走向“一般”意義上的代數

張偉明　鐘立

【摘? ?要】小學階段，“字母表示數”是促進學生符號意識發展的重要教學內容之一。基于前測確定教學目標后，圍繞“隨機‘紅包，感知字母可以表示可變數；比較‘思辨，體會含有字母的式子可以表示數量關系；內化‘結構，豐富字母表示數的代數意義；回顧‘過程，順應字母表示數的歷史發展”展開“字母表示數”的教學實踐。通過教學，學生的理解逐步從“特殊”走向了“一般”。

【關鍵詞】前測；字母表示數；符號意識；代數思維

一、問題緣起

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）加強了對“字母表示數”相關內容的要求，其明確指出：“在具體情境中，探索用字母表示事物的關系、性質和規律的方法，感悟用字母表示的一般性。”在小學階段，“字母表示數”的相關內容，是幫助學生體會如何運用符號表示數量關系和一般規律，理解運算規律和推理結論具有一般性的重要渠道，對學生提升抽象概括能力、發展數學符號意識和數學語言表達能力有著重要的意義。

在現行人教版教材中，“字母表示數”的起始例題先用對話的形式呈現“爸爸的年齡比小紅大30歲”，再用表格整理出小紅不同年齡時爸爸的對應年齡，并用算式進行表征，接著提出問題“怎樣才能用一個式子表示出任何一年爸爸的歲數”，借此引發學生認知沖突，讓學生有尋求、探討、交流的欲望，并在交流中形成對用字母表示數的共識。教材的編排，呈現了一條可以讓學生經歷從特殊到一般再回到特殊的學習路徑。從“一個式子表示一個年齡”到“一個式子表示任何年齡”的突破，是學生認知上的一次飛躍，也是本內容的教學難點。

學生對字母或含有字母的式子可以表示數的理解究竟有多深？字母與含有字母的式子的表征應如何建立？怎樣引導學生理解用字母表示數具有一般意義？筆者帶著這些問題，設計了問卷，于2022年5月對X校五年級45名學生進行了前測，并基于前測確定教學目標，展開教學實踐。

二、前測及結果分析

前測的主要目的是了解學生對字母表示數的理解情況，了解學生對用字母或含有字母的式子進行表征的水平。

（一）學生對字母表示數的理解程度

通過測試題①“△+△+△+△=16，△表示的是? ?；我的想法是? ?”，對學生是否能解決用字母表示特定數的問題，以及用怎樣的思路解決問題進行檢測。具體解題情況如表1所示。

測試表明，解題時學生的想法大致有兩種：一種是用除法計算，思維過程主要是4個△是16，1個△就是16÷4=4；另一種是用乘法計算，思維過程主要是4個4相乘的結果為16，所以△代表的數是4。有90%的學生能正確表達出本題代表的數量關系是4個△之和為16，這說明學生能夠理解用字母表示特定數的意義。

通過測試題②“2、4、6、□、10、12…… □表示的是? ? ? ? ? ?”、測試題③“2、4、6、8、10、12……□，□表示的是? ? ? ? ? ”，對學生是否能夠用字母表示一類數進行檢測。其中學生解決測試題②的正確率為100%，解決測試題③的情況如表2所示。

從表2可以看到，只有6.67%的學生能夠正確地用字母表示出這一組數的特征。以14、20、26等具體數來描述數據特征的占77.78%。有15.56%的學生采用了ɑ、12+ɑ、x等表征方式，這部分學生已經具備了偶數的概念，也試圖在符號和偶數之間建立關聯，但在具體的表征方式上遇到了困難。訪談中發現，多數學生知道測試題③中“□”表示的意思是偶數，但學生無法用字母進行表征，很多不能正確表征的學生給出的理由是“我不知道，感覺應該是這樣的”。

（二）學生用字母或含有字母的式子進行表征的水平分析

通過測試題④“鄭老師的年齡比張老師大20歲，你能簡明地表示出鄭老師有幾歲嗎？我的表示方法? ? ，我的想法是? ? ”，對學生用字母或含有字母的式子進行表征的水平進行分析。學生的表征水平劃分為水平0到水平5共6個層次，具體情況如表3所示。

從表3可以看到，有53.33%的學生能用文字表征、圖形符號表征、字母等式表征、字母式表征等刻畫鄭老師的年齡。其中，48.89%的學生用含有符號的等式（如ɑ+20=鄭老師年齡）表征鄭老師的年齡，僅約4.44%的學生直接用含有字母的式子（如ɑ+20）表征鄭老師的年齡。結合訪談發現，這兩類表征的差別在于，他們都知道可以用符號來表示數，也知道可以借助符號進行運算，但前者不理解代數式也能表示數。也就是說，對學生群體來講，理解同一個式子中同一符號可以表示相同的數，以及用含有字母的式子表示數量關系是有難度，但比較而言，理解含有符號的式子可以表示結果的難度更大。

綜上所述，學生在前測中體現出的符號表征能力差異性比較大。前期用字母表示“固定數”（如撲克牌中A、J、Q、K分別表示1、11、12、13）的生活經驗，對學生真正提升用字母表示數的意識作用有限。學生對用字母表達一般性的關系的理解有所欠缺。因此確定“引導學生理解符號（字母）可以表示一個數，也可以像數一樣參與四則運算”為本課的教學目標。

三、課堂教學實踐

（一）引入：隨機“紅包”，感知字母可以表示可變數

“搶紅包”是學生熟知且樂在其中的游戲。隨機金額的紅包在拆開前存在著多種可能，搶紅包游戲素材為學生理解可變數提供了保證。本課圍繞“核桃一家人玩微信搶紅包游戲，核桃爸爸、核桃媽媽、核桃三人搶隨機紅包，三個紅包的總金額為100元”展開教學。教學中的所有環節均圍繞“紅包情境”展開，隨機紅包成了有效串聯知識點、破解學生疑惑的媒介。

第一環節從核桃爸爸搶到已知錢數引入（如圖1）。教師提問：“核桃爸爸搶了第一個紅包，記錄一下，得了多少錢。”學生很快寫下“20”，為體會確定數的記錄方式做鋪墊。

第二環節從核桃媽媽沒有拆開的紅包引入（如圖2），教師提問：“猜猜核桃媽媽的紅包里有多少錢。”學生有說10元的，有說15元的，也有說23元的……教師進一步追問：“具體錢數是多少似乎無法確定，但若一定要把核桃媽媽紅包里的錢表示出來，可以用什么辦法？”引導學生在隨機紅包金額不確定和教師要求一定要表示出錢數的兩難選擇中，逐步將思路聚焦到具有一般性且能表示可變數的字母上來。

教師提問：“字母能表示出你們說的那些紅包金額（10元、15元、23元等）嗎？能表示出這個隨機紅包里的所有可能金額嗎？它能表示哪些數？”通過一系列問題，學生將思路從具體錢數的有限可能（10元、15元、23元等）拓展到隨機紅包的“無限”可能，再逐步發現“無限”可能中隱含的限制條件。在交流討論中，學生的思維層層推進，不斷深化對用字母表示可變數的認識。學生在對比確定紅包和隨機紅包的過程中，初步理解字母可以表示未知的可變數。

（二）探究：比較“思辨”，體會含有字母的式子可以表示數量關系

第三個環節繼續從核桃未拆開的紅包引入（如圖3）。教師出示活動要求：想一想，媽媽的紅包金額與核桃的紅包金額之間有什么聯系？寫一寫，核桃的紅包金額應該怎么表示？議一議，你寫的式子能合理表示核桃紅包里的金額嗎？通過小組合作，學生提出四種不同的方式表示核桃紅包里的金額：ɑ、b、80-ɑ、100-20-ɑ。教師提問：“有沒有哪種表示方式是不可行的？”“哪種表征方式更簡潔、更合理？”引發學生思辨：媽媽的紅包金額已經用字母ɑ表示了，核桃的紅包金額如果再用ɑ表示就很難區分；如果用b表示則不能說明兩個紅包之間的關系，而100-20-ɑ和80-ɑ能合理表示二者關系，且80-ɑ更簡潔。教師適時將具體金額代入，并配合板書引領學生進一步理解80-ɑ的意義。這樣的學習過程有助于學生理解含有字母的代數式能表示數量關系。

（三）延伸：內化“結構”，豐富字母表示的數的代數意義

教師通過提問：“你覺得生活中有哪些量能用4ɑ來表示？”將學生的視野從紅包情境拉回到更為豐富的現實世界。學生從“4ɑ”這個結構出發，將其表示的意義向生活中拓展。在交流過程中，教師順勢啟發學生討論：數量關系（如單價、數量、總價之間的關系，速度、時間、路程之間的關系）、唱不完的兒歌（青蛙問題）、長方形的面積、正方形的周長等問題（如圖4）。讓學生結合情境說明，不同情境中4、ɑ、4ɑ分別表示什么，進一步理解含有字母的式子表示的實際意義。這幾個例子自成結構，又各有用意。在小結階段，學生自然而然地提出：“用字母或含有字母的式子，可以表示確定的數，也可以表示不確定的未知數，而數只表示確定的已知量。”

（四）總結：“過程”回顧，順應字母表示數的歷史發展

課的最后，教師帶著學生回顧學習過程：從在紅包游戲中體會用字母表示的必要性，到思辨字母及含有字母的式子可以表示不確定的數，再到有結構的延伸拓展。從而幫助學生拾級而上，“重現”丟番圖用縮略音節首字母代表未知數到韋達用符號代數的進程，跨越式地感悟數學家們數千年的探索。

本課的研究過程，緊扣兒童的認知心理特點，在充分了解學情的基礎上設計和實施教學，打破了學生原來的散點式認知結構，重構了用字母表示數的多元內涵。

參考文獻：

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［2］張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數學教材中的大道理：核心概念的理解與呈現［M］.上海：上海教育出版社，2018.

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