基于線圈子單元的永磁同步電機健康與定子繞組短路故障數學模型

高彩霞 苗 壯 陳 昊 司紀凱 呂 珂

（1.河南理工大學電氣工程與自動化學院 焦作 454003 2.河南理工大學應急管理學院 焦作 454003 3.鄭州大學電氣工程學院 鄭州 450001 4.海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室 武漢 430033）

0 引言

近年來，永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM）因其高轉矩/慣量比、高功率密度、高效率、響應快等優點，被廣泛應用于電動汽車、軌道交通、航空航天等領域[1-3]。PMSM在長期運行過程中，受到熱應力、電應力、機械應力等因素影響[4-5]，定子繞組容易因絕緣損壞而引發匝間短路故障（Interturn Short-circuit Fault,ISF）[6-7]。如果早期ISF 沒有被及時監測到并采取相應措施，會迅速發展成多線圈短路故障、相間短路故障等更嚴重的故障，甚至可能引發災難性事故[8-9]。定子繞組短路故障（Winding Short-circuit Fault,WSF）的精準診斷是提高電機可靠性、安全性和經濟性的重要手段。建立模型對電機故障前后的性能分析并遴選故障特征量，是故障診斷的基礎。目前，大量文獻通過建立電機WSF 數學模型，實現對電機健康和WSF 狀態的分析[10-17]，但它們不能有效考慮繞組結構與故障空間位置的影響，難以分析線圈對電機性能的貢獻及線圈內部不同位置短路故障對電機性能的影響。因此，有必要建立一個考慮繞組結構與故障空間位置影響的PMSM 健康狀態與WSF 的數學模型。

目前，已有許多學者對電機WSF 模型進行了廣泛而深入的研究，并取得一些重要成果。文獻[10-13]采用繞組分區法，把故障相繞組分為健康和故障部分，以相繞組為基本單元計算模型參數，并建立電機短路故障模型。對健康狀態分析時，該類模型僅能分析相繞組的電壓、電流等參數；對故障狀態分析時，該類模型忽略了相內故障空間位置的影響，無法區分相內不同位置ISF 對電機性能的影響。文獻[14-16]從單個線圈出發計算電感和空載反電動勢參數，再通過疊加得到實際回路的電感和空載反電動勢參數，并根據電機的實際回路建立多回路模型。文獻[14-16]不僅分析了健康狀態時線圈對電機性能的貢獻，也分析了支路內部不同位置ISF 對電機性能的影響。文獻[17]基于分區法將相繞組分成多個線圈，并以線圈為基本單元，在Matlab/Simulink 中建立和求解模型。對健康狀態分析時，該模型仍把相繞組作為一個整體，計算線圈的空載反電動勢，忽略了線圈位置對空載反電動勢的影響，難以準確分析線圈對電機性能的貢獻；對故障狀態分析時，該模型能夠方便、快速地分析不同類型的WSF，但仍忽略了線圈內部故障線匝位置的影響。文獻[18-21]建立了電機 WSF 的有限元模型（Finite Element Model,FEM），可以精確分析健康的及不同類型的WSF 下的電磁特性。FEM 考慮了故障空間位置、繞組結構等因素的影響，不僅能分析健康狀態時線圈對電機性能的貢獻，還能區分線圈內部不同位置ISF 對電機性能的影響。但FEM 對不同短路故障分析需要重新建模，而且其求解過程耗時。

為了在較短的時間內計算電機健康的和不同類型定子繞組短路故障下的電磁特性，并考慮電機繞組結構與故障空間位置影響，本文將每個線圈分割為多個線圈子單元，以線圈子單元為基本單元，建立一個基于線圈子單元的PMSM 健康與WSF 數學模型（A PMSM Mathematical Model,APM）。

本文的主要貢獻為：①在Matlab/Simulink 中建立APM 的仿真模型和圖形化界面，通過修改抽頭編號及圖形化界面中短路電阻模塊的連接位置，方便、快捷地計算電機健康和不同類型定子繞組短路故障下的電磁特性。②考慮了電機繞組結構的影響，APM 能夠準確分析健康狀態時線圈對電機性能的影響。③考慮了故障空間位置的影響，APM 能夠準確分析線圈內部不同位置短路故障對電機性能的影響。

1 基于線圈子單元的PMSM 數學建模

1.1 基于線圈子單元的PMSM 數學模型

為了高效、準確、精細化分析電機在健康及不同類型WSF 狀態下的電磁性能，本文建立一個基于線圈子單元的PMSM 健康與WSF 數學模型，其電路示意圖如圖1 所示。

圖1 PMSM 電路示意圖Fig.1 The circuit diagram of PMSM

該APM 將每個線圈分為三個線圈子單元，并引出四個抽頭intXkjz如圖1a 所示，其中intXkj1和intXkj4為固定抽頭，intXkj2和intXkj3為可變抽頭。子單元的匝數隨可變抽頭位置的變化而變化，可變抽頭的位置取決于待分析的短路故障的位置和匝數。根據上述劃分規則，基于線圈子單元的等效電路如圖1b 所示，其中每個子單元具有各自的電阻、電感及空載反電動勢，在電機健康狀態下，由同一線圈分割而成的三個子單元的空載反電動勢、電感及電阻之和分別等于未分割線圈的空載反電動勢、電感及電阻。

為簡化分析，忽略渦流、磁滯損耗以及趨膚效應；電機鐵心磁導率為無窮大；電機磁路為線性的。基于以上假設，該APM 的表達式為

式中，Vs、Rs、Is、Ls和E0分別為電壓矩陣、電阻矩陣、電流矩陣、電感矩陣和空載反電動勢矩陣。vXkjw、iXkjw、rXkjw、eXkjw、LXkjw分別為子單元Xkjw的瞬時電壓、瞬時電流、電阻、瞬時空載反電動勢、瞬時自感。MXkjwYmno為子單元Xkjw與子單元Ymno之間的瞬時互感。Pe、P1、pCu和pFe分別為瞬時電磁功率、輸入功率、定子銅耗和鐵耗（根據建模假設，鐵耗忽略不計）。Pe.ac、Tave、f、n和Ω分別為電磁功率平均值、電磁轉矩、電源頻率、轉速和機械角速度。其中X、Y代表相編號，k、m代表支路編號，j、n代表線圈編號，w、o代表子單元編號，z代表抽頭序號（X,Y=A,B,C,…；k、m=1,2,3,…；j,n=1,2,3,…；w,o=1,2,3；z=1,2,3,4；Xkjw≠Ymno）?；谑剑?）～式（12），在Matlab/Simulink環境下的圖形化界面中建立APM 仿真模型，如圖2所示。

圖2 建立的APM 仿真模型Fig.2 The established APM simulation model

圖2 所示的APM 仿真模型由交流電源AC、子單元電阻、子單元電感、短路電阻Rf、電流傳感器、電壓傳感器等模塊構成，其中IXk、If、VX、IX分別為測量Xk支路電流、短路電流、X相電壓、X相電流的傳感器端口。在分析電機健康狀態性能時，只需要將圖2 的Rf開路，通過電源模塊輸入交流電源的幅值及頻率設置運行工況，通過傳感器模塊獲取相繞組和各線圈的電壓、電流等參數，進而分析不同位置線圈對電機性能的貢獻。對WSF 分析的步驟如下：

（1）設置運行工況：通過交流電源的幅值及頻率模擬電機的負載及轉速情況。

（2）設置不同的WSF：將Rf并聯到圖2 所示的相應的抽頭之間，完成WSF 的短路電阻、短路匝數及短路位置的設置，具體設置方式如下：

1）模擬槽口處發生ISF（短路匝數Nf＜線圈匝數Nc），將Rf連接到抽頭intXkj1和intXkj2之間。

2）模擬槽底處發生ISF（Nf＜Nc），將Rf連接到抽頭intXkj3和intXkj4之間。

3）模擬單線圈短路時（Nf=Nc），將Rf連接到抽頭intXkjz和intXknz（j≠k）之間。

4）模擬相間短路故障，將Rf連接到抽頭intXkjz和intYkjz（X≠Y）之間。

（3）設置intXkj2和intXkj3的編號；沿槽深位置依次對定子線圈的線匝進行編號，如圖3 所示。

圖3 線匝位置編號Fig.3 The position number of coil turns

根據待分析的短路類型、位置及匝數輸入可變抽頭intXkj2和intXkj3的編號。子單元的匝數由intXkj2和intXkj3的編號自動確定，其電阻rXkjz、瞬時空載反電動勢ec和瞬時電感分別由式（13）、式（15）、和式（20）自動計算。

式中，rc為單個線圈的電阻。ec為單個線圈的瞬時空載反電動勢矩陣。ep為編號為p的線匝的瞬時空載反電動勢。C為位置矩陣，位置矩陣第1 行第1列至第intXkj2列數值為1，其余列為0；第2 行第intXkj2+1 列至第intXkj3列數值為1，其余列為0；第3 行第intXkj3+1 列至第intXkj4列數值為1，其余列為0。使用時輸入可變抽頭intXkj2和intXkj3的位置編號，可自動生成位置矩陣。eXk1w-h和αh為子單元Xk1w的瞬時空載反電動勢第h次諧波分量的幅值和初相角。β為相鄰線圈在空間上相隔的電角度。結構正常的永磁體（不考慮退磁故障）產生空載反電動勢的空間周期為1 對極，空載反電動勢只包含基波和3、5 等奇數次諧波[15]，即h=1,3,5,…。

（4）通過Simulink 環境下的傳感器模塊獲取短路電流、支路電流、子單元電壓、線圈電壓、相電壓等參數，并通過式（7）～式（12）計算功率及轉矩。

在分析不同類型定子繞組短路故障時，傳統數學建模方法需要改變模型的拓撲結構并重新建立方程；所提出的APM 只需要根據短路類型、位置及匝數在仿真模型的圖形化界面中修改抽頭編號及短路電阻模塊的連接位置，具有方便、快速的優點。

1.2 考慮空間位置的電感計算

由于相同槽中不同位置線匝交鏈的槽漏磁通不同，所以相同槽、相同匝數、不同位置線圈的電感和空載反電動勢也不同。對于圖3 中線圈匝數為Nc的電機，對應的線匝電感計算為

式中，Lp為位置編號為p的線匝的瞬時自感；Mpp＇為同一線圈內編號為p的線匝與編號為p＇的線匝之間的瞬時互感；Mpp＇為線圈Xkj內編號為p的線匝與線圈Ymn內編號為p＇的線匝之間的瞬時互感；ψp為位置編號為p的線匝和永磁體共同在編號為p的線匝上產生的瞬時磁鏈；ψp＇為位置編號為p的線匝和永磁體共同在編號為p＇的線匝上產生的瞬時磁鏈；ψp＇為位置編號為p的線匝和永磁體共同在編號為p＇的線匝上產生的瞬時磁鏈；ψPMp、ψPMp＇和ψPMp＇為永磁體分別在位置編號為p、p＇和p＇的線匝上產生的瞬時磁鏈；i為通入位置編號為p的線匝的直流電流。

在線圈電感的有限元計算模型中，將1 A 的直流電通入到編號為p的線匝來計算Lp、Mpp＇和Mpp＇。為了減小電感計算的工作量，首先利用FEM計算出奇數線匝瞬時電感，其次利用擬合法計算出剩余線匝瞬時電感，即

最后通過變換矩陣計算出所有子單元電感為

2 有限元仿真驗證

2.1 PMSM 關鍵參數

為了驗證APM 的正確性和準確性，本文以一臺電流源供電的 66 極72 槽星形聯結的三相面貼式PMSM 為研究對象。其定子繞組采用分數槽集中繞組隔齒繞的型式。PMSM 的關鍵參數見表1。

表1 PMSM 的關鍵參數Tab.1 The key parameters of PMSM

2.2 健康狀態的解析與有限元結果比較分析

為了驗證所建立的APM 在健康狀態時不同工況下對電機性能分析的正確性與準確性，對由兩種轉速情況（n=100,200 r/min）和三種負載情況（IX=14,28,42 A）組成的六種工況下的電機性能進行比較分析。進行對比的六種工況列于表2 中。

表2 進行對比的工況Tab.2 The compared conditions

表3 為不同工況下APM 與FEM 計算出的平均轉矩及其誤差。

表3 平均轉矩Tab.3 The average torque

由表3 可知，APM 計算出的平均轉矩略微大于FEM 計算出的平均轉矩，最大誤差約為4.85 %，該誤差是由于建模時忽略鐵耗和磁路飽和引起的。

表4 為不同工況下APM 與FEM 計算出的A 相電壓VA峰峰值及其誤差。

表4 VA 的峰峰值Tab.4 The peak-peak value of VA

由表4 可知，APM 計算出的VA的峰峰值略微小于FEM 計算出的VA的峰峰值，最大誤差約為2.4 %，該誤差主要是由于建模時忽略磁路飽和引起的。

表5 為不同工況下APM 與FEM 計算出的Xk1線圈、Xk2 線圈電壓VXk1、VXk2峰峰值及其誤差。

由表5 可知，APM 與FEM 計算出的線圈電壓峰峰值的最大誤差約為2.2 %。Ak2 線圈的電壓高于Ak1 線圈的電壓，說明電機運行時Xk2 線圈比Xk1線圈產生的功率多，這是由于兩類線圈空載反電動勢相位不同造成的。因此，Xk（jj=2、4）和Xkn（n=1、3）線圈可以設計成不同的絕緣等級，提高使用壽命，降低制造成本。與工況Ⅳ的VAk1相比，工況Ⅴ的VAk1和工況Ⅵ的VAk1分別增加了1.9 %和7.6 %，與工況Ⅳ的VAk2相比，工況Ⅴ的VAk2和工況Ⅵ的VAk2分別增加了10.4 %和22.3 %，Xk2 線圈比Xk1 線圈對負載變化更敏感，說明電機運行時Xk2 線圈比Xk1 線圈承擔的負載多。在恒定的轉矩負載下，Xk2 線圈故障時對電機性能的影響大于Xk1 線圈故障時。當APM 仿真模型完成建模后，對健康狀態分析時，單次仿真計算需要2.3 s，而相同條件下FEM 的單次仿真計算需要4 141 s，APM 可以快速地對電機健康狀態進行分析。

表5 VXk1、VXk2 的峰峰值Tab.5 The peak-peak value of VXk1,VXk2

因此，有限元仿真驗證了所提出的APM 不僅能精確、高效地分析健康狀態時電機在不同工況下的相電壓、線圈電壓、平均轉矩等電磁特性，還能精細地分析線圈對電機性能的貢獻。利用APM 對不同位置的線圈進行分析，能夠發現同一支路不同位置線圈的電壓不同，功率不同，承擔的負載也不同。在設計線圈絕緣時，為降低電機制造成本，同一支路不同位置線圈采用不同的絕緣等級。上述分析為PMSM 的本體設計提供依據。由于同一支路不同線圈的電壓不同，在線圈絕緣等級相同的情況下，同一支路不同線圈的故障概率不同；線圈內部同一短路匝數不同短路位置故障對電機性能的影響也不相同。上述分析可為PMSM 的故障診斷提供依據。

2.3 WSF 狀態的解析與有限元結果比較分析

為了驗證APM 在不同WSF 下特性分析的正確性與準確性，對三類WSF 下的電機電磁特性進行比較分析。仿真分析的故障類型列于表6 中，電機運行在額定工況下（n=200 r/min，IX=28 A）。

表6 仿真分析的故障類型Tab.6 Fault types of simulation analysis

A12_01～48 表示A12 線圈48 匝短路故障，為分析該故障，將Rf并聯在A12 線圈的抽頭intA121和intA124之間。A11_01～24 和A11_25～48 分別為A11 線圈槽口處和槽底處24 匝短路，槽口24 匝短路時將抽頭intA112的值設置為24，并將Rf連接在抽頭intA111和intA112之間；槽底24 匝短路時將抽頭intA113的值設置為25，并將Rf連接在抽頭intA113和intA114之間。A34.48_C34.48 表示A34 線圈與C34線圈間發生相間短路故障，為分析該故障，將Rf并聯在A34 線圈的抽頭intA341和C34 線圈的抽頭intC341之間。

圖4 所示為 PMSM 分別在 A12_01～48、A11_01～24 及A11_25～48 故障狀態下由APM 與FEM 計算出的VA、IA1、If和平均轉矩Tave隨Rf的變化曲線。

圖4 不同故障下APM 結果與FEM 結果比較Fig.4 Comparison between APM results and FEM results under different faults

由圖4a 和圖4b 可知，APM 與FEM 計算結果吻合度較好，A12_01～48 故障情況下，最大誤差約為3.0 %。該誤差是由于建模時忽略磁路飽和與鐵耗引起的。有限元仿真證明了APM 能夠分析單線圈ISF，并且具有較高的精度。

由圖4c～圖4f 可知，APM 與FEM 計算結果吻合度較好，A11_01～24 故障情況下，最大誤差為5.7 %；A11_25～48 故障情況下，最大誤差為5.5 %。該誤差是由于建模時忽略磁路飽和與鐵耗引起的。有限元仿真證明了APM 能夠分析線圈內部ISF，并且具有較高的精度。

圖5 為PMSM 在A34.48_C34.48 故障狀態下由APM 與FEM 計算出的VA、C 相電壓VC、A3 支路電流IA3、C3 支路電流IC3、If和Tave隨Rf的變化曲線。

圖5 A34.48_C34.48 下APM 結果與FEM 結果比較Fig.5 Comparison between APM results and FEM results under A34.48_C34.48

由圖5 可知，APM 與FEM 計算結果吻合度較好，A34.48_C34.48 故障情況下，最大誤差約為4.0 %。該誤差是由于建模時忽略磁路飽和與鐵耗引起的。有限元仿真驗證了APM 也適用于分析相間短路故障，并且具有較高的精度。

圖6 為A11 線圈內部不同位置發生24 匝金屬性短路時的If。

圖6 不同位置發生24 匝金屬性短路時的IfFig.6 If of 24 turns metallic short-circuit at different positions

由圖6 可知，槽口24 匝金屬性短路時的If幅值遠大于槽底24 匝金屬性短路時的If幅值。這是由于槽內相同匝數不同位置線圈的電感沿槽深方向依次增大造成的。對比分析圖4c～圖4f 和圖6 可知，在Nf和Rf相同的前提下，槽口故障的If大于槽底故障的If；槽口故障的VA和Tave小于槽底故障的VA和Tave，說明槽口故障對電機性能的影響大于槽底故障?？梢钥闯?，該APM 能夠精確分析線圈內部不同位置ISF 對電機性能的影響。當APM 仿真模型完成建模后，對WSF 狀態分析時，單次仿真計算需要10.8 s，而相同條件下FEM 的單次仿真計算需要4 323 s，APM 可以快速分析不同類型WSF。

APM 與FEM 的對比分析表明，該APM 不僅可以高效、精確地分析電機在不同類型WSF 下的相電壓、支路電流、短路電流、平均轉矩等電磁特性，還可以精細地分析槽內線圈不同位置的ISF 對電機性能的影響。利用APM 對槽內線圈不同位置ISF進行分析，發現在Nf和Rf相同的前提下，槽內不同位置ISF 下的短路電流和平均轉矩不同，揭示了Nf和Rf作為故障程度判據的局限性。因此，為保證電機在槽內不同位置ISF 狀態下仍能輸出滿足要求的轉矩，其抑制短路電流的補償策略也不相同。上述分析為PMSM 故障診斷及容錯控制提供了依據。

3 實驗驗證

為了進一步驗證所建立APM 的正確性和準確性，本文制造了2.1 節所述的PMSM 故障實驗樣機，并搭建了實驗平臺，如圖7 所示。為了進行線圈內部不同位置的ISF 實驗，將樣機的每個線圈沿槽深方向橫向分為四個線圈子單元，并將所有子單元的抽頭引出，每個子單元的匝數為12 匝，如圖7a 所示。實驗平臺由樣機、轉矩測量儀、磁粉制動器、工控機、驅動器、數字示波器、數字電橋、直流電源和短路電阻等構成。

圖7 實驗裝置Fig.7 Experiment setup

首先對健康狀態下的APM 進行實驗驗證。圖8為額定工況下電機的線圈電壓VA11、VA12及轉矩的APM 結果與實驗結果。

由圖8 可知，VA11、VA12和轉矩的APM 結果與實驗結果的吻合程度較好，VA11的幅值明顯小于VA12的幅值，最大誤差分別為3.4 %、3.1 %和1.8 %。該誤差是由于建模時忽略鐵耗、磁路飽和、機械摩擦等引起的。實驗結果驗證了APM 不僅能精確計算電機健康狀態下的電磁特性，還能分析不同位置的線圈對電機性能的貢獻。

圖8 額定工況下電機的線圈電壓和轉矩Fig.8 Coil voltage and torque of motor under rated condition

在進行電機WSF 狀態實驗測試時，將Rf連接至相應子單元的抽頭之間。另外，為了保證實驗設備的安全，Rf設置為2 Ω。圖9 分別為額定工況時A12_01～48、A11_01～24、A11_25～48 和A34.48_C34.48 故障情況下If的APM 結果與實驗結果。由圖9 可知，If的APM 結果與實驗結果的吻合程度較好，四種故障情況下最大誤差分別為5.6 %、8.9 %、8.4 %及4.9 %。

圖9 不同故障類型下的IfFig.9 If under different fault types

圖10 分別為額定工況時A12_01～48、A11_01～24、A11_25～48 和A34.48_C34.48 故障情況下故障支路電流IA1、IA3和IC3的APM 結果與實驗結果。

圖10 不同故障類型下的故障支路電流Fig.10 Fault branch current under different fault types

由圖10 可知，APM 結果與實驗結果的吻合程度較好，A12_01～48、A11_01～24 和A11_25～48故障情況下IA1最大誤差分別為 4.9 %、3.4 %及3.7 %。A34.48_C34.48 故障情況下IA3、IC3的最大誤差分別為4.2 %、4.7 %。

圖11 分別為25 %負載、100 %轉速和25 %負載、50 %轉速兩種運行工況時A12_01～48 故障情況下If和IA1的APM 結果與實驗結果。

由圖11 可知，APM 結果與實驗結果的吻合程度較好，25 %負載100 %轉速與25 %負載50 %轉速兩種運行狀態下，If的最大誤差分別為6.2 %及4.6 %；IA1的最大誤差分別為4.9 %及4.8 %。上述誤差是由于建模時忽略鐵耗、磁路飽和、短路電阻溫升和機械摩擦引起的。實驗結果驗證了APM 在分析電機WSF 狀態下電磁特性的正確性和準確性。實驗結果驗證了APM 不僅能精確計算電機WSF 狀態下的電磁特性，還能分析線圈內部不同位置短路故障對電機性能的影響。

圖11 兩種運行工況下的If 和IA1Fig.11 If and torque under two operating conditions

4 結論

本文提出了一種基于線圈子單元的PMSM 健康與WSF 數學模型，并在Matlab/Simulink 中建立了其仿真模型和圖形化界面。該模型考慮了繞組結構與短路空間位置的影響，可以分析健康狀態時線圈對電機性能的貢獻及線圈內部不同位置短路故障對電機性能的影響。通過將模型計算結果、有限元仿真結果和實驗測量結果進行對比分析，驗證了模型的正確性和準確性，并得到以下結論：

1）APM 通過修改抽頭編號及圖形化界面中短路電阻模塊的連接位置，可以方便、快捷地計算電機健康和不同類型定子繞組短路故障下的電壓、電流、轉矩等電磁特性。

2）APM 可以精細地分析PMSM 健康狀態時不同工況下線圈對電機性能的貢獻。研究發現，PMSM繞組內不同位置的線圈對電機性能的貢獻不同。

3）APM 在不改變內部結構的前提下，可以高效、準確、精細地分析ISF、相間短路故障等不同類型的WSF 下的電機性能。

4）APM 可以分析同一槽相同短路匝數槽口處短路故障與槽底處短路故障對電機性能的影響。研究發現，當短路匝數和短路電阻都相同時，PMSM 槽內線圈不同位置的短路故障對電機性能影響不同。

所提出的數學模型可為PMSM 的設計、故障診斷和容錯控制奠定重要基礎。