借助數形結合 走進數學深度學習

☉陸紅梅

數形結合不僅是一種最基本的數學思想方法，也是教師常用的教學策略——把直觀形象的事物呈現在學生眼前，由此引發學生進行數學觀察、思考，進而得出抽象的數學知識。當然，在小學生的數學學習中，也只有將直觀與抽象緊密結合起來，才能讓他們對于數學知識的學習具有深度。基于此，筆者從數學思想方法的基本內涵、實踐價值與方法思考三個方面進行相關闡述。

一、數形結合的基本思想內涵

就數學的本質而言，數形結合指的就是把直觀形象與抽象數量進行一一對應，它不僅有具體生動的形象，還有一定的數量變化與空間形式。當然，在對于形象事物的觀察時能夠抽象出數學的本質東西來，還需要學習者有一定的數感能力與空間意識。因而，在小學生的數學學習中，教師要能緊緊依托可供數學觀察的形象來引發學生的數學活動，這樣才能讓數學學習過程化難為易、化繁為簡。

數形結合思想的內涵體現在以下兩個層面：一是以數表形，即用數字來表示事物的數量，或是用數量的增減變化來表達事物的多少；二是借形表數，即用形象化的事物來表示數量或數量之間的關系。從低年級起，小學生學習數學就常常用到數形結合思想方法，例如，學習《認識10以內的數》《20以內加減法》等知識時，就用到以數表形或借形表數的方法。

二、數形結合思想在小學數學教學中的實踐價值

（一）強化學生對數學知識的理解

眾所周知，唯有讓學生進行多感官體驗式學習，其才有可能實現深度學習。在數學知識的學習過程中，教師就要依據教學內容，聯系學生的生活實際，引發學生對學習問題的思考，促進學生自主提出數學問題、分析問題，乃至解決問題，讓他們經歷一個完整的、系統化的數學探究過程。在這樣的數學探究活動中，學生對這些客觀事物進行觀察與思考，繼而發現數學知識，也讓數與形有機結合起來，使他們數學思維能力與創新意識得到漸進式生長。

現行的部編版小學數學教材也是以數與形的方式進行編排的，更多地契合了小學生喜愛感性事物的心理特征，遵循了這個階段學生的認知發展規律。例如，關于行程類應用題教材的編排中，不僅有具體的文字語言敘述，還伴隨著線段圖的思考填空。這樣的編排就能引發學生將應用題中的數量關系用直觀形象的線段來進行合理建構。在教學完這樣的習題之后，學生不僅能夠掌握畫線段圖的方法，還能獲得一定的操作體驗，數學學習也自然就有了深度。

在借助于數形結合思想方法來解決數學問題的過程中，教師還要能夠促進學生掌握一定的解題路徑，這樣才能讓解題方法真正在學生的頭腦中形成建構。例如，在教學《梯形的面積計算》這一課內容時，教師就要有序開展活動，形成一定的步驟：1.數學猜想，得出計算方法；2.動手操作，用兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形；3.數學觀察，分析拼成的平行四邊形與梯形之間的數量關系；4.探討梯形面積計算方法，加以實踐應用。在此過程中，教師引領學生借助于數形結合的思想，將計算方法與推導的過程一一對應起來，讓學生在自己的頭腦中形成清晰的認知：將S梯形＝（a＋b）×h÷2這一公式與其推導的兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形的相關示意圖建構起來。這樣，也就讓學生的頭腦中留下了“兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形，每個梯形面積是這個平行四邊形面積的一半”這一具體形象，同時也讓學生能夠將字母符號公式進行簡要表達。

（二）助推學生的數學思維能力發展

數學思維就是指人用數學的方法來思考問題，也是人腦對數學問題的反應。數學思維的品質往往體現在靈活性、準確性、邏輯性等幾個層面。倘若一個人具有了良好的思維品質，那么他就能在解決數學問題的過程中表現出超乎常人的速度，不光是解決問題的方法選擇比較靈活，解決問題的過程也合乎邏輯，得出的結論也是比較精準的。當然，良好的數學思維品質培養，需要借助于“數形結合”的方法來實現，需要學生從直覺思維走向創造性思維發展。

借助于數形結合，學生可以通過圖形來找到數量間的多種關系，進而能根據相關的數量建立運算關系，從而能夠對數學知識問題進行有效解決。長此利用數形結合這一思想方法，學生的直覺思維可以得到長遠的發展，抽象思維也能夠以此為基點不斷進行生長。在數學思維品質的培養過程中，學生的數學學習經驗與數學知識積累也是成正比遞增的。通過數形結合思想的運用，學生還可以從多個方向與多個層面來分析問題，打破常規思維的局限性，進而走向創新。

例如，在教學運算規律的相關知識時，教師就可以放手讓學生通過數學算式的計算與觀察，引導他們發現數學算式中的共同特征，并能用創新思維來表示出運算規律：有的孩子用圖形來表示加法交換律與結合律，有的孩子用字母來表示加法交換律與結合律……這也是學生在形象思維方面的創新，他們嘗試著運用字母、符號、圖形與實物等對數學規律的存在形式進行建構。通過研究也發現，表象是具象思維的基本形式，而表象的載體也就涵括在圖形與符號兩種形式之中。

在面對抽象的數學問題時，教師就要引領學生學會用建構表象的方式來表達數學規律與形式，促進學生通過猜想來獲得數學初步結論，繼而開展操作與觀察活動，進行合理驗證，并加以應用，讓學生獲得數學學習的直接性經驗。與此同時，學生在建構知識的過程中將相關的數與形有機結合起來，讓抽象的邏輯推理與數量之間的關系更加具象化，從而對獲得的知識形成深刻記憶。

三、數形結合在小學數學教學中的實踐原則

（一）對等性

在數學中，數字與圖形之間具有著緊密的聯系，兩者所表達的意義往往存在著對等的關系，并且在特定的條件下可以相互替代或轉換。因而，筆者認為，在數形結合的實踐應用中應遵循對等性原則。具體而言，在對圖形類數學問題的解題分析時，學生要將其面積或周長的計算方法與數量之間建構好聯系，并保持好對等關系。

例如，在利用平行四邊形的面積計算公式求面積時，學生就要找準底邊和與其對應的高，并與公式中的符號或文字進行對等起來，依據模型來進行解題。當然，在面臨一些復雜的數學問題時，教師也應啟發學生通過圖形來表達問題中的數量，并從圖形中直觀發現數量間的運算關系，進而得出解題的具體方法。例如，解決這樣一個問題：“將一個平行四邊形通過割補法轉化為一個邊長為4分米的正方形，求原來平行四邊形的面積。”筆者就設計了如下教學環節：1.首先，畫出轉化后的正方形；2.接著，假設補出的部分（三角形），并還原；3.觀察還原后的平行四邊形；4.得出觀察結論，如平行四邊形的面積與轉化后的正方形面積不變、正方形的邊長與原來平行四邊形的底相等、正方形的邊長與原來平行四邊形的高相等；5.將圖形與數量之間建立對應關系，平行四邊形的底是4分米長，平行四邊形的高也是4分米長，最終得出計算方法。

當然，在數學學習過程中，學生只有真正找到圖形的基本要素與數量之間的對等關系，才能將數學問題的解決過程與方法之間達成契合，不斷提升數學思維能力。

（二）互換性

互換性是指在數形結合的過程中，既可以用數來代替圖形，也可以用圖形來表示數。筆者發現，數與形也是各有優勢的，“數”彰顯其獨特的抽象性，“形”具有學生所受的直觀性。通過代數可以讓復雜的問題簡單化、理性化，可以形成邏輯關系；通過圖形，可以讓抽象的形式直觀化、具體化，清晰可見、一目了然。因而，在數學教學活動中，教師要能依據不同的教學內容，靈活運用好數形結合思想方法，做到“數”中有“形”，“形”中有“數”［2］。例如，在教學低年級比較大小時，教師就可以用圖形的多少來讓學生建構起數量的大小；在教學長方形的周長時，教師就可以用數量關系來讓學生建構起長方形周長的大小，等等。

簡而言之，在數學問題的解決中，教師要積極貫徹互換性原則，或用“數”來表示“形”，或用“形”來呈現“數”，真正讓“數”與“形”相互配合起來。學生經歷這樣的數學學習活動，才能在數學學習中獲得靈活的數學思維。

四、數形結合在小學數學教學中的實踐應用

（一）借助數形結合，促進數學知識的理解

在數學教學過程中，數學概念的形成與基本算理的理解是學習數學的基礎，也是解決數學問題的重要前提。對于低年級學生來說，最為重要的數學學習，就是獲得數學概念的通透理解與基本算理的明晰，由此展開數學應用活動，提升數學綜合能力。在這一學段中，就需要常常借助于數形結合思想，讓學生在有趣的數學活動中獲得感性的數學知識。到了小學高年級，數學問題中的數量關系變得相對復雜，教師僅僅依靠簡單的講解就想讓學生對數學概念與算理理解得十分通透，是不可能的。此時，也更加需要將“數”與“形”有效結合起來，借助于直觀的圖形把數量間的運算關系表達清楚；反之，也需要以“數”的形式來簡潔表示出復雜的數學問題。為了實現這樣的數學教學目標，教師就要充分利用學生“由感性思維向理性思維發展”的這一規律來構建生活化數學學習模式，促進學生對數學知識的深度理解。

例如，在教學《圖形的變換方式》時，很多學生在畫圖操作時會將格數數錯。究其原因，就是學生未能將“數”與“形”真正對應起來。為了幫助學生深刻理解平移、對稱與旋轉這三種圖形的變換方式，教師就要借助于生活中的實物圖形進行操作，讓學生從直觀觀察中看到數量的變化，引發學生將“數”與“形”有效對應起來。如：將一個直角三角板圍繞它的直角頂點旋轉90°，請畫出旋轉后的圖形。筆者讓學生用直角三角板自主操作，進行數學觀察，發現旋轉后三角形與旋轉前的位置變化關系與數量持恒情況，讓學生將旋轉后三角形與旋轉前三角形邊的長度對應起來，旋轉后的邊與旋轉前的邊對應起來，同時將“數”與“形”有效結合，強化了學生對圖形變換方式的真正理解。

（二）借助數形結合，促進數學模型的建構

在小學數學知識的學習過程中，并非都是讓學生建立計算性、規律性的模型知識結構，往往還有一些集具象與抽象為一體的概念，需要學生在頭腦中形成合理的建構。［3］當然，同時讓學生將抽象與具象集一體化的知識記憶深刻，還是具有一定困難的。因為學生的具象思維與抽象思維并非完全融合在一起的。例如，在借助于圖形掌握了運算知識后，學生往往就只會記住算理，形成了知識建構。此時，他們也就習慣于用抽象的算理來解決問題，不會再去借助直觀思維解決問題。

例如，在教學長度單位時，教師就要促進學生具象性地認識到：大拇指指甲的長度大約1厘米、1個粉筆盒的底邊長約1分米……在教學面積單位長度時，教師就要促進學生記憶住：1平方厘米有一個手指頭的大小、1平方分米大約有1個巴掌大小……唯有學生對這些單位性概念深刻記憶，他們才能對長度、面積等概念形成知識建構。通過調查發現，小學階段的學生往往會對長度、面積與體積知識混淆，原因就在于他們對基本單位沒有形成有效的建構。

在信息教育時代，數形結合思想方法的運用，并非僅僅靠教師與學生的動手操作就能完全實現，往往還要借助信息化技術手段。例如，在教學較為復雜的圖形面積計算中，教師就可以利用信息技術將面積相等的部分圖形用動畫的方式，直觀呈現，這樣才能讓學生更為深刻透徹地理解。

綜上所述，在小學數學教學活動過程中，數形結合思想的運用是無時不在、無處不在的，教師要充分利用好數形結合思想，創新數學教學新路徑，遵循小學生的思維發展規律，開展有效的數學探究活動，引領他們走進深度學習，不斷發展其數學思維能力。