懷特海“重提”柏拉圖“數學與善”的形上追問

苗春梅

(廣東第二師范學院 數學學院,廣州 510303)

承繼柏拉圖對數學與善的思考,懷特海在現代歷史語境下基于現代數學的進展、融入現代人的觀念,再次探討了“數學與善”這一事關數學本質和數學教育的重大理論與實踐問題。從懷特海討論這一問題的邏輯和觀念可以看出,數學的善與善的數學本質上既是關乎善(目的)的證成,又是關乎數學意義的重大根本性問題。雖然這一問題早在遙遠的古希臘就被提出來,但卻是柏拉圖希望解決而并未成功解決的難題。歷史地看,“數學與善”,“自它首先被柏拉圖提出以來,二者之間特定的結合一直是一個尚未展開的論題?！保?］666現實地看,“數學與善”又是一個思考科學一般性質及其發展的時候不得不面對的問題,因為“一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到了真正完善的地步”［2］。因此,以揭示數學本有的哲學性質重回“數學與善”,哲學地追問“現代數學與善的觀念之間的聯系”［1］666,既是重新理解柏拉圖為什么要在諸多對話中思考數學本質、數學方式及其與善關系的問題,更是要在現代思想進步和語言擴充的背景下進一步說明數學與善關系的原因之所在。也就是說,數學與善,既關乎數學成善的可能與能力,又關乎善之需要對數學進一步發展的推進。雖然在柏拉圖那里,這個問題表現為數學是成善之美德的核心要素,因為人“在他們有限的與封閉的領域內達到善的成功依賴于他們擁有的知識”［3］24;但是,現代歷史中數學改變現實的現實使數學成了成善的世界觀前提,因為起源于歐洲的現代文明,“伽利略、笛卡爾、牛頓和萊布尼茲在17世紀精心創立系列的數學和物理概念,使整個運動限定在這些概念之中”［1］667,數學從根本上影響了現代科學和現代人的行為。由此看來,在人類知識發展史和人類社會進步史中,數學與善的上述“糾纏”并非意味著目的與手段的天然分離,而是意味著數學這一人類特有的知識類型本身所具有的世界觀意義以及和目的同一性的特質。因此,數學與善統一甚至是一致在人類知識類型極速發展的今天具有極其重要的意義,如何在數學教育中真正將之揭示出來并內化成關于數學的觀念,既是關系到數學發展與創新的根本問題,又是推進基礎理論創新與觀念變革的要求,更是關系到數學教育培植正確世界觀和科學實踐觀的前提性問題。

一、“不能分離”的互成與“數學與善”分離的后果

在功利性追求日盛的現代世界,如何看待作為工具的知識與作為目的的善,從根本上影響著人們對知識對象和知識內容的認知、學習、運用和發展。然而,這一問題并不只是在現代社會才出現,早在《理想國》中柏拉圖就已經清楚明白地闡明了這一事實。柏拉圖所認為的“數學思想之于追求最終目的的重要性”［1］666,不僅被他的學生所忽視,更被往后的數學家、科學家甚至是哲學家忽略。柏拉圖關于數學闡明善的直覺,并非簡單地對數學和善的界定或說明,而是基于對善本質的追問以及對人類認知能力的判定。因此,被柏拉圖引入而且成為哲學真理的“數學與善”,實際上是直逼數學哲學本質的問題。當數學家們知道數學細節,而忽視數學與善的關系的時候,不僅戕害了作為最高目的的善,也大大削弱了數學成善的重要性,數學也只好以作為工具的不可或缺來標示其重要性。由此看來,數學與善不能分離的洞見,其實是關于數學的真理,無論是學習數學還是運用數學,都不應該在二者分離的基礎上展開。因為“既然善和美是不同的,善永遠居于實踐之中,美則是在不運動的東西中,那些說數學科學并不涉及善和美的人就是錯誤的”［4］。就此而論,對于數學不但需要熟悉、理解和掌握詳細的數學公式,而且更需要通過這些具體的對象性知識在數學對象的構成性中涉及善、追問善、成就善,唯有如此數學才能真正成為數學。

第一,數學與善首先是一個哲學問題,只有哲學的透視才能通達數學與善的統一、反對二者的分立。現代數學知識的變化直接表現為知識內容的擴充與知識領域的擴展,“可以被設想為一個在1870年開始的有智力的生命發展歷程,那時這個生命體剛好九到十歲的樣子”［1］668。因此,現代數學發展之初就表現為對算術甚至是分數的熟稔和掌握,但是同時也被新知識所擴充,比如幾何和代數的引入。但是,此時數學知識發展并沒有形成對其表達對象的深刻理解,因為這時還延續柏拉圖以后數學與善分離的傳統。即是說,以數學自身直觀對象是數學發展、創新和運用的一般情形。但是,數學概念本身的形成、闡釋和傳達,顯然是不能離開作為目的的善。比如,幾何概念“如果離開了對空間的引用,那么這些概念就沒有任何意義”［1］669。因此,盡管我們可以說柏拉圖關于數學與善不能分離的洞見已然久遠,然而我們卻不能說現代數學的發展與完善已然統一了數學與善。如果僅從數理推導的邏輯來看,只關注數學,而不在意善,顯然不是問題。但是,如果我們在數學思考和傳授中沒有把作為目的的善甚或是作為對象屬性的善與數學的知識內容一致起來的話,那么數學可能就只能遺留下邏輯自洽的概念、判斷和推理。就此而論,柏拉圖提出的數學與善一致判定,遠遠超越了對數學是實現善的功利主義肯定,而是從建立感覺與思想之間的內在聯系的意義上來強調數學的特質與意義。因為,對人而言,“我們不僅僅擁有一個變化的世界,它的一切都是完全不可把握的;也不僅僅擁有單一純粹的存在的世界,它的一切都是孤獨的莊嚴。在技藝里這兩個限度通過數學要素被融合為一個有秩序的整體”［3］31-32。

第二,數學與善的分離這個曾經引發學術進步的“輝煌錯誤”,一方面強化了數學的工具性,另一方面更提出了數學與善統一的重要性。當懷特海在現代知識發展的整體邏輯中重提這一問題時,顯然是看到輝煌錯誤之后必須正視的問題。對此的重視,既是對數學自身發展狀態的考量,又是對數學與其他科學關系的判斷。在數學與善分離的傳統中,數學是對某種具有本體確定性對象的說明。比如對空間而言,“按照柏拉圖、歐幾里德他們的觀念,數學的目的就是對空間性概念的充分說明”［1］669。如此對數學功用的強調卻疏離了數學的本質,而且也阻滯了科學的發展。因為數學與善的分離,使數學的一致性與邏輯自洽性成了數學的標識,是理性精巧之美的體現,深深地影響了現代科學。比如,“因為離開了在思想基礎引進數學與善分離的簡化,現代物理學沒有前設性的簡化來解釋自身”［1］669。然而,19世紀末20世紀初非歐幾何的發展,在解決現代科學的基礎上使長達四千多年的數學與善的分離狀態得以重新被重視。懷特海依據其表征的知識內容稱之為“獨一無二的幾何學的錯誤”［1］670。當現代科學面對這一錯誤,并給出“我們現在知道了”［1］670的判斷,顯然不是對過往失誤的追悔莫及,而是對數學與善分離的現代反思。因此,數學與善分離導致“過度強調歐幾里德式的演繹技巧”［5］、強化“任何有限知識完全自足的觀念”［1］670,必然會導致教條主義的錯誤,錯失知識產生的背景,失去與生活目的的聯系?；蛘哒f,數學與善的分離,強調有限模式在數學建構和數學教育中的重要地位,雖然能夠將邏輯理性的完備和自洽表現得淋漓盡致,但是卻不可避免地會產生落入武斷的懷疑主義的窠臼。在此背景下,數學其實只是一種失去根基的完成狀態。由此看來,數學與善的分離使完成了的數學成了數學理所當然的形象,更以理性完美的形象證明有限的自足性,從而也潛在地表明數學與善的分離在某種程度上強化了懷疑論。更直接地講,數學與善的分離雖然使現代科學和知識體系得以產生、發展和繁榮,但是卻產生懷特海所反對的兩種實在之間的沖突,即脫離善的將數學作為表達“型”的實在與追求善的生活實在之間的沖突,因為這一分離產生了阻滯現代知識進步的惡。重提數學與善,也就意味著既應該從數學自身來思考數學,又要從生活存在來思考數學。

第三,數學與善的分離偏離了柏拉圖基于理念論對數學本質的洞見,產生了“具體性誤置”謬誤,放大了自希臘以來便存在于數學之中的矛盾。數學與善的互成在柏拉圖那里是基于理念論哲學的,所以蘇格拉底所說的“我所知道就是無知”,本身就意味著數學與善并非自足的停留,而是不斷地發展著的。因此,在數學與善的互成中,發現存在于數學知識中的矛盾,對于數學的發展與變化具有根基性意義。然而,數學與善分離卻使之不再成為問題。所以,懷特海特別感嘆,“關于數的觀念自希臘時代以來就總是包含奇怪的小矛盾,然而有思想的人們卻總是忽略了它們”［1］671?，F代知識邏輯發展中“數學已喪失確定性”的觀念,也并非要否定以幾何學研究“型”、以數的概念表達類型的數學本身,而是要揭示數學知識構成中欣賞無用的幻覺、拋棄數學產生依賴宇宙之存在原因?；蛘哒f,數學與善的分離所產生的前文所論的自足性,不僅是數學知識發展的內在桎梏,而且要拒斥數學產生及其意義發生的本體論承諾。所以,懷特海極為贊賞弗雷格判斷算術搖搖欲墜的觀點,同時對羅素引進實體類型來闡釋數字本質的工作充滿信心。羅素雖然沒有直接恢復數學與善的互成,但是他把“數限定在一種類型中來解決所有矛盾”［1］671的方式,是事實上對數學與善關系的知識論恢復。在此意義上講,無論是面對空間位置的幾何,還是處理對象存在的數,都是基于善發生學的模式真理。數學中的基本概念,“都是從某一特定實例中抽象出來的給定種類的實例”［1］672,與其產生的語境,或者說善發生過程有著本體論上的一致。因此,算術、幾何和代數等具體數學知識,雖然其表達形態各異,但是都沒有辦法不參考無際的宇宙,數學本身是“一種從背景中抽象出來的實體性存在”“一種以思想的方式強調的客觀形式”。［1］672然而,數學與善的長期分離,使人們形成了關于數學知識的刻板印象,但是如果基于數學與善一致的洞見,從人類發展數學和應用數學的歷史來看,就自然能夠超越柏拉圖洞見中的含混與樸素,同時更能解決數學自身的客觀性問題,從而使數學真正成為人類思想存在和價值的理性范例。而且,如果數學與善真正能夠互成,既能夠解決拉圖爾對于數學重回唯物論的呼吁,也能夠從根本上改變科學在講故事中把故事當作實在的問題。因為,數學與善的分離,以及現代科學對數學的依賴,總是使科學誤置具體性,“把身體變成故事,又把故事變成身體;既產生稱為‘實在’的東西,又產生對實在的證詞”［6］。

由此看來,數學與善的同一,是作為一個哲學洞見被提出來的,然而在數學從哲學中分離出來成為具有重大影響的獨立學科的時候,這一洞見卻被數學與善分離的事實所代替。這一代替在傳統邏輯中雖然推動了數學發展,但是在現代知識發展中必須被重新審視。因為,這一分離一方面使數學日益工具化,另一方面使數學日益抽象概念化。然而,數學與善的本然結合和數學的發生現象學又使數學本身實現能夠善的表達。因此,懷特?；诂F代知識發展的背景,對數學發展表示出深深的憂慮,明確提出,“玩弄抽象概念并不能克服17世紀科學思想方法中‘具體性誤置’所引起的混亂”［7］。

二、數學的確切性和善的理想性與實踐的模糊性

數學與善都是從具體事物中抽象出關于事物的“類型”,具有超出直接經驗和現實實踐的理想性。數學與善都具有理想性這一事實,使數學與善對于表征人的理性具有邏輯的同構性與社會實踐的同一性。而且,數學與善都與現實實踐在表達確切性上區別開來,又在具體實踐產生的效果上結合起來。所以,數學和善“作為直接超越任何現實實踐的典范”［1］673,既以善的理想性定義模糊性的實踐,又以數學的確切性使經驗性的實踐行之有效。數學與善以概念的確切性與價值的理想性,改造了模糊的知覺,真正使柏拉圖致力于通過數學來講善的追求得以實踐性落實。

第一,數學和善以概念的自洽和價值的超越賦予存在以生氣,使模糊的知覺變得精確與穩定,既成為實踐的指引,又成為現實的追求。雖然現代知識的擴展使數學與善關系的表現形式發生了重大變化,但卻在數學與美和惡的聯系中重新表明出二者關系的重要性。追求數學的確切與善的理想是理性存在者所特有的。因為,唯有理性存在者才有選擇性難題,他既要求具體例示,又抽象具體示例。特別是對人而言,當其以社會性智能歷史地建構出例示內蘊的超歷史的類型的時候,其實就創造了精確的數學概念和理想的善的觀念。這是人類智能所獨有的特性。這顯然符合西賽羅對蘇格拉底的贊美,將善拉入人間進行思考是極其重要的變革。同時也證明了數學之確切與善之理想的意義。與此同時,我們可以窺見柏拉圖以數學論證善的困難。因為,數學與善在現實中是直接與實踐區分開來的,“善的理想和數學的確切都是關于精確性的。精確性是實踐和理論的區別。無論何時何地,也無論顯性或隱性,精確性始終是理論的根本要求”［1］673。但是,這并不意味數學和善就與經驗性實踐和現實性活動是兩種完全不同的對象。雖然在實踐中,確切的數學概念和理想的善從來都不曾完全實現,也不可能真正達到,但是人們總能在模糊經驗中達到數學之真與善之美。無論是成人還是孩童,都概莫能外。這也就意味數學與善只是經驗實踐的一體兩面。這既構成了數學和善與生活的同構性關系,又意味數學概念的精確性與邏輯的自洽性內置了善的理想性。特別是現代科學解構確切與客觀固定與不變之后,數學與善所表達的精確性就顯然不能再訴諸絕對的實體本體,而要服從與服務于人的現實生活。其實,如果不考慮現代物理學對傳統客觀實體觀念的解構,即使只從數學概念化的精確性的來源也可知其中必須蘊含著對生活善的理解。這也是為什么柏拉圖會在《菲力布篇》明確體現出數學如何精確地從技藝中篩選出數學的要素,并隱喻性地指向善的真正原因。因為,“知識體的科學特性依賴于通過數量原理實踐理智控制的能力,此后,他繼續工作,并將這一概念化應用于數學本身”［3］40。而當懷特海在現代知識背景下再提數學與善時,顯然是贊成柏拉圖的觀念并且將其推進,“請記住,無論是人類關于一英寸的長度,還是一秒鐘的時間,作為確定無疑的基本單位,都與人的生活完全相關”［1］674?；蛘哒f,數學的確切與善的理想都內在于生活,但卻并不是實然地存在于生活之中等待被發掘出來的知識體系,而是激活真實事件的理想性與超越性。數學與善同時使人認識到抽象無限性的無效,而數學與善則又共同揭示有限的意義,指引了有限的未來達到無限本身。所以,“有限饋贈價值,這是人類活動的必要條件。而活動意味集合模式得以產生,數學恰恰又是研究模式的學問”［1］674。由此,數學研究與善的追求在實踐指引與現實追求中造就了共同的存在論基礎。

第二,數學的確切性與善的理想性通過對有限與無限的證成與表達,既明確其二者的理論對象,更闡明與澄清數學和善處理有限模式的原因。雖然在《理想國》中柏拉圖將數學抬高到了純粹的高度,但卻并沒有從根本上解決數學淪為工具的問題。因為在柏拉圖的邏輯中雖然存在著“數學與善的闡述是由善牽涉、追溯至數學而并非在數學下解釋善,數學的善是一種發自人的經驗但又脫離人的經驗的純形式、理想化的境界”［8］,但是,數學并沒有逃脫工具化的宿命。因為,“數學搭建了物質與理念世界的橋梁,是通達善的工具和關鍵途徑”［8］的判斷為數學的工具化留下邏輯可能。我們有理由相信懷特海重提數學與善應該是明了問題的關鍵。因此,在其看來如何在哲學層面超越具體的數學理論(或公式)說明這一問題就至關重要。因為,這一問題不僅關涉到現代知識背景下數學的本質問題,更是關系現代知識體系中數學發展與數學教育的重大根本問題。對此,懷特海特別強調,“沒有獨立存在的有限實體”［1］674,只有被無限規定的有限和被有限說明的無限。也正因為如此,懷特海以近乎辯證法的邏輯判定有限與無限的互證與互成,為數學的確切與善的理想提供了本體論前提。數學從例示、實體,或者說是個體經驗到的對象中抽象出模式,其既是對有限的具體還原,又是借用無限達到的對有限的理性把握。數學知識作為一般的模式,不是源于其直接思考的無限,而是對有限的抽象。因此,有限就從意義與價值賦予的角度使無限具有意義,而無限又給予有限以確定性。所以在懷特?？磥?如果只是借助于思辨哲學,如同斯賓諾莎和萊布尼茲那樣不將數學的根基具體化為人類的知識與價值,對有限與無限的說明就必須求助于“自然神論的無限”。但是如果從數學的確切性與善的理想性出發的話,那么這個問題就迎刃而解了。這既是在現代知識發展中必須討論數學與善的原因,也是現代知識化邏輯中的“數學與善”和柏拉圖的“數學與善”的重要區別。而要達到這種層面,必須在哲學的高度深入理解創造出數學知識的悟。因為“‘悟’這一概念既需要理解討論有限時為何需要無限、討論無限時為何需要有限”［1］675。或者說,數學基于有限的模式本身就是通向無限性的理想性的善。這樣既規避了客觀真理的數學知識源于有限的問題,又解決了善理想性的無限如何通達的問題。由此看來,柏拉圖提出數學與善的問題其實就已經睿智地擊中了問題的關鍵,但卻因為知識體系尚未充分展開,只能是一個洞見?，F代知識體系的發展所敞開的事實證明,數學的確切性并非善的完滿性,而是模式源于生活的事實性,在有限與無限互證與互成中生成的可依賴性,以及規避惡與成就善的可能性。

第三,數學作為具有確切性的模式真理,是量的廣延、形的確定和善的理想,規范著實踐。數學的模式真理性是數學知識結構超越個體對象而客觀具有的,現實真理性則是由善的理想性在規范實踐模糊性中表達的。數學確切性是由形式結構的創造性思維和具體內容的客觀對象雙重本體所保證的,“數學在各個不同的抽象化水平上(即在各個抽象層次上),它總是從業已模式化的個體出發,在進一步的抽象過程中對可能產生的模式進行研究”［9］。而且,模式在實踐中具有十分重要地位,“每門藝術都奠基于模式的研究,社會組織的穩定與結合也依賴于模式的保持;文明的進步也僥幸地依賴于行為模式的變更”［1］677-678。雖然懷特海這樣的判斷有將數學工具化的邏輯可能,但是執著于模式的數學其實和語言一樣都力圖將意義結構化在模式之中,并使數學在研究高階模式中和善一致起來,具有本體化的趨勢?；蛘哒f,數學本身所體現出來的邏輯合理性、模式真理性和現實真實性,構成其確切性的核心內涵,并在規范與影響實踐中表達量、形和善。數學發展的邏輯告訴我們,數學并沒有停留于柏拉圖對永恒不變的善的逼近或表達之中,而是在其不斷的發展中揭示出善的一般結構和內在構成,并以數學的模式真理性地構成善本身。因此,有學者明確提出,“通過數學知識,我們認識自然事物的組合和秩序。懷特海倡導數學的模式本質觀,通過數學模式(研究對象)的構建,闡述數學知識的價值理念,從中探求數學和善兩者間的關聯”［8］。或者說,正是數學在其自身內容發展和觀念完善之中,本質性地探問了善的問題,而這一探問的目的并沒有停留于數學達成善的方式與過程(盡管這是人們對數學的常識性觀念),更是深入到了數學模式真理演變本身展開善的歷史現象學。這也是懷特海在面對數學與善時始終強調不能離開人的生活思考數學本質的重要原因之所在。

因此,數學確切性的面相在數學產生那一刻就被人們所認可,然而正是因為數學與善的內在一致性使得數學確切性和善的理想性關聯起來。數學與善的這種關系其實展開于數學模式形成、確定、運用和修正之中,這既構成數學在模式中結構化意義與價值的能力,又構成了數學表達善、成就善的過程,同時善的理想性又不斷修正模式使數學與善相互生成。正如前文所述,柏拉圖承接蘇格拉底思考善,但是他用數學來思考善本身就是一個偉大的創舉,正是這個創舉既使數學知識的發展依賴善實現的程度,又使善而非惡成為數學內在的價值構成。

三、數學對模式的智力分析與善惡對模式的存在依賴

現代數學的發展使數學不再局限于對數目和圖形的分析和闡明,而是進一步深入到對模式的研究。無論是代數還是幾何,均是如此。且不論為了滿足數學如上發展所引發的數學思維和理論方法的進步,從“數”在代數學中的地位變化看,我們發現數已從數學的核心地位轉變成為對象提供名稱,“數學已轉變成對模式類型的智力分析”［1］677。數學的這一轉變顯然不僅是知識自身邏輯發展的結果,更是現代人對模型重視的必然。其實,隨著經驗形而上學意義的確定,以及實驗對現代科學的存在論奠基和范式改變,模型以及模型之間的關系在經驗生活和理性知識中的重要性與根本性便日益凸顯。模式構成經驗生活的直接規定,模式關系限定善惡的發生。因此,善惡與數學在現代歷史語境中的再次相遇也就絕非偶然,將柏拉圖充滿經驗暗示的哲學洞見再一次提出來,必然需要我們重新思考數學與善的關系問題。

第一,模式成為數學核心對象確證了柏拉圖對數學的正確洞見,善惡與模式的關系也再一次證明了數學與善關系之于人類知識和生活的重要性。如此看來,柏拉圖講演的不成功,不在于判斷正誤,而在于數學發展的狀態和人對模式重要性的認知。從數學發展史的角度來看,模式并非一開始就是數學關注的對象,而是20世紀以前半個世紀知識論發展的結果。這里既有幾何學的進展,更有代數學的明確。代數群論的興起就是極佳的證明?；蛘哒f,隨著知識論發展,數目和形狀在數學知識中的地位逐漸退后,模式逐漸走向前臺,這既是數學獨有能力的證明,“對于理解模式和分析模式之間的關系,數學是最強有力的技術”［1］678;又是人類生活對模式依賴的證明,經驗層面模式雖然“只是我們的經驗的實現中的一個因素,或者是直接價值,或者是為了未來的價值的感覺刺激”［1］678,但存在層面的模式卻是一個內置于人類行為之中的文明要素,無論是藝術、社會體系還是歷史進步無一不受其影響和制約,人現實的行為已經“把模式注入自然事件之中,模式的穩定性,以及模式的發展,都是善實現的必要條件”［1］677。因此,從現代知識論和人類活動兩個方面都證明一個事實,模式推動數學發展,數學明確模式狀態;模式規定善的實現,善表征模式特質。因此,“數學的進步并不只存在于導致對問題的新答案的研究之中。這些問題自身依賴于程序的模式。這些程序的模式最初并沒有與它們發生于其中的答案區分開來,它們并未普遍化”［3］16。顯然,這既是數學發展的一般邏輯,也是柏拉圖講演在古希臘時效性不強的原因之所在。然而,隨著人類歷史的發展,模式卻逐漸展開并呈現出前述的獨立性。模式獨立性的獲得及其與善關系的明確,使數學與善的關系再一次深度交織。這一方面是因為數學對模式的智力理解具有“壓倒性的優勢”［1］678,另一方面則是人類總會在現實的生活中開創出新奇性的模式從而展開善的新命題。

第二,數學在對模式的智力性分析中與世界建構了整全性關系,既深度揭示模式規范善惡的邏輯,又培植人向善的能力。數學對模式的智力分析,并非數學知識的獨立性與功能性,恰恰是在理性分析中表征模式存在的整體性。這一方面是存在自身的特性使然,因為,模式的個性或單一的關系都不能構成模式自身的規定性,更遑論其對善的規定性;另一方面數學對模式的智力分析顯然不是邏輯分析,而是對內蘊模式的自然世界的直觀和構造,是被康德稱之為感性-知性科學的純粹科學。因此,當懷特海重提數學與善的時候,實質上“將批評的矛頭指向了獨斷論,他認為一個獨斷論者恰好是徹底懷疑的,并在此闡明作為無限的‘善’與作為處理有限模式的‘數學’之間不可分割的關聯”［10］。當數學在智力分析中引入“任一”(any)這一概念的時候,就使其具有了超越有限直面無限的可能,并“與整個環境發生關系”［1］678。這既為善惡所參考的不同經驗模式提供了理性依據,又以理性分析的方式還原了善惡的存在論處境。因為數學非常注意對概念與對象之間的沖突、對象與對象的不一致、概念與概念之間的矛盾的理性分析并形成對模式自洽性的判定。這既解決了經驗模式的協調性問題,又使經驗獲得的模式得以升華成為引導經驗向善。更為重要的是,數學通過對有限模式的分析,使其存在關系得以展現,使聯系成為模式表征的事物本身的規定性。所以,當數學從被模式化的特殊事物中抽象出模式本身的時候,將事物從有限擴展到無限,從而具有善的特質、成為善惡的限定、引領善的行為。對此,懷特海確定無疑地宣布將數學定義為對有限模式理性分析的重要意義,“我要強調的觀點是,模式對于善惡的產生不可或缺,在有限感受單位中能夠獲得對這種模式所帶來的具體體驗”［1］680。

第三,數學對模式的理性分析,內置了柏拉圖珍視的“包含著強調”［1］681的抽象方法,是以有限激活無限、創造價值的善所必需的方法。雖然數學的這一特性使得數學在諸多時候和場景中被當作工具或者中介,但是數學也一直被喻為人類智慧皇冠上的明珠。因此,數學抽象方法的強調顯然不是工具性的突出與強化,而是在與善互成過程中的本體性建構。這也是為什么人們也把數學稱為世界觀的原因。這一方面是因為數學所表征的類理性使然,另一方面則是因為數學不僅以理性開啟直指事功的新世界,同時更是開啟了實現善并和善統一的新途徑。懷特海在重提“數學與善”時,就深深地被數學分析模式表征的理性所折服:“希臘天才逐漸突出抽象方法是特別新奇的事情。”［1］680雖然后來因為數學與善的分離,并引發了抽象的誤用,或多或少地影響了數學的形而上學意義、動搖了數學的地位。但是,從柏拉圖以數學來闡明善的時候本身就是以抽象的方式講出一個事實:如果經驗是具體統一的,那么數學抽象的公式和結論就會真正從有限中抽象出激活無限的模式。而且,數學與善的關系也就一直存在數學思考之中,不斷地被哲學家們以不同的方式常提常新。比如康德就以數學與自由申明了數學與善的統一。這一方面是因為,就現實而言,有限之有限就在模式本身的具體性,特別是“每個人在他自己的范圍內可能達到善;但是這一結果不確定、不牢靠、易于犯種種錯誤”［3］36。因此,“能導向對真理的理解”［11］525的抽象方法或者說數學就會必然出場,因為,這會達成一個“任何現實的創造中所涉及的抽象,具有連通無限與有限的統一性”［1］681,就如同表達具體個體的數一樣。另一方面,數學,特別是“幾何學會使得人們更加容易看到善的理念,迫使我們看到存在,而不僅僅是變化”［3］51。因為幾何學重大的高深的部分就是讓人能夠“把握善的型”［11］527。總之,數學理性分析模式本身,顯然不是為了確立模式自己,而是“以美與善為目的”來分析模式和建構模式,是以理性的方式使模式存在者成為模式的表達者。

因此,數學對模式的理性分析切中善惡發生的一般條件,使善惡作為對象的規定性突顯出來。對人而言,明晰數學研究模式的意義與方式,明了善惡存在與發生的一般條件,顯然離不開數學。這在雅典城邦的生活中是如此,在人工智能時代的今天亦是如此。正如柏拉圖在《理想國》中所言一樣,“只要他想做一個人,他就要學習數數和計算”［11］521。所以,數學對模式的研究不僅關乎人言說世界的語言建構,還關乎人行為的善和善的行為。

四、結論

懷特海重提數學與善,顯然是一個哲學的追問,而非科學的提問。這既是以哲學的方式來展示現代數學的本質,又以哲學的方式揭示善的本性。如果說懷特海所言的“哲學不是科學”［1］681是正確的,那么我們可以說數學不是科學。這意味著對數學與善的思考既是對人學習數學意義的追問,更是對數學本質的追問,還是對時代與數學關系的追問。這一追問,使我們再一次體會到柏拉圖的深刻:數學“就是我們正在尋找的那種學習之一,通過這種學習能使思想清醒,盡管它確實能夠把心靈引向本質和實在,但沒有人正確地使用它”［11］521。今天,身處人工智能時代的我們雖然有了更完備的理論體系和更繁雜的知識邏輯,但是人類社會理論與知識的繁榮并沒有取消那些根基性問題,數學與善依然是我們需要深入思考和審慎對待的重要問題。其一,知識論意義上數學的發展依賴于哲學觀念的變革是不爭事實。如何將我們這個時代世界觀念的變化,特別是微觀物理學的發展和量子力學的發展內化到數學的觀念、理論和知識之中,達到對世界之善(屬性)的深刻認知,需要我們重新思考這一難題;其二,在技術興盛并從根本上影響人類存在和未來的時代,數學的工具性日益強化、形而上學逐漸褪去的時候,數學之善與數學的意義更需要我們深入追問數學與善的關系;其三,時代的艱苦與創新的艱難,需要我們突破與創新,數學的創新更是根基性工作,我們如何突破數學知識既有體系,真正將人類之善融入數學的自洽之中,使向善之學成為善之學更需要我們重審這一追問。