三次函數的一個奇妙性質

浙江省江山中學 (324100) 徐麗峰

三次函數是高考、競賽、強基等選拔性考試試題中的熱點和難點，筆者在研究三次函數圖像與直線的交點時，發現一個奇妙性質，利用該性質能極大的提高解題效率.本文呈現性質的發現與證明過程，并利用性質巧解高考題，妙解競賽題.

一 性質的發現與證明

性質1 如圖1，若曲線f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖像與直線y=kx+m交于不同三點，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1

圖1

圖2

性質2為性質1的特殊情況，證明略.

圖3

證明過程參考性質1.

性質的幾何特征：三次曲線與直線相交或者相切.

性質的代數特征：存在不全相等的3個實數x1，x2，x3或1個實數x1，2個虛數x2，x3(本文主要研究前者)，使得f(x1)-kx1=f(x2)-kx2=f(x3)-kx3=m(k，m為常數).

二 巧解高考題

例1 (2021全國卷文乙21)已知函數f(x)=x3-x2+ax+1.(Ⅰ)討論f(x)的單調性；(Ⅱ)求曲線y=f(x)過坐標原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標.

分析：題設中出現直線與三次函數圖像相切的情形，這符合性質的幾何特征.

例2 (2016年天津理科20)設函數f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R.(Ⅰ)求f(x)的單調區間；(Ⅱ) 若f(x)存在極值點x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；

分析：(Ⅱ) 中呈現性質的代數特征f(x1)=f(x0)，其中性質中的k取0.

(Ⅱ)如圖4，由圖像可知，x0是直線y=f(x0)與題中三次函數圖像相切時，對應切點的橫坐標點，x1是直線y=f(x0)與該曲線的另一個交點橫坐標，由性質2或者用三次方程韋達定理易證.

圖4

分析：若將題設中函數f(x)的零點問題轉化曲線y=x3+bx與直線y=-c的圖像的交點橫坐標問題，這符合性質的幾何形態.

圖5

三 巧解競賽題

回顧近幾年教師比賽、高中數學聯賽、強基測試中的三次函數試題，發現這類試題均考察上述性質，以下筆者給出部分試題的分析.

例1 (2021年11月浙江省高中數學教師優質

課解題競賽)已知三次函數f(x)=x3-x，設P0(x0,y0)為函數y=f(x)對應曲線C上異于對稱中心的任意一點，在點P0處切線l0交曲線于P1點，在P1點處的切線l1交曲線于P2，求三角形P0P1P2面積(用x0表示)

圖6

例2 (2019貴州預賽)設a,b,c是互不相等的實數， 多項式P(x)=x3+3x2+5x+7滿足P(a)=b+c，P(b)=a+c，P(c)=a+b，則a+b+c=.

分析：P(a)+a=P(b)+b=P(c)+c(即性質中k取-1).令a+b+c=t，則P(a)=-a+t，P(b)=-b+t，P(c)=-c+t，故a,b,c均為曲線P(x)=x3+3x2+5x+7與直線y=-x+t交點的橫坐標，由性質易得a+b+c=-3.

例3 (2021清華強基8)已知a,b,c是不全相等的實數且滿足a=ab+c,b=bc+a，c=ac+b，則a+b+c=.

分析：題干為與a,b,c有關的三個三元二次方程，且為a,b,c輪換式，目標a+b+c也是輪換式，故考慮尋找a,b,c的同解三次方程，即a,b,c為三次曲線與直線y=0(即性質中k，m均取0)的交點的橫坐標.采用消元的策略，最后化簡得到c3-3c2+3=0，b3-3b2+3=0，a3-3a2+3=0，故a+b+c=3.

解題是我們老師最熟悉的動作，往年的考試真題則是我們的百寶箱.解題不能僅僅囿于問題的解決，而應在解題后，對高考題進一步觀察、聯想、探索，完成從一道題到一類題的轉化.老師應當儲備深厚的學科知識和敏銳的洞察力，甄選試題，尋找試題之間聯系，揭示試題的規律，幫助學生更好理解數學，提高學習效率，將數學學習指向深處.