巧用“兩招”突破解三角形的解題障礙點

福建省永春第一中學 (362600) 張隆億

解三角形問題，能有效考査學生對正弦定理、余弦定理和三角恒等變換等基礎知識，常出現在選擇題、填空題與解答題之中，備受命題者的青睞.本文結合解三角形試題特點，梳理破解解三角形問題障礙點的兩招.

第一招：利用方程思想突破解三角形的解題障礙點

涉及多個三角形的解三角形試題，往往是通過解條件充分的三角形進而求出其他的邊角，抓住條件較豐富的兩個三角形以及它們公共的邊角.常見的解法是運用方程思想設元并根據題中的等量關系(等角、角互補、作平行線、作高、向量關系、面積關系、建立平面直角坐標系等)列方程(組)求解問題.因此，抓住方程思想的本質，提高思想認識,強化方程思維意識是解決這類問題的關鍵.

例1 (2022·泉州質檢二)在ΔABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosB=2c-b，△ABC內一點P滿足：PB⊥PC，∠APC=120°，且AC=3AB=3，求tan∠ACP.

分析：如圖1，涉及∠ACP的三角形ΔAPC中，已知的條件只有AC=3，∠APC=120°，顯然條件不夠，但與△APC有公共邊，與△ABP也有兩個條件AB=1，∠APB=150°.因此，應該抓住△APC、△APC這兩個三角形找出等量關系，列方程，進行求解.結合正弦定理及三角恒等變換，三角恒等變換即可求A=60°.

圖1

例2 (2021·高考卷Ⅰ改編)記△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知點D在邊AC上，b2=ac，AD=2DC，BD=b，求cos∠ABC.

分析：如圖2，涉及∠ABC的三角形只有△ABC，但其條件不夠.而三角形△ABD、△BCD涉及主要條件AD=2DC，BD=b，所以以退為進,通過△ABD、△BCD、∠ABC三個三角形中的兩個三角形，找出a，b，c之間的聯系.該題屬于爪型三角形模型，常見有以下解法.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

例4 (2015·新課標Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°.BC=2，則AB的取值范圍是.

分析：如圖7，平面四邊形ABCD四個角及邊BC確定，AD在△BCE內平行滑動，涉及AB的有△ABD，△ABC，但條件仍然不夠，且較難整合所有條件，而△ADE卻可以.因此抓住△ADE，△BCE這兩個三角形找出等量關系，列方程，進行求解.

圖7

第二招：利用動態三角形背景突破解三角形的解題障礙點

涉及動態三角形問題直接求解往往比較困難，一般運用化歸與轉化的數學思想，將動態三角形轉化為定的軌跡或位置.常見動態三角形背景如下：

(1)圓：動態三角形中只知道一邊及其對角；動態三角形中一邊確定另外兩邊互相垂直；動態三角形所在的四邊形對角互補；動態三角形中一邊確定另外不等兩邊滿足倍數關系(阿氏圓)；推廣的托勒密定理(四邊形ABCD中，AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當四邊形ABCD為圓內接四邊形，等號成立)；題設條件等.

圖8

(2)橢圓：動態三角形中一邊固定，另外兩邊和為常數；動態三角形中某兩個角的正切之積為(0,1)常數(橢圓第三定義)等.

圖9

(4)三角形：動態三角形所在的四邊形延長某兩邊交于一點，所得的三角形不變.

圖10

圖11

例4另解：如圖12，抓住動態四邊形ABCD始終在確定的三角形△BCE內平行滑動，運用極限思想可便捷得出答案.

圖12

例5 (2022·蚌埠校級模擬)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若a+c=4，2sinB=sinA+sinC，則△ABC的面積的最大值為.

圖13

變式在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若a-c=2，b=4，O為AC，則OB的取值范圍為.

析解：由BA-BC=2

簡而言之，涉及多個三角形的解三角形問題，正常思路受阻時，可以抓住條件充分的兩個或以上三角形，運用函數方程思想突破解題障礙；涉及動態三角形的解三角形問題的解題關鍵是抓住動點的軌跡，運用軌跡思想、極限思想等方向思考解決問題的方法，化繁為簡、化難為易，從而突破解題障礙.