2022年全國理科甲卷第23題的多解及推廣

四川師范大學數學科學學院 (610068) 謝志強 楊 志 四川省什邡中學 (618499) 紀定春

1 試題呈現

2 試題多解

2.1 問題(1)的多解

解法1：(柯西不等式法)高中數學選修4-5定義了柯西不等式，若a1，a2，b1，b2都是實數，則(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1a2+b1b2+a3b3)2，當且僅當ai=kbi時等號成立.由柯西不等式有(a2+b2+4c2)(12+12+12)≥(a+b+2c)2.因為a2+b2+4c2=3，所以a+b+2c≤3.

解法3：(構造函數法)考慮構造二次函數f(x)=(a2+b2+4c2)x2+2(a+b+2c)x+3，顯然可得f(x)=(ax+1)2+(bx+1)2+(2c+1)2≥0.由于這個二次函數大于等于零恒成立，所以判別式△≤0，故△=4(a+b+2c)2-4(a2+b2+4c2)·3≤0，化簡后可得a+b+2c≤3.

解法4：(二元均值不等式法)因為(a+b+2c)2=a2+b2+4c2+2ab+4ac+4bc=3+2ab+4ac+4bc，由二元均值不等式可知a2+b2≥2ab，a2+4c2≥4ac，b2+4c2≥4bc.因此，(a+b+2c)2≤3(a2+b2+4c2)=9，故a+b+2c≤3.

解法5：(作差法)考慮將不等式兩邊同時平方后再作差，問題化為證明9-(a+b+2c)2≥0成立.因為9-(a+b+2c)2=3(a2+b2+4c2)-(a+b+2c)2=2a2+2b2+8c2-2ab-4ac-4bc=(a-b)2+(b-2c)2+(2c-a)2≥0，即a+b+2c≤3.

解法11：(判別式法)令a+b+2c=t，a2+b2+4c2=3，聯立可得a2+b2+(t-a-b)2=3，展開后整理可得2a2+a(2b-2t)+2b2+t2-2tb-3=0.由于方程有解，故△1=-3b2+2bt-t2+6≥0，即-3b2+2bt-t2+6≥0.再由△2=(2t)2-4×(-3)·(6-t2)≥0，可得t2≤9，故t≤3，即a+b+2c≤3成立.

2.2 對問題(2)的多解

3 試題的推廣

3.1 對問題(1)的推廣

評注：該推廣是將原問題中的3推廣為m，證明方法同解法1.

推廣2已知a，b，c均為正數，且a3+b3+(2c)3=3，證明：a+b+2c≤3.

評注：此推廣將原問題中字母次數推廣，即2次推廣為3次，證明方法同解法7.

評注：此推廣是將條件中的2次，推廣為3次，常數3推廣為m，證明同解法7、8.

評注：此推廣是將原問題中的常數3推廣為m，且字母由原來的2次，推廣為n次.

評注：該推廣將條件中元的個數推廣為n個，證明方法同解法1.

評注：該推廣將條件中元的個數推廣為n個，次數也推廣為n次，證明方法同解法7和解法8.

3.2 對問題(2)的推廣

評注：該推廣是將條件中的次數推廣為3次，證明方法，可以運用權方和不等式.

評注：該推廣是將條件中的次數推廣為n次,其證明方法還是可以運用權方和不等式.

評注：該推廣是推廣2中元的個數由2元推廣到n元.

評注：該推廣是將問題2中次數推廣到3次.

評注：該推廣是將推廣4中的次數推廣到n次.

需要注意的是，上述推廣內容，不一定全部適用于高中學生，而是需要根據學生的學習情況，有選擇性的將上述推廣納入數學課堂教學使用.