數學說題在建構運算能力中的關鍵作用

周本圣

【摘? ?要】在運算教學的過程中引入學生說題活動，可以幫助學生理解算理、掌握算法。教師圍繞“在數學說題中滲透數學思想”“在數學說題中理解算理”“在數學說題中構建算法”的探索，切實提升學生的運算能力。

【關鍵詞】數學說題；運算能力；算理；算法

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：運算能力主要指根據法則和運算律進行正確運算的能力。主要表現為：能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展。學生在運算學習的過程中，往往“受到問題中所牽涉到的‘數的類型‘問題的情境模式及‘它們之間的互動所影響” ［1］，而消除這些影響的方法在于學生對算理的深刻理解以及運算能力的提升。數學說題——讓學生的數學思維可視可聽［2］，是“說數學”的一個基本形式。在運算教學的過程中引入學生說題活動，可以幫助學生理解算理、掌握算法；在說題的思維表達過程中，可以幫助學生理解運算問題，掌握合理簡潔的運算策略。在教學實踐中，要以理解算理和構建算法為落腳點，通過概念、性質、定律、法則理解算理，通過轉化、優化、湊整、化簡構建算法，發揮數學說題在其中的關鍵作用，推動學生運算能力的發展（如圖1）。

一、在數學說題中滲透數學思想

從小學到高中，數學書越學越多、越學越厚。那么如何能夠越學越薄呢？最好的方法就是，適當掌握雙基，提煉思想方法，學會運用思想方法。雖然在小學階段無須過度強調數學思想，但適當的滲透是必要的。正如顧沛教授所言：“數學思想的滲透是長期的，應該從小學一年級開始，也完全可以從小學一年級開始。” 在豐富的數學思想中，涉及運算能力的思想方法，主要有轉化、演繹、代換、消元、化簡、數形結合等。數學說題在形成這些思想方法的過程中，有著重要的作用。說題為學生提供了將零星的想法歸納成語言并展現出來的機會，加上有效的說題評價的指引，可以促進學生積極思考，逐步形成思想方法。在說題實踐中，需關注內容的一致性、表達的有序性、方法的有效性和選擇的靈活性。

（一）內容的一致性

同一類型的題目往往蘊含的思想方法是一致的。在階段性練習中，為了滲透某種思想方法，在選擇內容時需要保持一致性。比如在計算“[1/2]+[1/4]+[1/8]+[1/16]”時滲透數形結合思想，那么在“[1/3]+[2/9]+[4/27]+[8/81]”中同樣也能體現。數學說題時，同桌互說互聽互評，給學生一個具體的探索平臺，經歷思想方法形成的過程。學生在說題過程中的“旁征博引”“抽絲剝繭”，可以將相關現象關聯起來思考，從而感悟思想方法。

（二）表達的有序性

在計算教學中，學生說題能規范數學語言表達，對幫助說題者梳理解題思路有著很強的支撐作用，對于傾聽者也有著很好的引領和示范作用。然而，小學生用數學語言表達時，往往受其自身邏輯思維的不完善和語言表達的不完美的限制，表現出前后顛倒、循環重復、過度跳躍等現象。說題過程中，教師要以有序性為指引，幫助學生進行合理調整，如通過說題記錄表格的形式作規范引導，將涉及思想方法的語言確定下來，使得表達邏輯更加明晰。

（三）方法的有效性

促進說題有效性的方法是多種多樣的。計算教學中，讓學生在說題過程中穿插畫圖，以達到數形結合、視聽并舉的目的，可以幫助學生溝通數與數之間的關聯，效果立竿見影。例如，除數是分數的除法相關內容，算理的理解是難點所在，教師可以引導學生在多樣化的表征中，比較、分析各種算法的思維路徑，感受數的運算的有效性。在計算“2÷[2/3]”的說題中，鼓勵學生創新表達，把重點放在除以[2/3]是如何轉化為乘[3/2]的，感受轉化的有效性。

（四）選擇的靈活性

思想方法的靈活性旨在提高運算效率。如估算就是體現靈活性很好的方法，估算涉及理解數的大小、倍數關系和調整數字等能力，估算思想包括重組、轉換以及調整等。估算的過程往往不容易書寫，或者不用書寫，但是口頭表達是必要的，也很關鍵，因此，結合說題在估算中培養數感，恰如其分。例如，用估算教學“[7/16+10/19]”時，教師可以先提問：兩個加數具有什么共同特征？引導學生發現兩個加數都接近[1/2]。再啟發他們利用參照數進行合理估算。在將[1/2分別調整為與7/16和10/19]等分母或等分子的過程中，感受同分母看分子和同分子看分母的較為靈活的運算思想。

二、在數學說題中理解算理

（一）算理的內在結構

數學運算過程中所運用的數學知識是程序性知識［3］，主要表現為特定的數學運算方法和運算步驟，其背后有相應的數學知識和原理作為支撐。數學運算的過程是進行數學推理的過程［4］，即基于概念、性質、定律與法則，指向“為什么要這樣算”。例如，在小數乘法中，為什么可以先按照整數乘法進行計算再確定小數位數呢？學生在學習的過程中，需要明白其中的道理，掌握其算理的內在結構。教師可以把圖2中的方法①、方法②兩種方法結合起來，將乘除法相關定律與性質蘊含其中，這有利于學生理解小數乘法的算理。

（二）數學說題在理解算理中的關鍵作用

課時教學容易將單元整體結構割裂，難以形成知識的網狀結構。運算教學尤其如此，整數、分數、小數等相關知識與運算被安排在不同學段和不同年級。這樣的安排時間跨度大，基本算理的一致性很難得到關聯。數學說題正是為學生搭建了自主學習的平臺，他們可以通過說題將自己碎片化的認知整合起來，結合運算法則、運算律和運算性質等分析算理。如圖2中“0.8×0.3”的兩種表達方式，通過說題讓學生把每一步的算理說出來，可以強化理解，很好地實現對算理內在結構的構建。再如“只有計數單位相同的數才能直接相加減”，這是加減法的算理。無論是整數、小數、分數，都要根據此算理進行加減運算，體現了數的運算一致性。在書面練習中，很難將這些算理一一展示出來。而說題則彌補了這一缺憾，即學生在說題過程中，數學語言的表達過程要依據算理。因此，數學說題在理解算理中起著關鍵作用。

三、在數學說題中構建算法

選擇合理簡潔的運算方法決定了運算的繁簡程度。如何幫助學生選擇恰當的運算方法呢？ 數學說題開辟了一條新路徑，將傳統的“練”與新穎的“說”有機結合。為此，筆者結合數學說題如何突破運算中的常見問題作了一些討論。

（一）賦予意義辨明運算順序

教學中經常遇到類似“30-30×0.5=0”“25×4÷25×4=1”的計算錯誤。學生是憑著“感覺”計算的，湊整思想的干擾以及視覺效應上追求“方便”，導致了錯誤的產生。究其原因還是不明算理，不明白“四則混合運算時為什么要先算乘除，再算加減”“同一級運算時為什么要按照從左往右算”。

解決這樣的問題，可以通過學生說題，引導他們結合生活實際賦予算式一個意義，實現對運算順序的理解。如“糖果每千克30元，甲買了1千克，乙買了0.5千克，甲比乙多花了多少錢？”就可以很好地幫助學生理解“30-30×0.5”先乘后減的道理。

（二）優化思想開拓方法多樣化

在優化思想的指引下，開拓計算方法的多樣化可以引導學生在運算廣度上探尋，多層次、多角度地理解算理、構建算法。例如，“87+99”的計算（如圖3）。

在學生說題中呈現多種計算方法，可以引發他們在算法廣度上的思考，提升他們算法的構建水平。教學中可以結合說題讓學生在方法①中領會“只有計數單位相同的數才能相加減”和“滿十進一”的道理；在方法②中領會先分后合的道理；在方法③中領會“加多了減回去”的盈虧法則；在方法④中領會加法計算中“和不變”的道理。方法③和方法④還蘊含了“湊整”思想。這些道理和思想，恰恰是構建算法合理性的支柱，也是學生數感培養的基石。一個學生在說題中，可以促使其他學生“耳濡目染”，很好地將這些道理和方法進行放大。

（三）湊整思想指引簡便運算

簡便計算的本質是“湊整”。借助于說題可以有效促進學生對湊整的認識，強化湊整意識，落實湊整思想。例如，“13.23+11.98-3.23” “7 ×0.8 ×[1/7]×125”“999 × 888÷666÷444”等題型，在說題中，學生可以通過自己的語言去表達想法與做法，構建起屬于自己獨特的一套“理論”。在說題“13.23+11.98-3.23”時，學生會用到“消滅干凈”“剛好剩10”等說法；在說題“7 ×0.8 ×[17]×125”時，學生會用到“連乘”“找好朋友數”“鐵桿朋友”“剛好約掉”等說法；在說題“999 × 888÷666÷444”時，學生會用到“倍數關系”“共同因數”“數字特征”“轉化”等說法。這些個性化說法的使用過程，就是“湊整”思想的建立過程。

綜上，將說題應用于運算教學的關鍵之處，可以為理解算理和構建算法提供有效途徑，切實提升學生的運算能力。

參考文獻：

［1］鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［2］趙洪貴，吳立寶.小學數學有效說題框架與案例剖析［J］.天津師范大學學報（基礎教育版），2019，20（4）：36-39.

［3］喻平.數學核心素養的培養：知識分類視角［J］.教育理論與實踐，2018，38（17）：3-6．

［4］董林偉.傾聽學生的思考：例談運算能力及其培養途徑［J］.數學通報，2009，48（9）：13-16，20．