對“橢圓中由兩垂直直線引出的‘包絡’”再研究
2023-01-16 02:25:02江蘇省南通市海門證大中學226100周雅俊
中學數學研究(江西) 2023年2期
江蘇省南通市海門證大中學 (226100) 周雅俊
引理1 如圖1，在平面直角坐標系中，兩定點F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0,c為常數)，點P是以F2為圓心，2a(a>c，a為常數)為半徑的圓上的一點，線段PF1的垂直平分線l與線段PF2的交點為點M，則點M的軌跡是以F1，F2為焦點，長軸長為2a的橢圓，且直線l與橢圓相切于點M.
圖1
證明：因為點M在線段PF1的垂直平分線l上，所以MP=MF1，那么MF1+MF2=MP+MF2=PF2=2a，又a>c，所以點M在以F1，F2為焦點，長軸長為2a的橢圓上.從運動的角度來看，當點P跑遍圓F2上的所有點時，點M的軌跡就是該橢圓.
下面證明直線l與橢圓相切于點M.設點N是直線l上異于點M的一點，由三角形兩邊之和大于第三邊可以得到NF1+NF2=NP+NF2>PF2=2a，所以直線l上只有點M在橢圓上，其余的點都在橢圓外，所以直線l與橢圓相切于點M.
圖2
所以當直線PQ的斜率存在時，點N在以A為圓心，r0為半徑的圓上.從運動的角度來看，當點P跑遍橢圓上的所有點時，點N的軌跡就是以點A為圓心，r0為半徑的圓.
在引理2的基礎上可以得到引理3.
圖3
