回首“對折”，促相等與垂直并行進階

金奎

【摘? ?要】“對折”是軸對稱學習的起始方式，概念進階就是對應點的連線被對稱軸垂直平分。由于學生受“相等”的定格影響，往往難以發現“垂直”的關鍵作用。教學圍繞“暴露‘一樣到‘重合的認知沖突；適配‘折到‘不折的心理跨越；挖掘‘相等并‘垂直的完整內涵；重建‘定性到‘定量的原理閉環”，從而實現相等與垂直并行進階。

【關鍵詞】對折；定性；定量；相等；垂直

從圖形的運動角度看，平移、旋轉運動都是一個圖形在圖形所在平面上的二維運動（滑動、轉動）。軸對稱運動有別于平移、旋轉運動，它是一個圖形上的任意一點都以對稱軸上相應的點為圓心，向圖形所在平面外做了180°的圓周運動?；厥住皩φ邸保S對稱運動的概念需進階為對應點的連線被對稱軸垂直平分。

“對折”顯見“平分”而難現“垂直”，如何實現相等與垂直并行進階？

一、暴露“一樣”到“重合”的認知沖突

二年級“認識軸對稱圖形”教學，旨在讓學生感知生活中的對稱現象，通過觀察、剪一剪的操作到感悟“軸對稱”的數學化過程，側重對圖形的整體感知。這時軸對稱教學中涉及的運動常為最直觀的做法：對折。

學生的經驗來自于“完全一樣”，他們認為擁有兩部分完全一樣的圖形即可稱為軸對稱圖形。此時的學生只能給出軸對稱圖形的主要特征，但無法利用現有的語言體系高度概括出軸對稱圖形的概念。教師利用一幅呈現同一朝向的兩只鴨子的圖片制造認知沖突：這幅圖左右兩部分也是完全一樣的，它是軸對稱圖形嗎？由此觸發學生的“對折”思維，打破“完全一樣”給概念理解帶來的認知不完整性的影響。學生在活動中感悟得出“對折后完全重合”的圖形才能被判定為軸對稱圖形（如圖1），同時理解和明確“折痕”即對稱軸，并感悟“對折”對于軸對稱的重要意義。

“動”的經驗可以給“想”帶來無限的空間，學生經歷了大量“對折”的操作活動后，能形成幾何變換的初始概念。他們不僅有了圖形對稱的直覺，也有了圖形會動的直覺，那些在作業本上、屏幕上的圖形雖不能進行具體的操作，卻可以在腦海中“折”。然而，此時學生只是把圖形的重合理解成面的相等，不會認識到是點到點距離的相等。

二、適配“對折”到“不折”的心理跨越

四年級《軸對稱》教學，是在對折的基礎之上進一步滲透軸對稱的性質，注重思想和方法的感悟。教師要引導學生在“不折”的前提下找到并能標準地畫出軸對稱圖形的對稱軸，發現軸對稱的特點：對應點的連線與對稱軸垂直并被對稱軸平分。最后，利用性質驗證“對折”操作為什么能判定圖形是否為軸對稱圖形，達到反哺的效果（如圖2）。

然而，當教師提問：你是怎么找到對稱軸的？不少學生還是回答“因為對折后完全重合”，思維依舊停留在二年級水平。根據范希爾理論中的進階性，學生幾何思維水平的提升是由教學決定的，而不是隨年齡成長或心理成熟自然而然發生的。學生在理解“軸對稱”概念的進階過程中表現出思維的不連續性，也就說明從“折”到“不折”兩個水平的過渡不是自然的，而是一個“跨越”的過程。當教學高于學生的思維層次時，必定導致學生無法理解，即產生不適配性。為了適配，教師應設計教學環節讓學生經歷從動手操作到心理操作（想象）的過程，為學生“跨越”助一臂之力。

【片段1】

教師出示圖3。

教師提問：這些是我們二年級時已認識的軸對稱圖形，大家都能用“對折”的方法找對稱軸。今天老師把它們放在大屏幕中，不能對折了，你還能找到對稱軸嗎？（讓學生想象對稱軸在哪里，讓他們指一指）

教師追問：怎樣才能準確地找到對稱軸的位置呢？

（讓學生用自己喜歡的方式，畫出它們的對稱軸）

開場說明同樣的“對稱圖形”二年級用“對折”的方法找對稱軸，四年級要求“不折”找對稱軸。這樣不同的要求，為學生從動手操作過渡到心理操作提供腳手架，引導他們的思維從單向低層次向多元高層次發展。

三、挖掘“相等”并“垂直”的完整內涵

學生在二年級時積累的直觀經驗是“面的相等”，即圖形的“完全重合”。在這樣的基礎上，教師如果借助格子圖，學生就容易從“面的相等”過渡到“對應點到對稱軸的距離相等”，但很少有學生能夠發現“對應點與對稱軸垂直”。

（一）適度增加，“自”畫蘊垂

根據諾曼和魯梅爾哈特的研究，“增加”是思維轉變方式的其中一種，即在既有的知識模塊中不改變原有結構而增加新知識。以下教學片段中，教師在學生自主畫對稱軸的基礎上，利用“相等”的經驗去追加問題，層層遞進，意蘊“垂直”。

【片段2】

1.教師出示圖4，提問：你是怎么畫出對稱軸的？

（學生指出找到了兩個關鍵的點來畫垂線）

2.教師出示圖5，提問：只有一個關鍵點，你又是怎么畫出對稱軸的呢？

預設一：量一量，再找一個點。

預設二：用畫垂線的方法也能畫出對稱軸。

3.教師出示長方形，提問：你又是怎么畫出它的對稱軸的呢？（如圖6）

（學生根據圖5的經驗，除了用尺子量，還用了畫垂線的方法）

師生小結：畫垂線的方法很實用。

準確了解學生遇到的認知障礙是教學中做到“對癥下藥”的前提。引導學生理解，在畫對稱軸時緊緊抓住軸對稱圖形的關鍵點或者把邊平均分成兩份，同時借助畫垂線的方法，就能標準地畫出對稱軸。這樣就提前埋好了“垂直”的種子，使其后續得以生根發芽。

（二）合理調整，單“等”無垂

從單一的“相等”感性認知調整為“相等并垂直”的理性認知，是學生思維結構變化的體現，也是數學教學本質的要求。以下教學片段中，教師對學生的思維進行加工、改造。學生在思維順暢后就能突破沖突，在辨析、歸納中深刻體會到：除了相等，“對應點”還應基于連線垂直于對稱軸來確定（如圖7）。

【片段3】

師：仔細觀察，對稱軸的左邊和右邊有什么特點呢？請你找一找，描一描，連一連。

生：我發現對稱軸的兩邊都是一模一樣的，并且對應點到對稱軸的距離都相等。

（教師根據學生回答，把每個特殊點都指一遍）

小結：從對稱軸的兩邊找到點的對應關系是好辦法，那么我們從上往下依次來找。

教師把“垂直”暫時“架空”，意圖在于讓學生先理解“對應點”，便于下一環節集中火力探究“垂直”。緊接著，通過找特殊點和非特殊點的對應點，引導學生感悟：對稱軸一邊的任意一點，都能在另一邊上找到它的對應點，且在實際中，只要找關鍵點就行了。

（三）設置矛盾，對“比”引垂

有效的調整是完整、系統地掌握軸對稱的關鍵。教師通過設置矛盾，引導學生在對比中實現思維斷層的聯結。

【片段4】

教師組織學生討論圖9。

師：點E′到對稱軸的距離也是1格，為什么它不是點C的對應點？

生：這兩點的連線與對稱軸不垂直。

教師追問：對應點除了到對稱軸的距離要相等外，還要滿足什么要求？

生：連線要與對稱軸垂直。

師：一個點不能說明問題，我們再多找幾個點，看看它們的連線。

師：每一組對應點都是“距離相等，連線垂直”。

小結：對應點不僅到對稱軸的距離相等，并且連線與對稱軸垂直。

C′和E′的同時存在，容易使學生把問題聚焦到這兩點與點C的連線上來。線段CC′與CE′同時相連，自然就把學生的思維從“相等”引導到“垂直”的層面上來。接下來，教師展示開場時的另兩幅圖，讓學生利用“垂直”的思維方式找對應點，鞏固軸對稱的特點。

【片段5】

教師出示圖10。

師：請看這三幅圖，通過畫對稱軸和找軸對稱的特點，你學會了什么？

生：對應點到對稱軸的距離相等，連線與對稱軸垂直。

師：畫對稱軸的時候，還可以用畫垂線的方法，它的原理其實就是“相等并垂直”。

教師在教學時要將所教內容置于整體設計的知識結構中，讓學生進行系統地思考。畫對稱軸和軸對稱的性質之間有著緊密的聯系，教師可以通過“垂直”把它們聯系起來，從而實現教學的一致性。

四、重建“定性”到“定量”的原理閉環

要使學生深度理解“對應點的連線與對稱軸垂直并被對稱軸平分”的緣由，教師還需設計教學環節，讓學生經歷“重建”的過程，也就是讓學生重新審視以往的軸對稱圖形，對其進行再思考、再構建，以獲得對軸對稱的原理閉環。

（一）重建一：常見圖形對稱軸條數

【片段6】

質疑：為什么正方形有4條對稱軸，而一般的長方形（不包含正方形）只有2條？

師：我們先來研究正方形，重點來分析兩條斜的對稱軸。

以相對的頂點為對應點，連線垂直，所以正方形的對角線是它的對稱軸，另一條對角線也同理可得。

師：長方形（不包含正方形）的對角線，是不是它的對稱軸呢？以相對頂點為對應點，連線，你發現了什么？

生：與對角線相互不垂直。

師：它們雖然長度相等，但不垂直，所以這條對角線不是長方形的對稱軸。

小結：軸對稱的性質可以解決以前只能靠對折才能解決的問題。

教學不應只局限于讓學生學會畫對稱軸，也應解釋為什么要這樣畫，讓學生知其所以然。本環節從常見的長方形、正方形入手，利用軸對稱的性質進行解釋說明，反哺以前的直觀認知，讓對稱軸的條數變得有理有據，使“相等并且垂直”在軸對稱中一脈相承。

（二）重建二：常見圖形的性質屬性

學生對于軸對稱的“惑”主要是：某些擁有兩部分完全相同的圖形卻不是軸對稱圖形。其中最典型的屬平行四邊形（不包括菱形、長方形、正方形，下同）。平行四邊形有相等的邊和角，且任一條對角線或以任一邊的中點出發作鄰邊的平行線，都可以將其分成相同的兩部分，因此容易被錯認為是軸對稱圖形。事實上，平行四邊形屬于中心對稱圖形。中心對稱圖形有兩個特征：一是所有對應點連線交于一點，且各對應點到該交點距離相等；二是繞交點旋轉180°后可以跟原圖形完全重合，這個交點稱為對稱中心。中心對稱與軸對稱同屬圖形的變換，但兩者的變換方式不同。

深度認識圖形的本質屬性，審視教學內容，有利于教師合理開展教學活動，針對學生出現的錯誤，提供診斷教學策略，并有效地對學生的認知偏移進行診斷、糾正，從而根除學生的錯誤觀念。

【片段7】

師：如果以長方形的對角線作為對稱軸畫圖形，會是一個怎樣的軸對稱圖形呢？根據相等且垂直的原理，補全這個軸對稱圖形的另一半。（用課件動態演示過程，如圖11）

師：現在這樣一個普通三角形，請你先自己規定一條對稱軸，然后再創造出軸對稱圖形。

（展示不同的學生作品，如圖12）

教師出示圖13。

師：看這一幅，創造對了嗎？能用今天學的知識來解釋一下嗎？

生：相對頂點的連線與他畫的對稱軸不垂直。

師：這正好也解釋了為什么平行四邊形不是軸對稱圖形。對應點的連線與“軸”不垂直，就不是軸對稱圖形。

學生感悟到對于同一個圖形，通過不同的對稱軸會形成不同的軸對稱圖形。教師要培養學生多角度思考問題的能力，發展其想象力。教師利用“相等且垂直”原理，通過對以往熟悉的圖形進行重新審視，完成了軸對稱性質的第二次反哺——判定平行四邊形是否為軸對稱圖形。

“相等且垂直”使“軸對稱”內容形成了一個高度融合的有機整體，它不僅是軸對稱性質的具體體現，更是用來反哺、判定軸對稱性質的有力工具，是概念學習本質化、系統化、結構化的精髓所在。

參考文獻：

［1］鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.