對2022年全國新高考Ⅰ卷22題Ⅱ問的探究*

四川省內(nèi)江市開放大學中學部 (641100) 嚴豪東 內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 (641100) 劉成龍

一、試題再現(xiàn)

(Ⅰ)求l的斜率;

本題以雙曲線為載體,主要考查解析幾何中的設線、解點與面積計算.該試題內(nèi)涵豐富,解答入口寬,是考查學生運算能力、推理能力等學科素養(yǎng)的良好載體.

二、試題立意

試題的立意是指試題所包含的主要思想.[1]本例立意深刻,下面從基礎知識、思想方法、核心素養(yǎng)三個方面進行分析.

(1)基礎知識立意:命題者在遵循課程標準的前提下,以雙曲線為載體,考查了高中數(shù)學的主干知識:雙曲線方程、誘導公式、兩直線夾角公式、三角形面積公式等,這有導向高中數(shù)學教學夯實基礎、著力主干之意.

(2)思想方法立意:本題涉及函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化與思想、數(shù)形結合思想等多種數(shù)學思想,對引導數(shù)學學習重視數(shù)學思想方法具有積極意義.

(3)核心素養(yǎng)立意:本題解答涉及較為復雜的運算和推理,充分考查數(shù)學運算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng);解答(Ⅱ)問建構“兩直線夾角”模型,考查數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學建模素養(yǎng);整個解答過程中建立了形與數(shù)間的聯(lián)系,利用圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,考查直觀想象素養(yǎng).

三、試題解法

從系統(tǒng)論來看,一個數(shù)學問題就是一個相對獨立的系統(tǒng),對系統(tǒng)的處理(解題)就是把系統(tǒng)中一個個零散的信息按照一定順序串在一起形成一個有機整體.一題多解是解法研究的基本形式,體現(xiàn)的是信息組合的多樣性和思維策略的靈活性[2].下面給出本題(Ⅱ)的解答.

分析:解答分為三步：求斜率kAP、kAQ，求三角形的各點坐標，求面積.

3.1 求斜率kAP、kAQ

圖1

圖2

3.2 求三角形的各點坐標

3.3 求△PAQ的面積

圖3

法3：(分割三角形法)過三角形的某一個點作與x軸或y軸的平行線,將原三角形分割成兩個一條邊與坐標軸平行的三角形,分別求出面積后相加.

圖4

注:由于篇幅問題,作y軸平行線的做法請讀者自證.

圖5

注:由于篇幅問題,補足直角梯形求面積的做法請讀者自證.

圖6

注:海倫公式計算量過大,在此不予展示,有興趣請讀者自證.

四、試題變式

變式是指相對于某種范式,不斷變更問題情境或改變思維角度,使事物的非本質(zhì)屬性時隱時現(xiàn),而事物的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式.變式能有效控制題海戰(zhàn)術,幫助學生形成良好的認知結構[2].

4.1 變試題求解目標

4.2 變試題求解目標及條件

4.3 變試題背景及條件

4.4 變試題背景、求解目標及條件

五、試題推廣

數(shù)學推廣是指根據(jù)問題結構或解決方法,將數(shù)學問題從一個較小的范圍拓展到更大范圍的研究過程.數(shù)學推廣對培養(yǎng)問題意識、完善認知結構、體驗研究歷程、增強創(chuàng)新能力具有積極意義[3].