淺析《水力學》課程中的壓力體

鄧 歡

（桂林理工大學環境科學與工程學院 廣西桂林 541004）

水利工程中常遇到受壓面為二向曲面的情況，如拱壩壩面、弧形閘門、球形容器等，由于曲面各處所受到的靜水壓強的大小及方向都不相同，因此在計算作用于其上的靜水壓力P時，要將問題轉變成求平行力系的合力問題。先分別計算出作用于曲面水平方向上的分力Px和垂直方向上的分力Pz，再求二力的合力即為靜水壓力P。如圖1，二向曲面AB一側承受水壓力，其母線平行于Oy軸，曲面寬為b，面積為A。水平分力Px相當于是作用在曲面AB在yOz平面上的投影面Ax上的靜水壓力，可通過平面上的靜水壓力求解方法得以解決。求解垂直分力Pz時，則需要分析壓力體體積，因此能正確理解和繪制壓力體便成為計算垂直分力Pz的關鍵[1]。而壓力體是一個比較抽象的概念，是學生在學習《水力學》和《流體力學》等課程的過程中感到比較困難的部分。

圖1 作用于二向曲面AB上的靜水壓力示意圖

一、壓力體的概念

在曲面AB上沿母線方向任取條形微元面EF，其面積為dA，可視為傾斜平面，與鉛垂面的夾角為α，作用在EF面上的壓力為dP。

在微元面EF上，靜水壓力dP沿垂直方向的分力dPz為

其中dAsinα可看作是dA在xOy平面上的投影面積，記為dAz，代入式（1）

hdAz是以微元面EF的水平投影面為底，b為寬，h為高的微小柱體體積，則ρghdAz為以此體積計算的水體重量。

那么，整個曲面AB上靜水壓力的垂直分力Pz，可看作是無限個dPz的合力，故有

為受壓曲面與自由液面（或自由液面的延續面）之間的無數微小柱體體積之和，該空間體積稱為壓力體[3]。因此，作用于曲面上的靜水壓力P的垂直分力Pz等于壓力體體積所表示的液體重量。垂直分力Pz的作用線，應通過壓力體的體積形心。

令壓力體的ABMN面面積為Ω，則

壓力體和實際水體并不一定在受壓曲面的同一側。圖2（a）所示的水體與壓力體位于曲面同側，看似壓力體內部裝滿了水。圖2（b）所示的水體與壓力體位于曲面兩側，壓力體內部并不存在水體。可見，壓力體僅是一個抽象的體積概念，是作為計算曲面上垂直分力Pz大小的一個數值當量，與其內部是否存在水體無關，它不一定是由實際水體所構成[2-4]。

二、壓力體的構成

壓力體是一個空間體積，由下列周界面所圍成：

（1）受壓曲面本身；

（2）自由液面或自由液面的延續面；

（3）通過受壓曲面的邊緣向自由液面或自由液面的延續面所作的鉛垂平面。

三、壓力體的種類

雖然曲面上垂直分力Pz的大小與壓力體內部是否存在液體無關，但其方向卻與之有關。對于二向曲面，Pz的方向可以由靜水壓力垂直指向受壓面的性質判斷出來。圖2（a）所示的曲面左側有水，Pz方向向下，此時壓力體與水體在曲面的同側；圖2（b）所示的曲面右側有水，Pz方向向上，此時壓力體與水體在曲面的兩側。

圖2 壓力體示意圖

根據壓力體和水體是否在受壓曲面的同側，將壓力體分為實壓力體和虛壓力體。當繪出的壓力體與對曲面施壓的水體居于受壓曲面同側時，就像壓力體內充滿了液體，稱為實壓力體，所示垂直分力Pz向下；當繪出的壓力體與對曲面施壓的水體分居受壓曲面兩側時，壓力體內無液體存在，稱為虛壓力體，所示垂直分力Pz向上。

四、壓力體的繪制要點

將構成壓力體的所有周界勾勒出來形成一個封閉體積，即可繪制出壓力體，并根據壓力體的種類判斷垂直分力Pz方向。在繪制壓力體時，需要注意以下方面：

（1）自由液面要尋找正確。

與大氣相接觸的液面稱為自由液面，液面上的相對壓強為零。若未封閉容器中存在多個液面，要將自由液面全部找出，其他液面則不用考慮，如圖3（a）。若液體處在封閉容器里，則需要找到相對壓強為零的參考面模擬出自由液面，如圖3（b）和（c）。

（2）對復雜受壓曲面要進行分段。

當受壓曲面上某處的切平面為鉛垂面時，以此處為分界面可將曲面分成若干部分，分別繪出各部分的壓力體，然后合起來得到曲面的壓力體。以圖3（b）為例，曲面AB上C處鉛垂面與之相切，將曲面分成了AC和BC兩個部分，分別繪出AC曲面和BC曲面兩部分的壓力體，見圖4（a）和圖4（b）。AC曲面壓力體為虛壓力體，垂直分力Pz方向向上，BC曲面壓力體為實壓力體，垂直分力Pz方向向下，兩部分合起來時重疊部分壓力體大小相等，垂直分力Pz方向相反，見圖4（c）。此時，重疊部分垂直分力Pz等于0，相當于壓力體可相互抵消，合成后曲面AB的壓力體如圖4（d）所示。

圖3 自由液面及模擬自由液面

圖4 復雜受壓曲面的壓力體

（3）受壓曲面上所受壓強為負壓時，依然遵循壓力體繪制的原則。

圖3（c）中曲面AC段上的靜水壓強為負壓，壓力體依然由受壓曲面AC、自由液面CD和過A點向自由液面所做的鉛垂面AD構成。壓力體與液體均在受壓曲面AC的同一側，則此壓力體為實壓力體，垂直分力Pz的方向豎直向下，即靜水壓力方向背離受壓面，見圖5（a）。同理可繪出BC曲面壓力體，也為實壓力體，見圖5（b）。合成后曲面AB的壓力體如圖5（c）所示。

圖5 負壓情況下的壓力體

（4）受壓曲面兩側都有液體時，要分開繪制各液體對曲面的壓力體，然后再進行合成。

如圖6（a），AB曲面兩側都有液體，應分別繪出液體1和液體2對曲面AB的壓力體，合成后即可得到曲面AB的壓力體。壓力體有虛實之分，即代表的垂直分力方向向上或向下，在進行壓力體合成時要注意，當液體1和液體2為同一種液體時，重疊且方向不同的壓力體可相互抵消，但液體1和液體2為不同種液體時，并不能完全抵消。假設液體1和液體2的密度分別為ρ1和ρ2，其對曲面的壓力體分別為圖6（b）和圖6（c），合成后壓力體如圖6（d）所示。圖6（d）中壓力體由b（Ω1-Ω2）和bΩ2兩部分組成，其中面積Ω2部分代表的壓力體由大小相等且垂直分力Pz方向相反的壓力體重疊而成。因ρ1和ρ2不相等，合成后此部分垂直分力Pz大小為（ρ1-ρ2）gbΩ2，當ρ1>ρ2時，方向向上，當ρ1<ρ2時，方向向下。

圖6 不同液體共同作用于曲面時的壓力體

五、壓力體的繪制步驟

以圖3（a）為例，繪制壓力體可按如下步驟進行：

第1步，找出自由液面，如圖3（a）所示。

第2步，找到分界點C，將曲面分成AC和CB兩個部分，如圖3（a）所示。

第3步，分析水體1對受壓曲面AB的壓力體，先分析AC部分，見圖7（a），再分析BC部分，見圖7（b），然后將兩部分壓力體進行合成，見圖7（c），消去可抵消部分，得到合成后壓力體，見圖7（d）。同理分析水體2對受壓曲面AB的壓力體，見圖7（e）、7（f）、7（g）和7（h）。

第4步，將圖7（d）和圖7（h）的壓力體進行疊加，得到受壓曲面AB的壓力體為圖7（j）。

圖7 復雜情況下的壓力體繪制過程

結語

壓力體是由受壓曲面本身、自由液面（或自由液面的延續面）以及過受壓曲面的邊緣向自由液面（或自由液面的延續面）所作的鉛垂平面圍成的封閉空間體積，因此壓力體是一個抽象的體積概念，與其內是否存在液體無關。通過分析壓力體的體積可計算垂直分力Pz的大小，分析壓力體的虛實情況可判斷垂直分力Pz的方向。在繪制壓力體時要注意尋找自由液面或相對壓強為零的平面。當曲面的切平面存在鉛垂面時，要分段繪制壓力體后再合成。當曲面兩側均存在液體時，要分別分析各液體對曲面的壓力體后再合成。合成時要注意各部分壓力體重疊部分是否可以相互抵消。