從“題目解決”到“問題本質”的探究
——對2022廣東省一模導數題的背景思考

廣東省東莞實驗中學 (523120) 蔡瑞卿

一 原題呈現

題目已知f(x)=lnx+ax+1，f′(x)為f(x)的導函數.

(1)若對任意x>0都有f(x)≤0，求a的取值范圍；

本題是2022年廣東一模第21題，考察學生運用導數工具探索函數性質的能力，解題過程涉及零點存在定理，導數運算及其幾何意義，運用導數研究函數的單調性等知識.設問中涉及x1，x2，a，x0四個變量，結構新穎，解題思路開放，解題過程蘊含了數形結合，分類討論，轉化與化歸，函數與方程等豐富的數學思想.第(1)問常規設問答題起點較低，考查學生對基礎知識，基本方法和基本技能的掌握，無論是通過分類討論，還是分離變量法，學生基本上能夠理清思路快速解決問題.第(2)問變量較多，解決問題的突破口難以尋找，思路的方向不易尋找，需要學生在把握基本思路的基礎上，通過運算找到解決問題的契機,考查到學生分析問題和解決問題的能力，以及邏輯推理，數學抽象，數學運算等核心素養.

解：(1)易得a≤-1(過程略).

二 背景分析

該題第(2)問證明的結論實際是大學《數學分析》課程中的拉格朗日中值定理，該定理是高考函數與導數壓軸題中的高頻選題背景，在近些年全國卷中屢有出現，《普通高中數學課程標準(2017年版)》對高中數學課程的結構進行變革，也在選修課程A類“導數與微分”一章中引入拉格朗日中值定理，指導學生運用拉格朗日中值定理證明不等式，為學生將來步入大學學習高等數學打下堅實基礎.這樣的調整是對拉格朗日中值定理重要性的有力證明，一線教師應當能夠理解運用該定理并將其作為教學教研的有力工具.

三 真題舉例

近些年以拉格朗日中值定理為背景的高考題頻繁出現，例如：

(1)討論f(x)的單調性；

例2 (2017年新課標全國Ⅱ卷文)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

例3 (2016全國新課標Ⅱ卷文科21題)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若x∈(1,+∞),f(x)>0，求a的取值范圍.

四 變式研發

對2022廣東一模導數題的背景發掘，一方面可以開闊學生解決問題的思路，提高學生對高觀點知識的興趣，加強學生進一步學習數學的信心；另一方面借助拉格朗日中值定理，可以更方便地對題目進行變式教學，為一線教師對高考題的教學研究提供一般路徑和方法.例如通過觀察用拉格朗日中值定理解決16-18年全國卷導數壓軸題的步驟發現，只要對解題過程中的g(x)進行不同類型的函數變換，就可以生成不同拉格朗日中值定理背景的恒成立問題，形成豐富的高觀點變式訓練題目.

變式1 已知函數f(x)=xlnx-a(x-1)，若x∈(1,+∞),f(x)>0，求a的取值范圍.(取g(x)=xlnx，答案：a≤1)

綜上可見，“把握數學本質，啟發思考，改進教學”是新課標的重要理念，高觀點背景的發掘和方法的探究，有助于幫助學生揭示問題的數學本質，啟發學生找到解決問題的正確方向和先進方法，更加深刻地理解問題，提升學生學習數學的興趣，具備更廣闊的數學視野.為此，一線教師應當把握合適的契機，為學生探究和掌握高觀點知識做好鋪墊，找準初等數學與高等數學的結合點，為學生學習更豐富的數學知識搭建好的平臺.同時，教師只有具備了更多高觀點的數學知識，對問題的理解才能更接近本質，進而提升自身專業能力和教學水平.