追求“原理一致性”的乘法分配律教學思考與實踐

楊海榮

【摘? ?要】在“運算定律”教學中存在“學生簡算技能熟練而簡算意識淡薄”的問題。以“乘法分配律”的教學為例，通過“對過往教學的反思”和“對數學原理一致性的分析”，構建乘法分配律“原理一致性”的結構關聯路線，將乘法分配律置于“數與運算”主題的大結構中進行整體考量、整體設計與推進教學，引導學生在結構關聯中體驗與感悟乘法分配律的本質，從而達成對“數與運算”主題原理一致性的深刻理解。

【關鍵詞】原理一致性；乘法分配律；結構關聯

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）注重內容主題的結構化整合，倡導在“把握學習內容整體性”的前提下，引導學生理解“數學原理的一致性”，促進學生核心素養的落地?！?022年版課標》對“運算能力”作了明確的內涵界定：運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。主要表現為：（1）能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；（2）能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；（3）能夠通過運算促進數學推理能力的發展。

就學習內容而言，“數與運算”主題的基本原理及其結構，亦規定了算理的剛性（即原理一致性），且允許算法有彈性（即算法多樣化與合理簡潔）。算理剛性與算法彈性體現了數學學科特質，也符合人類追求簡潔的天性。如果不能深刻地理解原理的一致性，那么算法多樣化的追求就會失去依托，靈活、合理、簡潔的運算追求也會缺少邏輯前提。

長期以來，“數與運算”主題的教學雖然強調“在理解算理的基礎上掌握算法”，但各內容板塊間的算理解釋始終處于各自為政的孤立狀態，缺乏原理一致性的本質關聯。特別是運算定律，教師通常將其作為獨立的內容進行教學，缺少與其他運算內容的關聯，造成普遍的“學生簡便計算的技能熟練，而主動應用運算定律進行簡便計算的意識淡薄”的現狀。筆者自2016年開始專注于單元整體教學的實踐與研究，試圖以“原理一致性的追求”對現狀作出改變。本文以“乘法分配律”的教學為例，簡要介紹相關思考與做法。

一、對過往教學的反思

伴隨課程改革的進程，乘法分配律的教學也經歷了不斷變化與發展的過程。該過程基本呈現了兩種主要的教學事實：一是指向知識與技能的落實；二是側重于概念的理解。具體流程大致如下。

教學事實一：指向知識與技能的落實

1.初步感知：通過計算，引導學生發現規律。

教師呈現算式：5×（4+3）、5×4+5×3。

發現：兩式結果相等，可用等號連接。5×（4+3）=5×4+5×3。

文字表述：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。

2.舉例并驗證：學生舉例后，發現同類例子有無數個。

3.歸納模型：請學生用一個式子表示所有例子。

字母表達式：（a+b）c=a×c+b×c

4.結論：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。這叫作乘法分配律。

5.練習：匹配相應的技能訓練。

教學事實二：側重于概念的理解

1.解決問題：要求用不同的方法解決。

教師出示情境，如購物：鉛筆每支5元，小明買4支，小紅買3支。兩人一共花了多少元？

學生給出2種方法：

方法1：5×（4+3）=5×7=35（元）。方法2：5×4+5×3=20+15=35（元）。

發現：結果相等，可用等號連接。5×（4+3）=5×4+5×3。

文字表述：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。

2.理解內涵：為什么結果相等？

結合情境解釋：可以先算鉛筆支數，再算錢數；也可以先分別算小明和小紅的錢數，再相加。算的都是7支鉛筆的錢數，所以結果相等。

用乘法意義解釋：5×（4+3）表示7個5是多少；5×4+5×3表示4個5加3個5，也是7個5。意義相同，所以結果相等。

結合圖式輔助理解。

3.結論：因為意義相同，所以結果相等。

4.練習與應用：匹配相應的技能訓練和解決簡單實際問題。

顯然，兩者相比較，“教學事實二”中的教學更符合乘法分配律的本質，但因區域和教師個人差異等事實，這兩種方式目前還普遍并存于課堂教學之中。

針對這種教學事實，筆者對采用“教學事實二”進行教學的班級，在學生學習一個月后進行后測。基本情況如下。

后測試題：請計算下列各題。

36×34＋36×66? ?（4＋8）×25

學生解答典型作品：如36×34＋36×66=1224＋2376=3600；（4＋8）×25=12×25=300。

全班43人，僅1人主動運用乘法分配律進行簡便計算，占比2.3%。

教師訪談：“此題你會用運算定律進行簡便計算嗎？”

生：用是會用的，只是、只是……（支吾不作答）

教師追問：既然會用，那為什么不用呢？

生：沒想到。

生：題目中沒有要求。

生：老師也沒有要求。

生：如果有要求，我肯定就用了。

從對學生的后測與分析中得出，即使是使用“教學事實二”的教學，學生的學習效果也并不理想。主要表現為：學生簡便運算的技能并不生疏，但主動應用運算律進行靈活運算的意識淡薄。有相當部分的學生運算結果正確，但沒有運用運算律進行合理靈活的運算。對他們的訪談更能說明問題。

學生的問題來源于教學失當?！笆聦嵰弧钡慕虒W忽視了概念內涵的理解，將乘法分配律的學習視為“公式記憶”及“技能操練”；“事實二”雖然重視概念本質的理解，但缺少與其相關聯的上位概念的結構關聯，以致學習陷于孤立狀態。

這表明教師對乘法分配律的認識及教學呈現表層化、碎片化的特點。具體原因有三方面。

第一，就知識屬性而言，教師將乘法分配律理解為“規則”，而非“法則”。規則屬于人為的規定，具有主觀性。法則屬于自然規律，具有客觀性，必須明理。很明顯，乘法分配律是“法則”，如若將其視作規則，則教學實施必然以記憶與操練為主導。

第二，就學習方式而言，教師將乘法分配律定位為“上位學習”，而非“下位學習”。上位學習是指在認知結構中已經形成幾個觀念的基礎上，學習一個更概括的、包攝性更高的命題時所發生的學習。下位學習是指當原有的觀念在包攝和概括水平上高于新學習的命題（即新舊知識構成類屬關系）時所發生的學習。因此，應將乘法分配律定位成“下位學習”，若反之，就可能將乘法分配律作為獨立的內容展開教學，割斷其與原有知識結構的聯系。

第三，就教學目標定位而言，教師缺少整體把握。課時目標的定位必須置于目標結構（課程目標—主題目標—單元目標—課時目標）中整體考量，才能確保乘法分配律在“數與運算”主題中的地位，明確其承擔的義務和責任，進而明晰其教學價值。

綜上所述，教師的這些認知偏差，必然造成對課時目標定位的模糊不清，進而導致教學實施的失利。

二、對數學原理一致性的分析

教師對教學的追求往往“求于術而止于道”，表現為教學中忽視課程目標的長期滲透與落實，對學科的教育、教學的價值缺少最一般的理解和更上位的追求，對學科的基本結構缺少整體的把握。顯然，乘法分配律學習的首要目標是理解定律內涵、靈活選擇合理的算法，掌握運算技能次之。乘法分配律教學要依托學科知識結構，整體建構教學，引導學生感悟內容的整體關聯和方法的持續遷移，理解運算原理一致性。

為體現“數學原理一致性”，教師需要在大尺度結構中整體考量，從不同教學內容中提煉核心概念、核心問題，確立教學目標（如表1）。

“核心概念”統攝主題內容，體現運算原理的一致性，即算法剛性。教師要引導學生明白所有內容的算理是一致的，即本質相同。“核心問題”驅動學習方式遷移，體現運算意義與價值。教師要引導學生明白運算背景變化后，算法需要作出相應改變，算法是一個不斷優化計數方法的過程。在大尺度結構中整體定位目標，形成目標進階序列。在把握“內容整體性”的基礎上，理解“原理一致性”，構建起學科基本原理間的本質關聯，促進學生良好思維結構的形成。

由表1的結構關聯路線分析可見：“一位數的意義”是原理起點；“加法運算意義”是“數的意義”和“數的運算”原理一致性的連接點；“運算定律”是運算的特殊狀態，是原理的階段性終點。“運算定律”中“乘法分配律”的學習必定基于源頭“數的意義”及整體結構的理解與把握。

三、教學對策討論

（一）基本教學思路

根據乘法分配律在大結構中的地位與價值，在整體結構中準確定位其目標后，可確立教學的基本思路：引導學生在整體結構中體驗乘法分配律，建立概念間的本質關聯（如圖1）。

（二）教學需要思考的基本問題

1.乘法分配律是什么？

所謂“運算順序”是一種混合運算的法則，可分為兩個維度：一般法則與特殊法則。一般法則即同級運算與兩級運算的順序。特殊法則即運算定律。乘法分配律的表象是改變了一般法則（四則混合運算的順序），但本質與運算的意義、數的意義相同。教學的關鍵在于構建與原有認知結構的本質關聯，搭建特殊法則與一般法則間的通道。

2.為什么可以改變運算順序？

改變運算順序的前提是保證運算意義不變。教師需要讓學生認識到：意義不變，則結果必然相等；意義變化，則結果必然不等。

3.乘法分配律有什么用？

運用乘法分配律一定能讓運算簡便嗎？在具體的運算背景（運算數據）下，討論三種狀態：用與不用無所謂、用了能簡便、用了反而麻煩。教師引導學生區分乘法分配律的運用背景，體驗并辯證認知乘法分配律的價值，養成主動運用運算定律進行合理運算的習慣，提升數學運算能力。

（三）整體教學推進過程

教師要整體設計系列體驗活動。具體課時的劃分，視學生的學習起點與達成情況而定。

【教學活動1】再現原有認知結構，給出一般法則。

1.給出結構性學習材料。

①25×3+25×17? ②25×3+22×17

③25×4+25×10? ④25×（20+2）? ⑤25×（3+7）

2.請學生口述運算的順序，教師直接呈現運算過程。

3.小結：根據一般法則，兩級運算中，①②③先算乘法，④⑤先算括號內的。

【教學活動2】理解乘法分配律的內涵，建立一般法則與特殊法則間的本質關聯。

1.設置挑戰性大任務。能否在保證運算結果不變的前提下，改變上述①②③④⑤各題的運算順序？并說明理由。

2.學生自主嘗試計算。發現：①③④⑤改變運算順序后，結果不變，②無法實現。整體呈現運算過程如下：

3.思辨明理。以④25×（20+2）為例，交流學生作品（如圖2）。

學生作品表征形式不同，但本質相同，即都用乘法的意義解釋了特殊法則與一般法則的本質關聯。先乘再加：20個25與2個25的和是22個25；先加再乘：（20+2）個25，也就是22個25。意義相同，改變運算順序后結果一定相同。

4.第①③⑤題同上。同桌之間說明理由。

5.揭示概念。給出乘法分配律的名稱、文字描述及字母表達式。引導學生理解兩種不同的運算順序，只要保證運算意義相同，結果必然相等。

【教學活動3】區分運算對象（數據背景），體驗乘法分配律的適用性與價值

1.對比反思，感受適用性。

師：為什么②25×3+22×17不能改變運算順序？

生：這里一個是25×3，一個是22×17，沒有共同的因數。

生：一個是3個25，一個是17個22，不能像前面一樣加起來。

生：肯定要有一個相同的因數。

學生感受到，乘法分配律并不能適用于所有的運算背景，只有在特定的數據場景下才能運用，即有相同的因數，才符合乘法意義。

2.對比反思，體驗價值。

教師提問：“既然用一般規則即能計算出結果，為什么還要學乘法分配律？”

學生對比后認為，應用乘法分配律可使計算更加簡單。如25×3+25×17，先算加法，可使3和17湊整。25×（20+2）先算乘法，25×20=500，25×2=50，可2次分別湊整。

教師進一步追問：“運用乘法分配律一定能使計算簡便嗎？”

學生對比后認為，不一定。如25×4+25×10、25×（3+7）按一般法則計算更簡便。

3.歸納提煉，養成意識。

教師提問：“你覺得乘法分配律的使用，需要滿足什么條件？”

學生達成共識：先觀察數據結構，判斷是否符合乘法意義，看能否運用分配律；再根據數據特點，看是否能使計算簡便；最后決定采用怎樣的運算策略，逐步養成簡便運算的意識（如圖3）。

【教學活動4】建構與解構，熟練簡便運算技能。

學生通過對運算對象的自主變換，進一步深入理解乘法分配律的內涵，厘清外延；把握概念的結構關聯，在整體認知中逐步養成簡便運算的意識，并形成相關技能。

教師可設計如下建構與解構的系列活動。

（1）建構1：創造1道應用乘法分配律后能簡便計算的題目。

（2）建構2：創造1道應用乘法分配律后“看似能簡便計算，實際不能”的題目。

（3）解構1：將不能簡便計算的題目，改為能簡便的。

（4）解構2：將能簡便計算的題目，改為不能簡便的。

【教學活動5】結構關聯，把握內容的整體性，理解數學原理一致性。

學生回顧已學知識，進行縱向關聯，整體把握學習內容（如圖4）。

通過對比，學生明白了乘法分配律的內涵。事實上，前面學習中已經大量應用了乘法分配律，只是沒有給出名稱而已，其原理是一致的。

運算能力的提升是一個長期累積的過程，不是一蹴而就的。特別是合理、靈活的運算意識，需要學生不斷的體驗與感悟，由內部生發而成，不能依賴外部強制輸入。利用原理一致性，結構化的遞進體驗，是一種比較有效的解決策略。這種原理一致性由此及彼，可推及其他運算內容的教學。