guān)系

總之，線性代數(shù)這門課程相對于高等數(shù)學(xué)而言，內(nèi)容較少，結(jié)構(gòu)相對簡單，但是它更形式化、更抽象。只簡單講授運(yùn)算規(guī)則的線性代數(shù)教學(xué)，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，是與培養(yǎng)21 世紀(jì)現(xiàn)代專業(yè)人才核心素養(yǎng)的目標(biāo)相偏離的。原理、法則背后的原因和邏輯關(guān)系更為重要，它們是培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科解題、知識連結(jié)和演算能力的基石。也就是說，在了解線性代數(shù)基本概念、應(yīng)用范圍及認(rèn)知診斷教學(xué)的基礎(chǔ)上，學(xué)生只有將所學(xué)知識技能應(yīng)用到自身專業(yè)領(lǐng)域，才能逐漸具備分析和處理實(shí)際問題的能力。為破除線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知障礙，教育者可以從問題情境、教學(xué)活動和學(xué)習(xí)環(huán)境三方面進(jìn)行復(fù)雜工程問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)[13]。一方面在文化脈絡(luò)中，使學(xué)生弄清楚數(shù)學(xué)知識的由來，以降低課程的抽象性和形式化程度，瓦解學(xué)生對數(shù)學(xué)運(yùn)算機(jī)制的首要認(rèn)知沖突；另一方面，可以對程序知識的具體操作進(jìn)行層次教學(xué)，分步驟地使學(xué)生獲得矩陣乘法規(guī)則的完整圖式。創(chuàng)設(shè)情境并通過實(shí)例，激發(fā)學(xué)生掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)問題的意識和本領(lǐng)，讓學(xué)生自主進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與專業(yè)知識發(fā)展的連結(jié)。