一道數學聯賽預賽題的解法探究

廣東省深圳中學 (518001) 邱際春

2019年全國高中數學聯賽廣西省預賽第11題是一道平面幾何試題：

題目如圖1所示，AD、AH分別是△ABC(其中AB>AC)的角平分線、高線，點M是AD的中點，△MDH的外接圓交CM于點E.求證：∠AEB=90°.

圖1

此題的主要構形為三角形與圓，涉及圓內接四邊形、角平分線及四點共圓的有關性質.文[1]利用相似和到角給出了證明.筆者觀察圖形的結構特征，結合平面幾何中的常用定理及幾何變換，從多個視角給出下面幾種不同的證明方法.

視角一 利用角平分線、高線的性質，結合倒角和相似轉化

圖2

評注：注意到幾何圖形中多對相似三角形，通過證明三角形相似可以得到角的關系，進而利用到角來證明該命題便水到渠成.

視角二 借助中線長公式、勾股定理，尋找線段之間的關系

圖3

評注：考慮到在幾何圖形中包含中線及多個線段的垂直關系，故可嘗試利用中線長公式和勾股定理來尋找對應邊之間的關系，從而證明三角形相似，進而利用倒角來證明所證結論.

視角三 巧妙構造外接圓，運用圓的有關性質轉化

證法3：如圖4，連接DE，作△CDE的外接圓⊙O，連接并延長EH交⊙O于點F，連接CF、DF，則因為∠MHD=∠MED=∠CFD，∠MDH=∠CEF=∠CDF，所以△CDF～△MDH.又△MDH是等腰三角形，所以△CDF是等腰三角形，所以CD=CF，∠CDF=∠CFD=∠MDH，所以AD切⊙O于點D.由切割線定理知MD2=ME·MC，又AM=MD，所以AM2=ME·MC，所以△EMA～△AMC，所以∠MEA=∠MAC=∠BAD，所以∠MEA+∠MAE=∠BAD+∠MAE=∠BAE，所以∠AME=180°-∠MEA-∠MAE=180°-∠BAE，又∠BHE=∠AME，所以∠BHE+∠BAE=180°，所以A、B、H、E四點共圓.故∠AEB=∠AHB=90°，命題得證.

圖4

評注：上述幾何圖形中存在多組相似三角形，而證明三角形相似的途徑有很多.考慮圓內接四邊形的性質，可通過構造出另一圓內接四邊形，利用切割線定理得到比例線段，進而證得三角形相似，從而倒角即可完成證明.

視角四 利用反演變換的保角性，使其化繁為簡

證法4：如圖5，以A為反演中心，單位長度為反演半徑作反演變換.于是∠B′AD′=∠D′AC′,AD′=D′M′，直線BC的反形為以AH′為直徑的圓，要證∠AEB=90°，只需證∠AB′E′=90°.設D′H′,M′E′,AC′交于三圓根心K，則KD′⊥AD′，又AD′=D′M′，所以AK=KM′，從而∠B′H′D′=∠B′AD′=∠C′AD′=∠AM′K=∠180°-∠D′H′E，于是B′、H′、E′三點共線，故∠AB′E′=∠AB′H′=90°.因此∠AEB=90°，命題得證.

圖5

評注：由于反演變換作為一種幾何變換具有互逆性、保角性等獨特的性質，常用來證明線段、角等幾何量之間的關系.

結語：通過對上述預賽試題的剖析，我們從不同角度來解決這一圖形優美、結構簡練的幾何賽題，進而得到了多種不同方法.由此可以看出，這是一道選拔考生和鍛煉學生發散性思維的絕好素材.每年世界各地的奧賽試題層出不窮、浩如煙海，且不乏構思精巧的試題.如果能對賽題深度分析，做到一題多解，將有助于培養創造性思維能力，從而提高解題能力.