基于比較　用好教材　助力發展

鄭玉琴

【摘? ?要】教材是重要的教學資源。以三個版本教材中“商不變性質”的相關內容為基礎，結合對比分析與實證研究，發現：豐富多彩、適度開放的情境有利于學生抽象出數學問題；舉例驗證過程的完整性有利于學生提高推理能力；對觀察順序等具體問題進行引導有利于學生進行數學表達。

【關鍵詞】商不變性質；教材比較；實證研究

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）提出的“三會”核心素養，為數學課程實施指明了方向。但實際教學中，教材是教學活動中最重要的基礎資源，在“新教材”出版前，如何用好現有教材體現新課標理念，是教師在當下要重點關注和研究的內容。

一、比較教材異同，提出研究問題

小學數學中有很多規律性知識的學習內容。如運算定律和性質、整除的特征和規律等。“商不變性質”是規律性知識的典型內容，在國內各個版本教材中，通常都安排在“三位數除以兩位數的除法”單元。本文選擇了較有代表性的三個版本教材（以下分別稱為A版、B版、C版）進行比較，發現不同版本教材在呈現本節課內容時整體的編排思路基本一致，都是引入新課后，讓學生通過對典型例子的觀察得到猜想，并舉例驗證，然后概括出商不變的規律。但不同版本教材在引入新課、探索規律與總結規律時的呈現方式均有所不同。

（一）結合引入方式提出研究問題

引入新課時，A版、B版采用了數學情境引入的方式，直接呈現除法算式；C版則從汽車行駛速度不變、路程隨時間改變而改變的生活情境引入。在本節課中，采用數學情境引入與采用生活情境引入對學生的學習興趣會有影響嗎？生活情境是否比數學情境更有利于學生抽象出數學問題？

（二）結合數據呈現方式及數據本身提出研究問題

三個版本教材呈現數據的方式與具體的數據各不相同。A版用一組豎著排列的除法算式呈現數據，被除數和除數依次乘整十、整百、整千（如圖1）；B版用一張表格呈現除法算式，被除數和除數依次乘除2和4（如圖2）；C版先通過情境呈現被除數、除數擴大至3倍、6倍后的數據（如圖3），再讓學生自己“寫幾個含有乘數3的乘法算式，并把每個乘法算式改寫成商是3的除法算式”。

從以上內容中可以看出，各版本教材問題開放度的差異較大。A版直接呈現了一個大問題“你發現了什么規律”引導學生思考；B版采用了相對比較具體的“被除數和除數怎樣變化，商怎樣變化，你有什么發現”引導學生思考；C版先說明被除數和除數都變了但商不變，然后用問題“被除數和除數的變化有什么規律”引導學生展開探索。

以上三個版本教材，教師會更喜歡哪一個版本的編寫方式？為什么喜歡？數據與數據的呈現方式會對學生探索商不變性質產生影響嗎？學生經歷探索過程以后，會怎樣概括商不變性質？他們會自發地關注到0嗎？怎樣的內容更有利于學生的歸納、推理、表達？他們如何表達發現的規律？這些問題都值得深入研究與思考。

二、展開實證研究，分析研究結果

基于對教材比較分析后的思考，筆者選取部分問題，有針對性地在師生中進行了實證調研。

（一）教師調研的結果

在一次教研活動中，請43位教師用20分鐘時間獨立分析三個版本教材特點后，選擇出三個版本中自己最喜歡的一套教材，并說一說喜歡的理由。教師選擇的結果如表1。

有60.4%的教師最喜歡C版。他們的理由是：（1）這版教材更開放，學生自己寫算式，更容易發現和理解商不變性質；（2）學生可以從多角度探索商不變的規律，探究的空間更大，更適合學生合作學習；（3）學習素材源于學生，用于課堂，更具真實性，學生的研究興趣也會提高。

有32.6%的教師最喜歡A版。他們的理由是：（1）教學素材簡單明了，引入直接，干擾較少，學生更容易通過觀察數據發現規律；（2）豎著排列的一組算式可以直觀地引導學生從上往下看和從下往上看，更有利于學生表達被除數和除數的變化規律。

選擇B版的3位教師認為，互逆的乘除算式同時呈現更有利于學生進行知識的遷移，表格式呈現方式讓數據更直觀，學生會更喜歡。

調查可見，C版更受教師歡迎。但這個版本的教材真的利于學生發現、理解和概括商不變性質嗎？教師的喜好與學生實際學習的情況是否一致？為了更精準地了解學情，有必要對學生進行測查，以了解學生的真實情況。

（二）對學生的測試及分析

2021年9月10日，筆者對不知道商不變性質的129名四年級學生進行了測試。測試方式為將學生分為三組，每組43人，請三組學生用20分鐘的時間分別自學三個版本教材，第一組自學A版，第二組自學B版，第三組自學C版，然后對學生的自學情況進行測試。測試后，用回答問題的方式對測試結果進行分析。

1.怎樣的情境更利于學生的數學抽象？

能根據數據發現規律，體現的是數學抽象的能力。不同的引入情境，學生發現規律的水平會有差異嗎？生活情境和數學情境到底哪種情境更利于學生發現和概括商不變性質呢？我們可以根據學生通過自學是否能關注到被除數、除數、商的變化，能否發現其變化的規律尋找答案。

學生自主發現規律的水平可以劃分為四個層次。測試結果如表2。

從表2的數據中可以發現，自學C版后能夠抽象出數學問題、發現商不變性質的學生，其占比是三個版本教材中最少的。由此，可以獲得很多啟示。首先，在教師調研中，選擇C版的教師人數是最多的，而使用C版自學后，能自主發現規律的學生人數卻是最少的。這說明，教師的喜好與學生的實際學習效果未必一致，做實證研究很有必要。其次，C版從生活情境引入教學，但調研結果顯示，情境并沒有起到助力學生學習的作用。這說明，雖然引導學生用數學的眼光觀察現實生活是教師的教學目標，但教學所提供的生活情境必須是貼近學生、為學生所熟悉的。最后，C版讓學生自己提供學習素材的想法是很好的，但受經驗和能力的限制，學生很難提供適合本內容后繼學習所需的素材，所以不一定是最好的學習方式。這說明，太開放的素材很可能反而不利于學生發現規律。

結合A版和B版的測試結果可知，在學習“商不變性質”時，提供有明顯倍數關系的數據（如A版），或呈現的數據存在豐富的倍數關系（如B版），都更利于學生觀察、比較，從而在情境中抽象出數學問題。

2.哪些因素會影響學生的數學推理？

“三會”中的數學思維主要聚焦于推理，即能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系。學習“商不變性質”這一內容，學生要通過運算、觀察比較、提出猜想、舉例驗證等一系列探究活動得到結論。哪些因素會影響學生對商不變性質的探索？怎樣的引導過程有利于學生進行推理？我們可以繼續在測試數據中尋找答案。

（1）數據特征對學生是否能發現規律有顯著影響

從教材比較得知，A版呈現的數據中，被除數和除數是按照整十、整百、整千擴大的。自學A版的學生在發現和概括規律時，有60%用“增加1個0”“多幾個0”等語言來表達被除數和除數的變化。B版呈現的數據是按2倍、4倍擴大的，且乘、除同時可見。自學B版的學生在概括規律時，有16.7%能將規律規范地表達為“被除數、除數乘幾或除以幾，商不變”，是三組中能規范表達規律的學生占比最多的一組。C版要求學生自己提供數據，這導致只有18.6%的學生寫出的除法算式組容易看出倍數關系，另外81.4%的學生都是按順序寫除法算式，很難發現被除數之間或除數之間的倍數關系。因此在表達規律時，有37.2%的學生寫的是“被除數都是三個三個大起來，除數都是一個一個大起來”或“被除數一直加3，除數一直加1”。可見數據特征對學生是否能發現規律有顯著影響。

（2）觀察順序是否有引導對學生的探究有顯著影響

A版呈現了觀察順序的引導語“從上往下觀察”和“從下往上觀察”，B版和C版沒有觀察順序的引導。因此在表達規律時提及有序觀察的學生人數差異較大。測查結果如表3。

觀察是推理的基礎。以上數據表明，有無觀察順序的引導，會顯著影響學生探究規律的結果。這一結果還提醒教師，在呈現學習素材時，看起來微不足道的因素或許會對學生的探索活動產生較大的影響，這必須引起教材編寫者、教材使用者的共同重視。比如，本內容中數據特征、觀察順序的引導，會影響學生的觀察和探究活動。有了豐富的數據，以及直觀提示和引導，學生就更容易進行觀察比較和規律概括。

3.怎樣的呈現方式更利于學生表達規律？

新課標中的數學語言主要表現之一為模型意識或模型觀念。學生要逐步學會用數學語言表達現實世界中的數量關系、規律及性質，并解釋表達的合理性。學生學習“商不變性質”這一內容，要嘗試用語言概括被除數、除數與商之間的關系。那么怎樣的呈現方式更利于學生的語言表達呢？

（1）學生表達能力測試結果分析

要清晰地分析學生用語言表達商不變性質的水平，需先建立水平分析框架。筆者根據書面語言表達的準確性、完整性和規范性三個方面，建立了學生表達商不變性質的水平框架（如表4）。

根據以上得分標準，學生自學各版教材后，用語言表達商不變性質的水平如表5。

從以上測查可以看出，三個版本教材中，C版得分為0的學生最多，共有13人（占30.2%），B版最少。并且只有使用B版自學的學生中有3人（占7.0%）得到了最高（5分）的分數。對比表5和表2可以發現，學生的抽象水平與語言表達水平并不完全一致。如A版有3人的抽象水平到了最高層次，但表達水平均沒有到達最高層次；B版有7人的抽象水平到了最高層次，而表達水平只有3人到了最高層次。總體上，學生表現出的語言表達能力不及抽象概括能力。

（2）學生表達能力差異的歸因分析

①教材中呈現的“被除數、除數和商”，會成為學生概括規律時的語言表達支架。在三個版本教材中，A版沒有提到除法算式的名稱，B版清楚地呈現了除法算式的三部分名稱，C版只提到“商”這個名稱。測查發現，學生使用三版教材自學后，其表達能力與教材呈現的清晰程度之間呈正相關。由此可知，學習素材中出現“被除數、除數和商”這樣的名稱，有助于學生用語言表達商不變性質。

②呈現具體的引導語對學生的語言表達有明顯的提升作用。學生自學教材，寫好自己發現的規律后，教師增加了“被除數和除數怎么變，商不會變？如果你有新的發現，請在旁邊重新寫一寫”這樣有針對性的引導語，使學生的表達獲得了較大進步。其中使用A版自學的學生進步最大，有將近一半的學生能寫出較高層次的規律。

三、回顧研究過程，思考教學啟示

隨著新課程改革的深入，很多教師在教學研究時都會采用實證研究，通過問卷、訪談等方式對學生進行測查。但是，如果在實證之前沒有對教材文本進行深入的比較和分析，沒有確定實證的目標和具體問題，往往會走很多彎路。本研究先對教材內容進行遴選，找到適合研究的內容，并對商不變性質這一內容的所有教材進行查閱，找出有代表性的三個版本教材，對它們的文本進行對比分析，找到研究問題后，才開始進行實證研究，并通過實證得到以下教學啟示。

（一）豐富多彩、適度開放的情境有利于學生抽象出數學問題

三個版本教材提供的情境的開放度不同、呈現的數據不同，這些都會影響學生發現和概括規律。新課程改革以來，我們一直推崇讓學生在較開放的空間中獨立進行探究，從教師對教材的喜好程度中也可以看出，約60%的教師喜歡開放的素材。但是測查發現，過于開放、沒有針對性的數據不利于學生發現、概括和表達商不變性質。因此，教師在選擇情境時，需要根據新知識的特點，在了解學生真實認知水平和學習經驗的基礎上，選擇恰當的、豐富的素材進行教學，以提高教學的效率。

（二）舉例驗證過程的完整性有利于學生提高推理能力

從測查中發現，在129名被測學生中，沒有一名學生在表達規律時提到“0除外”。對于這一難點，教師教學時可不要求學生自主概括，但應該在教學過程中自然引出“乘0”或“除以0”，以便學生關注到這一特例。比如，在舉例驗證時，可以提問“乘的數或除以的數最小可以是什么數”，引出0以后，再引導學生討論、理解為什么同時乘或除以的數要把“0除外”，把商不變性質補充完整。

（三）對觀察順序等具體問題進行引導有利于學生進行數學表達

從測查中發現，在學生通過觀察一組除法算式發現規律時，只有極少數的學生（A版只占8.5%，B版占16.7%，C版沒有）能從整體關注除法算式的變化，說明學生整體觀察一組算式的學習經驗較少，能用準確、規范、完整的語言表達商不變性質的學生更少。因此，教師在教學規律性知識的內容時應引導學生理解，找規律就是找變中的不變，并對觀察方法進行指導，如“橫著看，豎著看”“從上往下看、從下往上看”“從左往右看、從右往左看”等，讓學生積累觀察的經驗以及用語言描述規律的經驗。

無論是對文本進行比較與分析，還是對學生展開全面的測查，最終的目的都是有效促進學生的發展。在完成文本比較和實證之后，教師要對教學目標、重難點作出一些調整，選擇更利于學生學習的素材進行教學，從而提高課堂學習效率。本文受篇幅限制，對教學設計不再展開敘述。但實證的數據必定是教學設計的重要基礎。

參考文獻：

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（浙江省杭州市臨安區晨曦小學）