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回首“對折”,促相等與垂直并行進階

2023-02-16 01:42:29金奎
教學月刊·小學數學 2023年2期

金奎

【摘? ?要】“對折”是軸對稱學習的起始方式,概念進階就是對應點的連線被對稱軸垂直平分。由于學生受“相等”的定格影響,往往難以發現“垂直”的關鍵作用。教學圍繞“暴露‘一樣到‘重合的認知沖突;適配‘折到‘不折的心理跨越;挖掘‘相等并‘垂直的完整內涵;重建‘定性到‘定量的原理閉環”,從而實現相等與垂直并行進階。

【關鍵詞】對折;定性;定量;相等;垂直

從圖形的運動角度看,平移、旋轉運動都是一個圖形在圖形所在平面上的二維運動(滑動、轉動)。軸對稱運動有別于平移、旋轉運動,它是一個圖形上的任意一點都以對稱軸上相應的點為圓心,向圖形所在平面外做了180°的圓周運動?;厥住皩φ邸保S對稱運動的概念需進階為對應點的連線被對稱軸垂直平分。

“對折”顯見“平分”而難現“垂直”,如何實現相等與垂直并行進階?

一、暴露“一樣”到“重合”的認知沖突

二年級“認識軸對稱圖形”教學,旨在讓學生感知生活中的對稱現象,通過觀察、剪一剪的操作到感悟“軸對稱”的數學化過程,側重對圖形的整體感知。這時軸對稱教學中涉及的運動常為最直觀的做法:對折。

學生的經驗來自于“完全一樣”,他們認為擁有兩部分完全一樣的圖形即可稱為軸對稱圖形。此時的學生只能給出軸對稱圖形的主要特征,但無法利用現有的語言體系高度概括出軸對稱圖形的概念。教師利用一幅呈現同一朝向的兩只鴨子的圖片制造認知沖突:這幅圖左右兩部分也是完全一樣的,它是軸對稱圖形嗎?由此觸發學生的“對折”思維,打破“完全一樣”給概念理解帶來的認知不完整性的影響。學生在活動中感悟得出“對折后完全重合”的圖形才能被判定為軸對稱圖形(如圖1),同時理解和明確“折痕”即對稱軸,并感悟“對折”對于軸對稱的重要意義。

“動”的經驗可以給“想”帶來無限的空間,學生經歷了大量“對折”的操作活動后,能形成幾何變換的初始概念。他們不僅有了圖形對稱的直覺,也有了圖形會動的直覺,那些在作業本上、屏幕上的圖形雖不能進行具體的操作,卻可以在腦海中“折”。然而,此時學生只是把圖形的重合理解成面的相等,不會認識到是點到點距離的相等。

二、適配“對折”到“不折”的心理跨越

四年級《軸對稱》教學,是在對折的基礎之上進一步滲透軸對稱的性質,注重思想和方法的感悟。教師要引導學生在“不折”的前提下找到并能標準地畫出軸對稱圖形的對稱軸,發現軸對稱的特點:對應點的連線與對稱軸垂直并被對稱軸平分。最后,利用性質驗證“對折”操作為什么能判定圖形是否為軸對稱圖形,達到反哺的效果(如圖2)。

然而,當教師提問:你是怎么找到對稱軸的?不少學生還是回答“因為對折后完全重合”,思維依舊停留在二年級水平。根據范希爾理論中的進階性,學生幾何思維水平的提升是由教學決定的,而不是隨年齡成長或心理成熟自然而然發生的。學生在理解“軸對稱”概念的進階過程中表現出思維的不連續性,也就說明從“折”到“不折”兩個水平的過渡不是自然的,而是一個“跨越”的過程。當教學高于學生的思維層次時,必定導致學生無法理解,即產生不適配性。為了適配,教師應設計教學環節讓學生經歷從動手操作到心理操作(想象)的過程,為學生“跨越”助一臂之力。

【片段1】

教師出示圖3。

教師提問:這些是我們二年級時已認識的軸對稱圖形,大家都能用“對折”的方法找對稱軸。今天老師把它們放在大屏幕中,不能對折了,你還能找到對稱軸嗎?(讓學生想象對稱軸在哪里,讓他們指一指)

教師追問:怎樣才能準確地找到對稱軸的位置呢?

(讓學生用自己喜歡的方式,畫出它們的對稱軸)

開場說明同樣的“對稱圖形”二年級用“對折”的方法找對稱軸,四年級要求“不折”找對稱軸。這樣不同的要求,為學生從動手操作過渡到心理操作提供腳手架,引導他們的思維從單向低層次向多元高層次發展。

三、挖掘“相等”并“垂直”的完整內涵

學生在二年級時積累的直觀經驗是“面的相等”,即圖形的“完全重合”。在這樣的基礎上,教師如果借助格子圖,學生就容易從“面的相等”過渡到“對應點到對稱軸的距離相等”,但很少有學生能夠發現“對應點與對稱軸垂直”。

(一)適度增加,“自”畫蘊垂

根據諾曼和魯梅爾哈特的研究,“增加”是思維轉變方式的其中一種,即在既有的知識模塊中不改變原有結構而增加新知識。以下教學片段中,教師在學生自主畫對稱軸的基礎上,利用“相等”的經驗去追加問題,層層遞進,意蘊“垂直”。

【片段2】

1.教師出示圖4,提問:你是怎么畫出對稱軸的?

(學生指出找到了兩個關鍵的點來畫垂線)

2.教師出示圖5,提問:只有一個關鍵點,你又是怎么畫出對稱軸的呢?

預設一:量一量,再找一個點。

預設二:用畫垂線的方法也能畫出對稱軸。

3.教師出示長方形,提問:你又是怎么畫出它的對稱軸的呢?(如圖6)

(學生根據圖5的經驗,除了用尺子量,還用了畫垂線的方法)

師生小結:畫垂線的方法很實用。

準確了解學生遇到的認知障礙是教學中做到“對癥下藥”的前提。引導學生理解,在畫對稱軸時緊緊抓住軸對稱圖形的關鍵點或者把邊平均分成兩份,同時借助畫垂線的方法,就能標準地畫出對稱軸。這樣就提前埋好了“垂直”的種子,使其后續得以生根發芽。

(二)合理調整,單“等”無垂

從單一的“相等”感性認知調整為“相等并垂直”的理性認知,是學生思維結構變化的體現,也是數學教學本質的要求。以下教學片段中,教師對學生的思維進行加工、改造。學生在思維順暢后就能突破沖突,在辨析、歸納中深刻體會到:除了相等,“對應點”還應基于連線垂直于對稱軸來確定(如圖7)。

【片段3】

師:仔細觀察,對稱軸的左邊和右邊有什么特點呢?請你找一找,描一描,連一連。

生:我發現對稱軸的兩邊都是一模一樣的,并且對應點到對稱軸的距離都相等。

(教師根據學生回答,把每個特殊點都指一遍)

小結:從對稱軸的兩邊找到點的對應關系是好辦法,那么我們從上往下依次來找。

教師把“垂直”暫時“架空”,意圖在于讓學生先理解“對應點”,便于下一環節集中火力探究“垂直”。緊接著,通過找特殊點和非特殊點的對應點,引導學生感悟:對稱軸一邊的任意一點,都能在另一邊上找到它的對應點,且在實際中,只要找關鍵點就行了。

(三)設置矛盾,對“比”引垂

有效的調整是完整、系統地掌握軸對稱的關鍵。教師通過設置矛盾,引導學生在對比中實現思維斷層的聯結。

【片段4】

教師組織學生討論圖9。

師:點E′到對稱軸的距離也是1格,為什么它不是點C的對應點?

生:這兩點的連線與對稱軸不垂直。

教師追問:對應點除了到對稱軸的距離要相等外,還要滿足什么要求?

生:連線要與對稱軸垂直。

師:一個點不能說明問題,我們再多找幾個點,看看它們的連線。

師:每一組對應點都是“距離相等,連線垂直”。

小結:對應點不僅到對稱軸的距離相等,并且連線與對稱軸垂直。

C′和E′的同時存在,容易使學生把問題聚焦到這兩點與點C的連線上來。線段CC′與CE′同時相連,自然就把學生的思維從“相等”引導到“垂直”的層面上來。接下來,教師展示開場時的另兩幅圖,讓學生利用“垂直”的思維方式找對應點,鞏固軸對稱的特點。

【片段5】

教師出示圖10。

師:請看這三幅圖,通過畫對稱軸和找軸對稱的特點,你學會了什么?

生:對應點到對稱軸的距離相等,連線與對稱軸垂直。

師:畫對稱軸的時候,還可以用畫垂線的方法,它的原理其實就是“相等并垂直”。

教師在教學時要將所教內容置于整體設計的知識結構中,讓學生進行系統地思考。畫對稱軸和軸對稱的性質之間有著緊密的聯系,教師可以通過“垂直”把它們聯系起來,從而實現教學的一致性。

四、重建“定性”到“定量”的原理閉環

要使學生深度理解“對應點的連線與對稱軸垂直并被對稱軸平分”的緣由,教師還需設計教學環節,讓學生經歷“重建”的過程,也就是讓學生重新審視以往的軸對稱圖形,對其進行再思考、再構建,以獲得對軸對稱的原理閉環。

(一)重建一:常見圖形對稱軸條數

【片段6】

質疑:為什么正方形有4條對稱軸,而一般的長方形(不包含正方形)只有2條?

師:我們先來研究正方形,重點來分析兩條斜的對稱軸。

以相對的頂點為對應點,連線垂直,所以正方形的對角線是它的對稱軸,另一條對角線也同理可得。

師:長方形(不包含正方形)的對角線,是不是它的對稱軸呢?以相對頂點為對應點,連線,你發現了什么?

生:與對角線相互不垂直。

師:它們雖然長度相等,但不垂直,所以這條對角線不是長方形的對稱軸。

小結:軸對稱的性質可以解決以前只能靠對折才能解決的問題。

教學不應只局限于讓學生學會畫對稱軸,也應解釋為什么要這樣畫,讓學生知其所以然。本環節從常見的長方形、正方形入手,利用軸對稱的性質進行解釋說明,反哺以前的直觀認知,讓對稱軸的條數變得有理有據,使“相等并且垂直”在軸對稱中一脈相承。

(二)重建二:常見圖形的性質屬性

學生對于軸對稱的“惑”主要是:某些擁有兩部分完全相同的圖形卻不是軸對稱圖形。其中最典型的屬平行四邊形(不包括菱形、長方形、正方形,下同)。平行四邊形有相等的邊和角,且任一條對角線或以任一邊的中點出發作鄰邊的平行線,都可以將其分成相同的兩部分,因此容易被錯認為是軸對稱圖形。事實上,平行四邊形屬于中心對稱圖形。中心對稱圖形有兩個特征:一是所有對應點連線交于一點,且各對應點到該交點距離相等;二是繞交點旋轉180°后可以跟原圖形完全重合,這個交點稱為對稱中心。中心對稱與軸對稱同屬圖形的變換,但兩者的變換方式不同。

深度認識圖形的本質屬性,審視教學內容,有利于教師合理開展教學活動,針對學生出現的錯誤,提供診斷教學策略,并有效地對學生的認知偏移進行診斷、糾正,從而根除學生的錯誤觀念。

【片段7】

師:如果以長方形的對角線作為對稱軸畫圖形,會是一個怎樣的軸對稱圖形呢?根據相等且垂直的原理,補全這個軸對稱圖形的另一半。(用課件動態演示過程,如圖11)

師:現在這樣一個普通三角形,請你先自己規定一條對稱軸,然后再創造出軸對稱圖形。

(展示不同的學生作品,如圖12)

教師出示圖13。

師:看這一幅,創造對了嗎?能用今天學的知識來解釋一下嗎?

生:相對頂點的連線與他畫的對稱軸不垂直。

師:這正好也解釋了為什么平行四邊形不是軸對稱圖形。對應點的連線與“軸”不垂直,就不是軸對稱圖形。

學生感悟到對于同一個圖形,通過不同的對稱軸會形成不同的軸對稱圖形。教師要培養學生多角度思考問題的能力,發展其想象力。教師利用“相等且垂直”原理,通過對以往熟悉的圖形進行重新審視,完成了軸對稱性質的第二次反哺——判定平行四邊形是否為軸對稱圖形。

“相等且垂直”使“軸對稱”內容形成了一個高度融合的有機整體,它不僅是軸對稱性質的具體體現,更是用來反哺、判定軸對稱性質的有力工具,是概念學習本質化、系統化、結構化的精髓所在。

參考文獻:

[1]鮑建生,周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海:上海教育出版社,2009.

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