運算一致性的本質理解與教學適應的分析

田淑玲 田世忠

摘? ?要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》第一次提出運算教學要讓學生“感悟運算的一致性”的要求。教學中通過設計教學、復習舊知、探究算理、對比新舊四種方式讓學生感悟運算一致性的方法。

關鍵詞：小學數學；運算一致性；教學方法

中圖分類號：G623.5? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2023）34-0050-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）優化了課程內容結構，增強了內容與育人目標的聯系，比如將原來的“數的認識”和“數的運算”兩部分組合成為“數與運算”主題，并在“課程內容”中提出“數與運算，包括整數、小數和分數的認識及其四則運算……感悟數的運算與運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”在“教學提示”中提出“通過數的認識和數的運算有機結合，感悟計數單位的意義，了解運算的一致性”和“通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性” 對比2011年版《課標》，不難發現“感悟運算的一致性”是2022年版《課標》對運算教學提出的新要求。那么，“數的運算的一致性”的內涵是什么？教學中如何讓學生“感悟數的運算的一致性？”下面結合具體例子，談一些粗淺的認識。

一、“數的運算的一致性”的內涵

在小學數學教材中“數的運算”內容分布廣泛，貫穿了一至六年級的十二本教材，由于跨度較大，所以在過去的教學中普遍存在碎片化，各管一段的做法。小學階段數的運算的對象是整數、小數和分數，都與數的計數單位相關。運算是指加、減、乘、除四則運算，雖然整數、小數和分數的四則運算形式上不同，但從計數單位的角度分析，數的運算本質上有共同之處。

首先解析四則運算之間的邏輯關系。加法是把兩個數或若干個數合并在一起的運算，乘法是計算相同加數的和的簡便運算，所以乘法和加法都是相同計數單位的累加；減法是已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算，所以減法是加法的逆運算；除法是已知兩個因數的積和其中的一個因數，求另一個因數的運算，所以是乘法的逆運算，又因為除法計算的每一步都有減法參與，所以除法和減法一樣是相同計數單位個數的遞減。由此看來，加法是四則運算的基礎，加、減、乘、除都是通過加法衍生出來的，都是針對計數單位的運算。

（一）加法運算的一致性

計數單位是數的運算的核心概念，加法運算是計數單位的個數相加。首先看整數加法，如2+3，從計數單位的角度分析2+3表示2個一加3個一，結果是5個一，也就是5。較大數的加法如456+23也是如此，從計數單位相加的角度思考，即456+23=400+（50+20）+（6+3）=479，橫式反應了豎式計算的算理，即相同計數單位的數相加，因此豎式計算時要相同數位對齊。由于小數和整數都是十進制，所以小數加法運算與整數加法運算一脈相承，如0.2+0.3，表示2個0.1加3個0.1是5個0.1，結果是0.5。較復雜的小數加法如0.25+0.12=（0.2+0.1）+（0.05+0.02）=0.37，橫式反應了豎式計算的算理，揭示了小數點對齊的本質是保證相同計數單位的數字相加。分數加法，如+，是同分母分數相加，分數單位相同，把分子相加就是把計數單位的個數相加，即+==；異分母分數加法如+，分母不同就是計數單位不同，所以要先通分，統一計數單位后再加，即+=+=。分數的表達形式不是十進制，在計算方法上與整數、小數有明顯的差異，但算理相通，都是對計數單位的累加。

總之，整數、小數和分數的加法，雖然表面上看起來有明顯的差別，但實質上有共同之處：相同計數單位的個數相加。

（二）減法運算的一致性

已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算是減法，所以減法是加法的逆運算，基于加法運算的一致性理解減法運算，減法就是相同計數單位個數相減。如8-5就是從8個一里去掉5個一，剩3個一，即差是3；1.6-0.7就是從16個0.1里去掉7個0.1，剩9個0.1，即差是0.9 ，正是基于這個道理，用豎式計算時個位不夠減時要從十位退一作十個一，與十分位上的6合成16個0.1再減。分數減法分“同分母分數減法”和“異分母分數減法”，同分母代表分數單位相同，此時分子就是計數單位的個數，所以計算時分母不變，直接把分子相減；而異分母代表分數單位不同，不能直接相減，所以計算時要先通分，使得計數單位相同后再計算，如-=-=。

可見，整數、小數和分數的減法運算的本質是相同的，算理同樣具有一致性，即相同計數單位的個數相減。

（三）乘法運算的一致性

乘法是求幾個相同加數和的簡便運算，所以乘法運算與加法運算有著密切的聯系。但乘法運算比加法運算要復雜得多，所以我們遵從數的構成，從計數單位的角度將乘數進行分解，再研究乘法運算的本質。

首先整數、小數都是十進制，因此整數乘法、小數乘法可以依據計數單位，通過分解乘數并使用運算律探究算理：如200×30=（2×100）×（3×10）=（2×3）×（100×10）=6×1000=6000；再如0.2×0.03=（2×0.1）×（3×0.01）=（2×3）×（0.1×0.01）=6×0.001=0.006. 還有12×3=（10+2）×3=（10×3）+（2×3）=30+6=36.

其次分數乘法可以依據分數的單位，對乘數進行分解探究算理：如×=（2×）×（3×）=（2×3）×（×）=6×=。

綜上分析發現，整數、小數和分數乘法運算都可以先將乘數基于計數單位分解，再應用運算律進行計算。由于使用了運算律，所以乘法運算歸結為兩步：計數單位與計數單位相乘作新的計數單位，計數單位的個數與計數單位的個數相乘得到新的計數單位的個數，從算理上實現了乘法運算是計數單位個數累加的本質。

（四）除法運算的一致性

已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因數的運算，叫做除法。小學生學習除法是從平均分開始的，所以從計數單位的角度理解除法運算是對計數單位的細分，學生更容易理解。如整數除法768÷3，768是由7個百6個十和8個一組成的，所以用豎式計算時，先算7個百除以3，在商的百位寫2余1個百；再把余下的1個百轉化成10個十與6個十合起來是16個十，除以3在商的十位寫5余1個十；最后把余下的1個十轉化成10個一，與8個一合起來是18個一，除以3在商的個位寫6。所以768÷3=256。在計算的過程中計數單位被三次細分（當高一級的單位不夠分時就轉化成低一級的單位再分），直到分完為止。

小數除法豎式計算是借助商不變的規律將小數除法轉化為整數除法，然后按照整數除法的方法進行計算。如78.6÷0.3，依據商不變的規律計算，即78.6÷0.3=（78.6×10）÷（0.3×10）=786÷3=256，橫式對應了豎式計算的算理：把除數和被除數同時乘10，商不變。實質上小數除法也可以在統一計數單位的基礎上計算，如上例中0.3是3個0.1，所以78.6可以看作786個0.1，即78.6÷0.3=（786×0.1）÷（3×0.1）=（786÷3）×（0.1÷0.1）=256. 這樣看來，在小數除法中，把被除數和除數的計數單位統一后，就是把計數單位的個數相除，與整數除法中計數單位被細分的道理一致。

分數除法運算，一般的計算方法是：除以一個數（0除外），等于乘這個數的倒數。從計數單位的角度看分數除法運算，可以這樣理解：當被除數和除數的分數單位相同時，如÷，被除數和除數的分數單位都是，計算的本質就是看4里面有幾個1，即÷=（4×）÷（1×）=（4÷1）×（÷）=4÷1=4. 當被除數和除數的計數單位不同時，如4÷，我們可以把4轉化成用做單位的假分數，那么4÷=÷=（20×）÷（1×）=（20÷1）×（÷）=20÷1=20；再如：÷，可以把被除數和除數轉化成用做單位的分數計算，即÷=÷=（15×）÷（16×）=（15÷16）×（÷）=15÷16= 。整理幾個例子發現，在分數除法運算中，把被除數和除數的計數單位統一后，仍然是把計數單位的個數相除，與整數除法中計數單位被細分的道理一致。

依據以上對整數、小數和分數除法運算道理的分析，發現其一致性在于計數單位統一的前提下，計數單位的個數相除，即計數單位個數的細分。

二、教學要讓學生“感悟運算的一致性”

基于以上的分析，不難發現數的運算的核心是“計數單位”，只要抓住這個核心，所有的整數、小數和分數的四則運算都可以整合。《課標》給出“感悟”的含義是“在數學活動中，通過獨立思考或合作交流，獲得初步的理性認識。” 那么，在教學中如何讓學生感悟運算一致性呢？下面以石家莊市長安區王曉陽老師的《分數乘整數》的教學為例給大家諸多啟示。

（一）設計教學，要有目標意識

《分數乘整數》一課的學習目標：

①結合具體情境及看圖列式，自主地了解分數乘整數的意義（運算能力）；

②結合具體算式和線段圖，通過小組合作、交流展示，在教師引導下，理解分數乘整數的算理，感悟運算的一致性。（運算能力、推理意識、幾何直觀）；

③通過歸納總結、計算練習，自主地掌握分數乘整數的計算方法（運算能力、推理意識、應用意識）。

在做教學設計前，認真研究《課標》和學情，把運算一致性的要求融入目標，保證教學既重視基礎知識和基本技能的獲得，又關注基本的數學思想的形成和相應的核心素養的發展。

（二）復習舊知，梳理整數、小數乘法運算與計數單位的關聯

課堂引入環節，教師創設購買奶糖情境：每袋奶糖重400克，3袋共重多少千克？計算過程中，引領學生回憶了整數和小數乘法的算理，即：400×3就是求4個百×3，結果是12個百；0.4×3就是4個0.1×3，結果是12個0.1。學生在以前學習整數和小數乘法運算時，已經理解了乘法運算的算理，這些看似與分數乘法無關，但在學習時會起到遷移的作用，為感悟運算一致性奠定了基礎。

（三）探究算理，感受分數乘法運算與分數單位的關聯

在探究算理環節給予學生充足的時間和空間，學生嘗試用畫圖、列算式或文字描述等方式表達分數乘法的算理。課堂上有的學生轉化成同分母分數加法，有的嘗試畫圖表示，還有一個學生說到里面有兩份，乘3就是翻了三番，一共是6份。

課堂上多元的表達方式呈現了學生的不同思路，但這些思路都指向了“分數單位沒有變，只是分數單位的個數在增多”這樣一個事實。這時的學生已經初步感受到運算一致性的含義了。

（四）對比新舊，打通知識和方法間的關聯，體會運算的本質

理清分數乘整數的算理后，教師說“剛才同學們用了畫圖的方式，直觀解釋了表示2個，×3就是6個。是分數的計數單位，其實計算×3就是在計算有幾個這樣的分數單位，這讓我想到了剛才我們在算三袋糖的重量時，用到了整數乘法、小數乘法，認真觀察，在計算分數乘法、整數乘法、小數乘法時，有什么相似的地方？”教師邊說邊用PPT出示了分數、小數和整數乘法的計算過程，讓學生觀察并思考。

片刻后，三個學生回答“計算前和計算后，計數單位是不變的”“三種方法都是乘3”“只有計數單位的個數變了”。教師利用類比的方法引領學生建立起整數、小數、分數乘法之間的關聯，在理解了分數乘整數的算理的同時感悟運算的一致性。

分析了上面的教學，聯想過去在運算教學中每節課都強調“理解算理、掌握算法”，但課與課之間，相同運算的不同課之間缺少了算理與算法的實質性溝通，是碎片化的教學狀態。當教學缺少了聯系的眼光的時候，學生的學習負擔必然是重的，學生不喜歡數學運算或數學運算容易出錯也找到了根源。感悟運算的一致性就是要整體把握數與運算內容的關聯，抓住核心概念——計數單位，結合不同階段學生的基礎和心理特征，進行有針對性的、有問題情境支撐的、引發學生思考的教學設計。教學中還要重視學生的體驗活動，引導學生把已有的知識和方法遷移到新的知識中去，有目的地培養學生的歸納和類比的能力，提高運算能力，這才是《課標》提出感悟運算一致性的真諦。