“無中生有”的想象

郜舒竹　馮林

【摘? ?要】“無中生有”的想象是將現實中或視域內不存在或未發生的想象為存在或發生，是普遍存在的思維形式，是人類與生俱有的智能。正是這樣的智能使得人類能夠創造知識，形成并傳承文化。這樣的思維形式在諸如幾何直觀、概念理解、問題解決過程中普遍適用、有效。學科教學的一個重要目標是培養學生的想象力，這就需要讓學生有更多機會經歷想象的過程。對教師來說，需要破除套路思維，努力讀懂學生想象出來的異樣生成，采取“疑錯從對”的態度寬容地接納，而不是依據教科書的套路予以否定和排斥。

【關鍵詞】想象；無中生有；圖形概念；疑錯從對

所謂“無中生有”的想象，是指把不存在的對象想象為存在，把未發生的動作或事件想象為發生，是人思維中“意象制作（Image Making）”的過程和能力［1］，是人類生命最典型的品質之一［2］，體現在人類活動的方方面面。它應成為學生在數學學習過程中經歷的活動，也是需要培養的能力。

一、思維中的“無中生有”

“無中生有”的想象常常表現在文學作品的語言中。比如統編小學語文教科書二年級上冊《秋天的雨》一文中的第一自然段：“秋天的雨，是一把鑰匙。它帶著清涼和溫柔，輕輕地，輕輕地，趁你沒留意，把秋天的大門打開了。”句中的“鑰匙”和“大門”都不是現實存在的，“帶著”和“打開”這樣的動作也沒有真實發生，所描述的并非是現實中真實的場景，而是作者思維中的“意象制作”，是對現實事物和動作的虛擬，是作者的心眼所見，是一種借彼說此的隱喻。

這樣的語言現象在我國古代詩詞中也很常見，比如李白《望廬山瀑布》中的第一句“日照香爐生紫煙”，其中“香爐”并非是現實中真實存在的對象，“生紫煙”也不是真實發生的動作，而是運用隱喻思維將形似香爐的山峰漂浮的云霧與香爐生紫煙建立起對應關系，使得作為符號的文字表現出生動的畫面感，使讀者自然地將文字轉換為思維中的意境。語言的魅力不僅表現為對肉眼可見現實的真實表述，同時也表現為對心眼所見意境的描繪，這種心眼所見的意境實際就是“無中生有”想象的結果。

這些語言現象反映出語言是思維的窗口。想象作為人區別于其他動物所特有的思維能力，自然會出現并應用于各種認知活動中。以數學課程中的幾何直觀為例，如果把幾何直觀視為是人觀察幾何圖形的認知活動，那么想象必然會伴隨著觀察的過程而發生。這樣的想象可以拓展人視覺的局限，把有限的視域拓展為無限的心眼所見。

羅馬尼亞數學教育家、國際數學教育心理學會（PME）創始人菲茨拜因（Efraim Fischbein，1920—1998）認為，針對幾何圖形進行推理的過程中，思維中會出現一種“圖形概念（Figural Concept）”，這種圖形概念是“非感知（Non-Sensory）”的對象，是思維中建構出來，存在于思維中的實體（Mental Entity），同時具有圖形的形象和概念的抽象雙重屬性［3］。舉例來說，圖1是一個半徑r=3cm的圓，其中一個長方形AMBO及其對角線AB都是視覺范圍內可以感知到的對象。如果想知道這個長方形對角線AB的長度，需要什么樣的思維活動？

菲茨拜因認為面對這樣的問題，僅有肉眼的所見和經驗的所知仍然不夠，還需要第三類思維對象。因為任何長方形都有兩條長度相等的對角線，長方形AMBO中還有一條視覺中不存在的對角線，將其想象為存在（如圖2中的虛線OM），立刻發現這條想象出來的線段不僅是長方形的對角線，同時也是圓的一條半徑，因此立刻知道對角線AB的長度等于圓的半徑3cm。

像這樣“無中生有”地想象出來的另外一條對角線就是菲茨拜因所說的“圖形概念”，是感知到的對象與已知的概念共同啟發下的“意象制作”。“無中生有”的想象并非是胡思亂想，作為一種思維形式，它是以感知和經驗為基礎，是感知到的信息與已有經驗相互滲透、共同作用，從中提取出最核心、最本質的內容，因此菲茨拜因用“蒸餾（Distilled Figure）”隱喻這種想象的過程。

可以說“無中生有”的想象發生于人類各種活動中，使得視域或現實中的“無”成為思維中的“有”，在對數學對象的認知過程中，可以將隱性的關系顯性化。

二、隱性的“關系”顯性化

“關系”往往是隱性的，是視域之外的存在，對關系的感知僅依賴肉眼所見是不夠的。比如，將一個正方形（實線）四條邊的中點連接在一起，形成一個小正方形（虛線）（如圖3），怎樣能夠直觀看出兩個正方形面積之間的關系？

視覺中的對象包含兩個正方形和四個三角形，但三角形的面積與正方形的面積之間的關系并不明顯，因此僅依賴視覺所見很難看出兩個正方形面積之間的關系。運用“無中生有”的想象，將視覺中不存在的對邊中點的連線想象為存在（如圖4）。

這時三角形與正方形之間的關系就顯現出來了，在圖4中大正方形包含8個三角形，小正方形包含4個小三角形，明顯看出兩個正方形面積是2倍的關系。

“無中生有”的想象不僅是把不存在的對象想象為存在，還包括把未發生的動作或事件想象為發生。比如圖5中的正方形，將其中兩條邊三等分，在左上角連接出一個小等邊直角三角形（陰影）。如果直接看，很難發現這個小三角形面積與大正方形面積的關系。

如果“無中生有”地將大正方形另外兩條邊也三等分，并且把對邊不存在的連線想象為存在，立刻可以看出大正方形面積是小三角形面積的18倍（如圖6）。

其中“將另外兩條邊三等分”是原圖中未發生的動作，是觀察者“無中生有”地想象出來的。綜上可知，“無中生有”的想象在幾何直觀過程中，能夠將隱性的關系顯性化，對于幾何中的問題解決具有不可或缺的作用。下面以圓面積測量為例，進一步說明這一觀點。

圓面積的測量伴隨著對無理數圓周率的認識，可以說歷史悠久。當人們已經熟悉了諸如長方形、平行四邊形、三角形、梯形等直邊圖形面積求法時，對于一個半徑為r的圓，自然的想法是將其變形為直邊圖形。綜觀古今中外圓面積測量的各種方法，基本都是以尋求圓與直邊圖形面積等價關系為探索方向。

比如，對于一個半徑為r的圓（如圖7），與其形狀最為接近，同時也是最熟悉的直邊圖形應當是正方形，因此自然的想法是利用正方形求出圓面積。這時就需要“無中生有”的想象。

想象一個不存在的正方形出現，將這個圓包圍起來（如圖8），可以直觀看出正方形的邊長等于圓的直徑2r，因此正方形面積為（2r）2=4r2。因此得到結論：半徑為r的圓面積小于半徑平方的4倍（4r2）。

進一步想象出一個面積小于圓面積的正方形（如圖9），從前文已經知道這個小正方形面積是大正方形面積的二分之一，因此小正方形面積為“2r2”。由此得到一個新的結論：半徑為r的圓面積介于2r2和4r2之間。

因此可以形成判斷，半徑為r的圓面積近似于“3[r2]”，這就意味著圓周率粗略的近似值是3（[π]≈3）。從認知的視角看圓面積測量，最為直接的方法不是目前教科書中呈現的“分割”為小扇形并“拼接”為長方形，而是運用“無中生有”的想象，根據形狀和性質最為接近，同時也是最為熟悉的正方形面積，對圓面積進行估計，這樣的過程更符合圓面積測量的歷史發生過程［4］。

運用“無中生有”的想象使得隱性關系顯性化在幾何直觀中具有普遍的應用性。比如，在五年級“多邊形的面積”中，對于任意一個三角形或梯形，如果能夠想象靜止的圖形發生了運動，圍繞一條邊的中點進行旋轉，那么這個三角形或梯形與平行四邊形之間的關系就得以顯現，使得三角形和梯形面積公式一目了然（如圖10）。

“無中生有”的想象，不僅在幾何直觀中普遍存在、應用有效，同時也會出現在數的認識、數的運算以及解決問題等課程內容中，具有“化難為易”的作用。

三、化難為易

問題的解決常常伴隨著問題的轉化過程，即將一個問題轉化為另外一個等價的、更為容易解決的問題。比如，對于常見的計算問題“92-37”，如果直接用豎式計算就會涉及退位，相對煩瑣。如果想象將被減數92和減數37同時“加3”，那么算式變為“95-40”，這樣就避免了退位，簡化了計算。過程中的“加3”實質是利用“無中生有”的想象，將算式“92-37”改變為另外一個等價的算式“95-40”，相比較而言新算式的計算更加簡便容易。

像這樣利用“無中生有”的想象簡化計算的思維形式，在日常生活的購物過程中經常出現。比如，購物問題：“一瓶2.8元，買5瓶需要多少元？”按照常規算法，需要計算“[2.8×5]”，如果把真實發生的“買5瓶”想象為“買10瓶”，從“10瓶28元”中立刻得出“5瓶14元”的結論。

下面再來看看“無中生有”的想象在解題過程中的作用。比如，對于圖11的注水問題：有兩個臨近的自來水管出現滴水現象，甲管3分鐘滴滿一盆水，乙管6分鐘滴滿同樣一盆水。兩根水管同時向同一個水盆滴水，多少分鐘滴滿一盆水？

這樣的問題在小學數學課程內容中“套路”的解法是利用解決工程問題的方法，假設一盆水的容量為“1”，那么兩根水管滴水速度分別為“[1/3]”和“[1/6]”，這時利用總量除以速度和得到答案：[1÷（1/3+1/6）=2]（分鐘）。

事實上，此題的解決并不需要分數及其運算，可以運用“無中生有”的想象直接推理出結果。因為一根甲管3分鐘滴滿一盆水，運用“無中生有”的想象，可得一根甲管6分鐘就會滴滿同樣的2盆水，結合乙管6分鐘滴滿1盆水（如圖12），兩根水管6分鐘就會滴滿3盆水，所以甲管、乙管兩根水管滴滿一盆水就需要[6÷3=]2（分鐘）。

問題解決過程中，思維中出現了“甲管6分鐘滴滿2盆水”的情境，這一情境并非題目中的已知信息，是解題者依據“甲管3分鐘滴滿一盆水”“無中生有”想象出來的，想象的目的是與乙管6分鐘滴滿一盆水在時間上保持一致，從而使問題得以順利解決。

以上實例表明，“無中生有”的想象作為一種思維形式，在數學課程內容中的概念理解、規律探索以及問題解決等諸多方面具有普遍的適用性和有效性，在教科書編修以及教學中需要認識到這種想象對于學生思維發展的重要性，讓學生有更多的機會經歷這種想象的活動。

四、擺脫套路，疑錯從對

這里所說的“套路（Routine）”指的是某種常規或慣例，是思維或行為相對穩定、重復發生的運行模式。諸如生活中的“一日三餐”、城市交通中的“紅燈停、綠燈行”等。人類生活、工作需要套路，相對穩定的生活起居有利于身體健康，相對穩定的工作流程保證工作的有序、規范。同時也應注意到，“套路”思維一旦形成，也會抑制人的想象，形成“只能這樣、不能那樣”的“定勢（Einstellung Effect）”思維，對“還能怎樣”的其他可能性形成排斥心理［5］。

想象作為個體的思維形式，具有原創性，其過程與結果受到個體經驗、環境與文化的影響，具有因人而異的差異性，往往表現為對套路的超越。當學生有了不同于套路的異樣生成時，教師往往會出現排斥心理，視之為錯誤。比如，圖13中呈現的是北京市某區的六年級質量監測試題。

此類問題的“套路”解法是把家到超市的距離視為“1”，再利用算式“[（1/12-1/15）÷1/15=1/4]”得到答案25%。學生的解法違背了這樣的套路，因此被視為錯誤。

事實上，運用“無中生有”的想象，是可以解釋學生解法的合理性。想象爸爸和小明都走了15分鐘，小明恰好到達超市，爸爸多走出了3分鐘距離，這是題目信息中未發生的，“無中生有”地想象其發生并存在。那么這時就出現了“在同樣的15分鐘內，爸爸比小明多走了15-12=3分鐘的距離”，依據相同時間內距離之比等于速度之比，自然得到爸爸比小明速度快“（15-12）[÷12=25%]”的算法。這時算式中15和12的意義已經發生了改變，不再表示時間，而是表示爸爸15分鐘和12分鐘行走的距離。從圖14中可以明顯看出爸爸多走出的3分鐘距離是小明所走距離的[1/4]（即25%）。

這一過程也可以用比例關系解釋，爸爸和小明行走相同距離的時間比是“12∶15”，那么相同時間的距離比是“15∶12”，速度比與相同時間的距離比應當相等，因此爸爸與小明的速度比也是“15∶12”，由此得到圖13中學生的算法。

當然在沒有調查的情況下，并不能確認學生一定是這樣想的，學生完全有可能是依據某種不正確的想法得到正確答案的，比如就是依據題目中已知的“15”和“12”，直接利用“（大數-小數）[÷小數]”進行計算。這種情況下應當如何評判學生的答案？法律審判中有“疑罪從無”的原則，也就是在沒有確鑿證據證明有罪的情況下，應當視為無罪。同樣面對學生不同于套路的解法，在沒有證據證明是錯誤的情況下，應當遵循“疑錯從對”的原則進行評判，而不是以教科書或教師的套路為標準，予以否定和排斥。

“無中生有”的想象是將現實中或視域內不存在或未發生的想象為存在或發生，是普遍存在的思維形式，是人類與生俱有的智能。正是這樣的智能使得人類能夠創造知識，形成并傳承文化。這樣的智能在諸如幾何直觀、概念理解、問題解決過程中普遍適用、有效。學科教學的一個重要目標是培養學生的想象力，這就需要讓學生有更多機會經歷想象的過程。對教師來說，需要破除“套路”思維，采取“疑錯從對”的態度寬容地接納，并努力讀懂學生想象出來的異樣生成。

參考文獻：

［1］ALEXANDER H B. Living Mind：An Inquiry into the Psychological and Logical Foundation of Human Understanding［J］. The Pluralist，2008，3（1）：11-88.

［2］VARELA F J， THOMPSON E， ROSCH E. The Embodied Mind：Cognitive Science and Human Experience［M］. Cambridge（MA）：MIT Press，1991：195.

［3］FISCHBEIN E. The Theory of Figural Concepts［J］. Educational Studies in Mathematics，1993，24（2）：139-162.

［4］SMEUR A J E M. On the Value Equivalent to π in Ancient Mathematical Texts. A New Interpretation［J］. Archive for History of Exact Sciences， 1970，6（4）：249-270.

［5］ALLINGER G D. Mind Sets in Elementary School Mathematics［J］. The Arithmetic Teacher，1982，30（3）：50-53.