高中數學邏輯推理素養的生成價值與培育路徑

郭 妍 沈建民

（湖州師范學院教師教育學院，浙江湖州，313000）

2018 年，教育部頒布《普通高中數學課程標準（2017 年版）》，確立了數學學科的六大核心素養，邏輯推理作為其中之一，因其對學生的數學學習及未來發展具有重要的價值，已成為學界研究的熱點。相較于頂層理念的探索，高中一線教師更加關注邏輯推理素養的落地。但要推進邏輯推理素養從理論探尋走向實踐應用，必須回答兩個基本問題：學生生成數學邏輯推理素養的價值有哪些？教師培育學生數學邏輯推理素養的路徑是什么？基于此，本文擬對上述問題展開一些探究。

一、學生生成邏輯推理素養的價值探尋

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養[1]，注重學生自身素養的形成與發展，具有可育性與生長性等特性。從學生的發展角度來看，邏輯推理素養不僅是搭建知識體系的關鍵黏合劑、激發創新創造的必備能量柱，還是問題解決、思維鍛煉、理性精神培植的重要助推器。對高中學生來說，在學習數學的過程中生成邏輯推理素養具有特殊的價值。

1.有效搭建知識體系，激發學生創新創造

數學知識體系是數學課程中以公理、定理等數學知識組成的有機統一體，有效數學知識體系的搭建對于學生數學學習的重要意義不言而喻。在高中數學知識體系中，不同的數學知識發揮著不同的作用，一部分可以看作是點，一部分可以看作是線，若以此搭建知識體系，需尋找到點與點、線與線、點與線彼此之間的關聯，這種關聯便是依靠邏輯形成的[2]。創造作為人類思維的最高表現[3]，是在對客觀事物的深刻理解、超脫習慣界限的方法選擇及多角度的層次探求之上互相滲透、合理構建的結果，具備難以脫離邏輯思考的特點。在高中數學的學習中，學生只有擁有一定的知識儲備、具備一定的理解力、依托一定的邏輯思考時，才能迸發新穎的火花，提出具有創造性的想法。因此，學生邏輯推理素養的生成可以有效搭建知識體系，能夠激發學生創新創造的能力。

2.精準把握問題關聯，提升問題解決效能

高中階段的數學較于義務教育階段來說，對學生水平的要求有了一定程度的提高。面對更為復雜的數學問題，若要高效地完成問題解決，首先要迅速且確切地弄清問題，即學生需敏捷地弄清楚問題的每個條件及其彼此間的聯系。針對問題間關聯的把握，主要在于對問題發展脈絡進行有條理地、有邏輯地分析。換言之，通過邏輯推理形式，學生可對問題的“來龍去脈”展開梳理，從而能夠快速準確地把握條件與條件之間、新問題與舊問題之間的關鍵聯系，發現突破口，找到切入點。其次需要問題解決者能夠深入切入點，有條理、有根據地擬定與實施計劃，兼具系統解決問題的能力，最終得出問題結果。蘇聯數學家奧加涅相將數學問題作為一種題系統進行研究，認為數學問題是由（S，R）系統構成，并指向問題的邏輯結構，側重解題的邏輯方法[4]，強調系統解決問題的能力。邏輯推理作為問題解決的“紐帶”，反映出系統性處理問題的能力，已然成為溝通問題起點與結論的重要助推。故而，當學生在高中數學學習中生成一定的邏輯推理素養時，其可依據對數學問題脈絡的梳理及系統性處理問題的能力，迅速且精準地把握問題間的關聯，以獲得正確結論、解決數學問題，從而提升問題解決的效能。

3.注重鍛煉思維品質，促進理性精神形成

邏輯推理是人們在數學探索中展開溝通的基本思維品質，是個體在數學活動中開展思考與判斷的關鍵推力，為學生鍛煉思維提供了有效的途徑[5]?！兜赖陆洝酚性疲骸安怀鰬?，知天下；不窺牖，見天道?！闭芍^內有邏輯，以據而推，思之則得，思維的魅力自古以來就璀璨閃耀。史寧中先生指出通過核心素養的培育，學生應達到“三會”境界，其中學會用數學思維分析世界，就側重強調對于學生邏輯推理的培育[6]。事實上，生活中許多方面都涉及數學，這部分的數學內容大多不是具體的公理、定理和結論，而是數學中的理性思想和精神所起的作用。高中階段，學生生成邏輯推理素養后，不僅會利用數學思維進行分析，還能奉以理性精神大膽追求真理，從而不但能夠深入數學學習而且能夠跳躍而出，聯系生活，達到他山之石，可以攻玉的貫通境界。鑒于此，學生邏輯推理素養的生成有利于鍛煉其思維品質，促進其理性精神形成。

二、培育學生邏輯推理素養的路徑構建

數學學科的核心素養形成是基于學生的數學學習，其獨特的內隱性，決定了這是一個積時累日的、循序漸進的過程[7]。若要培育邏輯推理素養，離不開關鍵的數學知識、技能作基礎，離不開進一步發展的問題解決能力作驅動。同時，指向數學學科本身特性的用以認識客觀世界現象的數學思維[8]，成為數學學習中必備品格的形成要素。這與南京師范大學學者提出的學科核心素養的三層架構圖恰好對應，即“雙基層、問題解決層、學科思維層”[9]。在此基礎上，西北師范大學的呂世虎、吳振英基于數學的認識論價值、應用價值、思維價值和育人價值，提出了數學學科核心素養的四層次體系塔：數學雙基層、問題解決層、數學思維層、數學精神層[10]。

根據建構主義的學習觀，學習是學習者在自身經驗基礎上，通過情景、交流、協作促進內化，從而完成意義建構的過程[11]。李松林教授指出學科素養作為一個有機體，其最終指向的是學生個體的自我整合[12]。因而，邏輯推理素養培育的最終指向是學生經過自我的監控與整合將邏輯推理素養建構成為自身的一部分，從而完成內化，將其轉化為終身學習路途中的高效助推器。“反思”屬于元認知監控，是完成個體整合與內化的關鍵活動，是邏輯推理核心素養最高水平層次——交流與反思中的核心內容。但反思并非是一般性的回顧，而是深層次的挖掘，具備研究的性質，其目的不單是指向過去，更關鍵的是著眼未來活動[13]，成為發展自我監控與整合的高效途徑?；诖耍Y合邏輯推理素養的價值意涵，從數學雙基、問題解決、數學思維、數學精神、自我監控與整合五個層次構建致力于培育高中生數學邏輯推理素養的生成路徑（如圖1）。

圖1 高中數學邏輯推理素養的五層次培育

1.重視數學雙基，夯實邏輯推理基石

數學中的知識是環環相扣的，只有牢固掌握數學基礎知識，才能擁有正確思維基礎，形成邏輯推理?；炯寄茏鳛閭€體完成某種數學任務時一系列協調的、自動化的活動方式[14]，為新知識的獲得提供基礎，是數學能力生成和發展的前提條件。故而，基礎知識與基本技能是解決一切問題的根基，也是發展學生數學能力、生成邏輯推理素養的基石。日常教學中教師要注重引導學生梳理并明晰概念的產生與發展過程，關注學生對定理及證明過程的理解、接受水平[15]，以此利用數學知識與數學技能搭建證據鏈從而進一步深化知識、凝練結論[16]。例如在高中“平面的基本性質”學習中，若學生不能掌握基本事實1“不共線的三點確定一個平面”與基本事實2“若一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內”，不了解“兩點確定一條直線”基本知識，不會利用基本畫圖技能畫出圖形，則無法推出“經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面”這一結論。因而，只有在學習知識與應用知識的過程中，在學生熟練掌握知識與技能的基礎上，才可以促使學生完成推理。

2.強化數學運算，推進邏輯推理發展

數學運算是指在明確運算對象的前提下，能夠依據法則準確地進行運算，并較好地理解算理，攻克數學問題的基本手段[17]。運算中的每一步都是以運算法則為先決條件，這類似于證明中的公理，可以說進行數學運算的同時就是一種演繹推理的過程，而定理的推演又需要一定運算基礎。故此，對數學運算的強化有助于學生解決邏輯推理過程中遇到的推演難題，進而推進邏輯推理素養培育的進程。例如在“函數的基本性質”問題探究中，采用“規—例”法，引導學生利用f（x1）-f（x2）＝（kx1+b）-（kx2+b）＝k（x1-x2）嚴密的推理運算得出函數f（x）＝kx+b 的單調性，從而走出初中階段的圖像觀察，回到函數解析式，回到函數本身，跳出“由圖像推導出性質”的慣性思維。以嚴密的運算推演問題，在推理運算的過程中，一步步接近其固有屬性，完成邏輯鏈接，在強化運算的過程中推進邏輯推理的發展。

3.關注推理應用，深化邏輯推理思維

邏輯推理的提升離不開邏輯思維的發展，隨著學習的持續深入，在基礎知識、以運算為手段解決數學問題之上，在不斷推理的應用之中，學生的邏輯思維不斷深化。高中數學的學習要講究邏輯，在引導性的應用、自主性的推理探究活動中，學生可以積極地展開真理的探索、有條理地搭建邏輯思路、遞進性地完成推理，從而能夠促進思維的提升、推進邏輯推理的生成。依照推理過程的思維方向劃分，邏輯推理主要包含合情推理（歸納推理、類比推理）和演繹推理兩種推理形式，再考慮邏輯推理意識的觸動引發，需要教師關注以下三方面。

一是巧構情境問題，觸發邏輯推理意識。高中數學課程始于系列化的“情境+問題”[18]，作為教學的起點，教師應通過多樣性的情境創設巧妙地引出問題，引導學生進行探究，并在問題探究中自覺形成推理意識。例如“立體幾何初步”中，對基本圖形位置關系的學習是以長方體為載體，聚焦于平面內的垂直與平行兩個基本位置關系，對直線、平面間的關系展開探究，故而在學習平面與平面間的垂直關系時，不需直接舉出實例，而應類比直線、平面間平行關系的學習，在探究了直線與直線、直線與平面垂直之后，自然聯想平面與平面間除具有平行關系是否也具有類似的關系呢？如果有該如何判斷呢？在學生的邏輯鏈條中設置情景、提出問題能夠觸發學生自覺形成推理意識。

二是鼓勵合情推理，發現邏輯推理結論。猜想是促進學生邏輯推理素養生成的重要途徑之一。在創設出問題情境、明確學習任務后，教師應鼓勵學生積極地展開合情推理，大膽地進行猜想，通過類比、歸納的方法體驗“再創造”的過程，進而促進邏輯推理并發現結論。例如在學生具備推理意識后，引導學生類比角刻畫相交直線的位置關系，引進二面角。以日常開門為觀察點，刻畫不同二面角；以教室墻面與地面為觀察點，歸納直二面角；以新教材中建筑工人砌墻所用鉛錘為探究點，猜想得到兩平面垂直性質定理。在此過程中充分給予學生猜想探究的空間，通過引導將問題設立在學生的最近發展區內，通過協作碰撞出思維的火花，促進猜想探究，從而發現邏輯推理的結論。

三是強調演繹推理，論證邏輯推理結果。演繹推理作為邏輯推理的關鍵形式之一，是從一般到特殊的推理方法，合情推理能產生猜想，演繹推理能證明猜想。故而在數學學習中，教師要善于引導學生從合情推理上升到演繹推理，強調演繹推理嚴謹的論證過程。例如“平面與平面垂直的性質定理”的教學，教材從一個平面內的直線與另一個平面的特殊關系到直線不在兩平面內的探究，即將探究轉化為如果已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，判斷a與α的位置關系。利用嚴格的證明程序進行推演，在平面α內作垂直于平面α與平面β交線的直線b，因為α⊥β，所以b⊥β，又a⊥β，所以a∥b，又，所以a∥α，即直線a與平面α平行，得出不在兩平面內的直線與平面間的關系。推理證明過程環環相扣，培養學生對已有結論的合乎邏輯的理性思考，展現學生思維推理過程，幫助學生厘清論證思路、規范數學語言，提升學生邏輯推理。

4.滲透數學文化，提升邏輯推理內涵

邏輯推理素養在邏輯推理能力的基礎上，強調個人具有的思維品質與其在推論過程中情感、態度與價值觀的體現[19]。邏輯推理素養不僅包括邏輯推理知識、邏輯推理能力及邏輯推理思維，更是指向高層次的邏輯推理精神。數學文化是數學學科品格因素的重要組成部分，突出數學育人的作用，聚焦數學對個體精神方面的濡養。中華民族獨特的數學文化還能賦予邏輯推理素養民族意義，內化為人們的精神追求、豐厚人文歷史情懷、樹立正確的價值觀。在高中數學教學中滲透數學文化，學生不單能夠汲取數學的思想與精神，體會數學邏輯思考與推理探究的獨特趣味，而且能夠做到理想堅定、求真學問、民族認同。因此，數學文化的滲透能夠賦予邏輯推理素養時代意義、民族精神，提升邏輯推理素養的內涵。例如在等差數列的前n項和公式的探究中，當同學們完成等差數列求和通項公式推理后，可介紹其對應的歷史推導背景：公元前1800 年古埃及的“加罕紙草書”以分份數問題總結出了等差數列的求和通項公式；我國南北朝時期的《張邱建算經》中曾以初、末日織尺數一半乘織訖日數得織布總數，得出首相末項的等差求和公式；魏晉時期數學家劉徽標注《九章算術》時，在推導良馬15 日內每日所行里數逐項相加的過程中發現了等差數列的求和通項公式；北宋數學家沈括善于觀察與思考，將壘砌的酒壇看作離散量，推理提出了“隙積術”，其不單是二階等差數列的求和公式，更是開創了我國“垛積術”的研究。通過多種方法的推演，完成了一次今人和古人跨越千年的對話，感受推理探究的趣味，堅定挖掘真理的意志，體會民族的奮斗精神，進而豐富學生的精神世界，提升邏輯推理的內涵。

5.引導自我反思，感悟邏輯推理本質

數學邏輯推理的本質是指命題間的連接與貫通，即推理過程的傳遞性[20]。反思并非簡單的歸結或復述，而是具有指向性目標、加持延續性心理努力的高層次復雜性的自我監控與整合活動。在學生發現規律，理解知識的內涵，會意邏輯推理之后，一個重要的環節就是引導學生進行反思。建構主義學習觀認為學習的最終目的是學生自主地完成意義建構，將所學內化于心，才能外化于形。學生憑借之前的積累，通過最終的反思，監測邏輯推理過程，優化調整，完成感悟，生成邏輯推理核心素養。故此，教師應引導學生在推理中首先梳理、精確邏輯過程，把握推理關鍵；其次回顧思想方法，凝練特定問題解決的一般路徑；最后重新剖析邏輯推理本質，能條分縷析、鞭辟入里，從而達到持續深化[21]。例如在學習完空間直線、平面之間的位置關系后，教師應引導學生從探究思路的梳理出發，挖掘本節中定性研究方法及從整體到局部的研究思路，抓住從長方體出發探究直線、平面的位置關系的整體與局部的有機聯系；把握將空間圖形問題轉化為平面圖形問題從而解決空間圖形的思想方法，體會由易到難的研究直線與平面位置關系的一般思路；對基于圖形直觀感知的，開展適當針對直線、平面平行與垂直定理說理訓練的，加以性質定理的嚴格證明、綜合應用的邏輯推理路徑重新進行剖析，以體會有邏輯的思考與表達，前后推理的銜接與連貫，感悟邏輯推理的本質。

高中生數學邏輯推理素養的生成并非是一蹴即至的，而是一個由表及里、逐步推進的過程。教師應在正視學生生成邏輯推理素養價值的基礎上，在教學中通過重視雙基教學，打好學生生成邏輯推理素養體系的基礎；強化數學運算，提升學生的數學問題解決能力；鏈接推理應用過程，深化學生的邏輯思維；滲透數學文化，升華邏輯推理素養；引導學生反思，感悟邏輯推理的本質。最終完成學生邏輯推理素養的內化與生成，以達到既教書又育人的目的，促進學生具備終身發展應有的核心素養。