再談數(shù)列一個性質(zhì)的證明

江蘇省昆山中學(xué) (215300) 季剛祥 吳祖燕

性質(zhì)如果各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列和一個等差數(shù)列，首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相等，那么等比數(shù)列的各項(xiàng)均不超過等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng).

文[1]中，運(yùn)用函數(shù)思想通過恰當(dāng)?shù)膿Q元，將上述數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為一個與冪函數(shù)相關(guān)的不等式問題來解，并給出了函數(shù)不等式的幾何解釋.讓讀者既能感受到思路的巧妙、解法的合理又能體會到幾何的直觀，真的受益匪淺.在研讀文[1]的過程中，筆者又得到了上述性質(zhì)的另兩種證法，現(xiàn)陳述如下，供大家參考.

易知p=1，即a=b及x=0，即k=1以及x=1，即k=n時，不等式取等號.下證當(dāng)p>0且p≠1，0

圖1

(3)式是“指數(shù)函數(shù)y=px的圖像在(0,1)這一段曲線上的任意一點(diǎn)P(x,px)與點(diǎn)Q(0,1)連線的斜率恒小于過曲線的兩個端點(diǎn)(0,1)和(1，p)的弦的斜率”.因?yàn)閥=px是凹函數(shù)，所以上述結(jié)論成立如圖2所示.

圖2

評注：(1)上述兩種證法的共同點(diǎn)都是將數(shù)列

不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式來解決，揭示了事物的特殊性寓于普遍性這一辯證思想，解題的關(guān)鍵是巧妙變形、合理換元、科學(xué)構(gòu)造，體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化及函數(shù)等基本的數(shù)學(xué)思想方法，同時兩種解法的幾何解釋又從形的角度直觀明了地驗(yàn)證了通過邏輯推理得到的數(shù)學(xué)事實(shí).