整體視角下的“圖形與幾何”單元復(fù)習(xí)課思考

陳霞

【摘? ?要】整體視角下的“圖形與幾何”單元復(fù)習(xí)，應(yīng)凸顯教學(xué)內(nèi)容的整體性、過程性、關(guān)聯(lián)性與延展性。教師圍繞“重組知識脈絡(luò)，整體把握由表及里；重構(gòu)學(xué)習(xí)素材，建立關(guān)系由此及彼；重設(shè)教學(xué)板塊，結(jié)構(gòu)思考由靜及動”展開教學(xué)實踐，以此幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化幾何體系。

【關(guān)鍵詞】整體視角；單元復(fù)習(xí)；認知結(jié)構(gòu)

單元復(fù)習(xí)課是指在學(xué)完一個單元的內(nèi)容以后，對所學(xué)內(nèi)容進行系統(tǒng)歸納、整體提升的課型。“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)的單元復(fù)習(xí)課，教師容易只關(guān)注學(xué)生是否能夠解決與靜態(tài)圖形相關(guān)的問題，而缺少對圖形之間的動態(tài)變換和結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)的關(guān)注。人教版教材六年級下冊“圓柱和圓錐”的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)，可以從整體視角入手，凸顯知識的整體性、過程性、關(guān)聯(lián)性和延展性。

一、重組知識脈絡(luò)，整體把握由表及里

設(shè)計單元復(fù)習(xí)教學(xué)，教師要關(guān)注單元核心內(nèi)容，以核心概念統(tǒng)領(lǐng)單元內(nèi)相關(guān)知識，引導(dǎo)學(xué)生對整個單元進行知識體系上的內(nèi)容重組。重組時可以“類”聚合，通過比較梳理知識點之間的共性和不同之處，自上而下構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，整體把握知識間的聯(lián)系，促進有效遷移應(yīng)用。

（一）歸類關(guān)聯(lián)，橫向拓寬

“圓柱與圓錐”單元是小學(xué)階段“圖形與幾何”新知學(xué)習(xí)最后的內(nèi)容。雖然這個單元只涉及圓柱和圓錐的特征、表面積和體積等知識點，但由于這個階段的學(xué)生已經(jīng)積累了很多“圖形與幾何”的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，所以教師在設(shè)置單元復(fù)習(xí)課教學(xué)目標時，增加了“歸類關(guān)聯(lián)、橫向拓寬”的目標。

長方體、圓柱和圓錐等立體圖形可以通過一個平面圖形“平移”或“旋轉(zhuǎn)”得到。教師在單元復(fù)習(xí)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、演示，將長、正方體與圓柱之間的聯(lián)系進一步擴展，以“平移”為核心順延補充三棱柱等柱體圖形，并聯(lián)系三棱柱、長方體、圓柱等，得出直柱體特征。同時在梳理直柱體側(cè)面積、體積計算公式的基礎(chǔ)上，歸納計算直柱體側(cè)面積的共同之處，從而完成單元知識的橫向聯(lián)結(jié)。（如表1）

重組知識脈絡(luò)，打通單元之間的壁壘，可以讓學(xué)生的視野從“狹義的單元”走向“廣義的單元”，在整體視角下跨課時、跨單元地建構(gòu)知識，由表及里，實現(xiàn)概念的深度理解。

（二）補點構(gòu)網(wǎng)，縱向延伸

為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，還要梳理數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的聯(lián)系。圓柱體積與圓錐體積之間關(guān)系的建立及運用是本單元核心內(nèi)容之一，但人教版教材對于兩者體積沒有進行明確關(guān)聯(lián)，也沒有編排相應(yīng)例題進行勾連提升。教材只在練習(xí)中安排了3道題目（如圖1），分別對應(yīng)圓柱與圓錐“等底等高”“等積等高”“等積等底”三種類型。題目用文字表述，缺少直觀表象，不能幫助學(xué)生抽象模型，不利于學(xué)生進行一般方法歸納及運用。

因此，教師結(jié)合教材練習(xí)，設(shè)計了一組習(xí)題，讓學(xué)生在觀察、分析、解決問題的過程中感悟圓柱體積與圓錐體積之間的關(guān)系。重構(gòu)后的練習(xí)如圖2所示。

重構(gòu)后的練習(xí)有三重變化：（1）變原有的表述方式，增加圖形呈現(xiàn)，讓學(xué)生利用直觀圖式進行想象、推理；（2）變原來的呈現(xiàn)方式，將原題中各自獨立呈現(xiàn)的內(nèi)容綜合到題組中，讓學(xué)生的思維由散點走向結(jié)構(gòu)；（3）變原題的反饋路徑，因為原題中的問題依次呈現(xiàn)，所以反饋基本呈線性展開，重構(gòu)后的習(xí)題可根據(jù)學(xué)生交流過程中的開放式生成進行概括和歸納。

依據(jù)學(xué)生的認知特征和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對單元內(nèi)容進行補點串聯(lián)，增減刪補，改進相應(yīng)內(nèi)容，更有助于學(xué)生通過圖式表征、空間想象、邏輯推理等途徑發(fā)展核心素養(yǎng)。

二、重構(gòu)學(xué)習(xí)素材，建立關(guān)系由此及彼

結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料能幫助學(xué)生用聯(lián)系的眼光理解知識點，建立知識結(jié)構(gòu)、思想方法的關(guān)聯(lián)。學(xué)習(xí)材料的典型性、適切性、新穎性直接關(guān)系到復(fù)習(xí)的有效性。

（一）數(shù)形互化類題目，助力學(xué)生建立圖形關(guān)聯(lián)

理解圓柱和圓錐的關(guān)系，是單元目標之一。若教師過分關(guān)注結(jié)論，則會導(dǎo)致教學(xué)難以觸及概念的本質(zhì)?？赏ㄟ^設(shè)計數(shù)形互化類題目，幫助學(xué)生感悟“等底等高”“等積等底”“等積等高”等類型中圓柱與圓錐之間的關(guān)系。如圖3所示的綜合性習(xí)題就是復(fù)習(xí)課中的好題目。

這樣的練習(xí)，既關(guān)注了知識形成的推理過程，又重視了結(jié)論的運用反饋。在幫助學(xué)生鞏固知識和技能的同時，引導(dǎo)他們溝通了長、正方體與圓柱、圓錐之間的關(guān)系。在計算體積時，大多數(shù)學(xué)生喜歡直接根據(jù)高和底面積應(yīng)用公式求解。在上述要求不計算找出體積相等的圖形的練習(xí)中，學(xué)生需要通過觀察、比較、分析，體會不同圖形的高、底面積和體積之間的關(guān)系，這是學(xué)生發(fā)展幾何直觀，建立空間想象能力的過程，也是他們提升核心素養(yǎng)的重要途徑。

（二）多元呈現(xiàn)方式，推進學(xué)生高階思維發(fā)展

學(xué)習(xí)素材承載著激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，助力其理解過程與結(jié)果之間的關(guān)系，形成知識技能和提升數(shù)學(xué)思想方法等價值。圖4中的題目，引導(dǎo)學(xué)生將注意力從具體的方法轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)換思想上，旨在提升學(xué)生分析問題、綜合判斷、創(chuàng)造性解決問題等能力。

這組習(xí)題既可以根據(jù)具體的數(shù)據(jù)進行運算解決問題，也可以通過圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化，不同的學(xué)生會有不同的理解和解題策略。通過對不同解題思路的比較，學(xué)生對轉(zhuǎn)化的策略會有更為深刻的理解，進一步提升對圖形間關(guān)系的感悟。

三、重設(shè)教學(xué)板塊，結(jié)構(gòu)思考由靜及動

改進課堂教學(xué)方式，以“核心問題”統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，可有效促進學(xué)生對知識的融會貫通。

（一）以知識建構(gòu)為主線，任務(wù)式驅(qū)動

“圖形與幾何”領(lǐng)域分為“圖形認識與測量”和“圖形位置與運動”兩個主題，兩個主題之間相互關(guān)聯(lián)，緊密交織。教師基于立體圖形的特性，改變復(fù)習(xí)教學(xué)常見用的思維導(dǎo)圖整理和表格羅列等形式，以“平移”“旋轉(zhuǎn)”等運動方式構(gòu)建教學(xué)主線任務(wù)，由面及體，由靜及動，由單一到綜合，整合圖形與幾何各板塊之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生在想象中豐富對圖形特征的認識。具體任務(wù)內(nèi)容與目標如圖5。

通過子任務(wù)的層層推進，幫助學(xué)生感知圖形特征，拓寬對直柱體的側(cè)面積、體積的認識，形成知識聯(lián)系，具體如圖6。

（二）以思想方法為關(guān)聯(lián)，板塊式推進

好的學(xué)習(xí)任務(wù)能驅(qū)動學(xué)生在知識間建立聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。圓柱的側(cè)面積、表面積、體積計算及靈活運用數(shù)量關(guān)系解決問題是本單元的核心內(nèi)容之一。由于這些核心內(nèi)容知識點、技能點多而散，因此學(xué)生對圖形的體積之間關(guān)系的理解往往只停留在實驗水平。在教學(xué)設(shè)計時，可以用學(xué)習(xí)任務(wù)整體推進，改變一題講一法的弊端，將相關(guān)知識融入到問題解決的過程中，促進學(xué)生的發(fā)展，具體任務(wù)與目標如圖7。

在對側(cè)面積、體積的知識進行整理時，教師設(shè)計了借用長方形紙，采用不同形式形成三組有關(guān)聯(lián)的圓柱的內(nèi)容，讓學(xué)生在計算側(cè)面積、表面積及體積的過程中，感悟它們之間的聯(lián)系。學(xué)生通過具體計算感悟到，側(cè)面積相等的圓柱，底面半徑越大，體積越大的共性。從而發(fā)現(xiàn)側(cè)面積相等的圓柱，當(dāng)半徑比是1∶2時，體積之比也是1∶2的規(guī)律。教師進一步引發(fā)學(xué)生猜想：如果圓柱側(cè)面積相等，那么它們的體積比等于半徑比嗎？由此引導(dǎo)學(xué)生進行推理，實現(xiàn)從計算到推理再到得出一般結(jié)論的學(xué)法遷移。具體內(nèi)容如圖8。

算一算，每組圓柱的側(cè)面積和體積（π≈3）。

總之，實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。因此，單元復(fù)習(xí)課不應(yīng)是單元知識散點教、練習(xí)重復(fù)做，而應(yīng)凸顯知識的整體性、過程性、關(guān)聯(lián)性、延展性，并據(jù)此展開教學(xué)。“圖形與幾何”的單元復(fù)習(xí)，需要關(guān)注整個小學(xué)階段的“圖形與幾何”教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注知識間的聯(lián)系，加強知識間的統(tǒng)整，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化幾何體系。整體視角下的復(fù)習(xí)課教學(xué)，理應(yīng)是回歸數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的教學(xué)，是讓學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與認知結(jié)構(gòu)和諧共長的教學(xué)。

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