以問題為核心 促進深度學習*
——對一道向量運算題的多角度分析

廣東省清遠市佛岡縣第一中學 (511600) 陳晉城

向量是描述客觀世界規律的重要數學模型，它的應用促進了復數、三角函數、幾何等問題的解決，它在高考中可以單獨命題也可以滲透于三角或者立體幾何中，地位不容忽視.本文以筆者在高三復習課中遇到的一道高考模擬題為例，通過多角度、多層次的分析問題，解決問題的深度學習過程，希望能給給讀者帶來一些啟示.

1 題目呈現

本題是廣東省肇慶市2021屆高中畢業班第三次統一檢測試題第6題.題目以等腰直角三角形為載體提供了一個關于向量運算的數學思維情境，主要考察學生分析、推理、運算、抽象、數形結合等關鍵能力，通過對本題的深度學習，可以使學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養得到提升.

2 解法探究

角度1：坐標法

分析：因為問題是以等腰直角三角形為載體設計的，另外涉及的兩個點分別是直角邊和斜邊的中點，可以很容易建立平面直角坐標系并寫出相關向量的坐標.

圖1

評注：運用坐標法解決向量問題，最關鍵的是利用“直角”建系，但這個“直角”有時是隱含的，有時需要重新新構造.

角度2 平面向量基本定理

分析:觀察本題圖像特征及問題呈現，依據平面向量的基本定理，可以選定一個合適的基底，則等式中的所有向量都可以用基底唯一表示出來.因為基底不是唯一的，所以選擇不同的基底，同一個向量則有不同的表示方式，但是等式中的參數結果不會改變.

圖2

評注：運用平面向量基本定理的過程中，選擇不同的基底最，則轉化的過程、難易不同.老師要鼓勵學生大膽嘗試；引導學生重視圖像的分析功能；培養學生數形結合的良好習慣.

角度3：平面向量加法減運算法則

分析：確定一個基底，就相當于向量的轉化有了目標，而實現這個目標的手段就是平面向量加減法的三角形法則或平行四邊形法則.

圖3

圖4

評注：利用圖像把題中向量間的直觀呈現出來，通過平移、轉化等把等式中的向量及與之關聯的向量轉移到同一個三角形或者平行四邊形上去，達到三角形法則或者平行四邊形法則的使用條件，體現了化歸、轉化的思想，數形結合的思想也表現得淋漓盡致.

角度4 方程思想

分析：解二元一次方程組時，常法是代入消元法和加減消元法，把方程組轉化為一元一次方程求解，這當中最重要的一步是“消元”.類比解二元一次方程組的解法，可以把λ、μ看成是兩個“元”，只要能消去一個“元”就可以得到只有一個“元”的等式進而得解.

評注：在解法6的基礎上，把坐標運算滲透其中，使轉化過程量和計算量都降下來，達到了一個事半功倍的效果，避免“小題大做”.因為有“直角”，所以聯想到運用“互相垂直的兩個非零向量的數量積等于零”以達到消元的目的.但也提出了一個問題：利用方程的思維方法求解類似問題時，如果條件中沒有“直角”，那要怎么消元？

評注：對解法6、7進一步分析發現，若構造與已知向量“垂直的”、“好用(算)的”向量，則可以不受題目條件是否有包含“垂直”這一條件的影響.我們常說做數學題“有條件要用，沒有條件創造條件也要用”，正是在解法6、7方法的基礎上不斷改進，發現可以“創造”特殊向量作為消元的“催化劑”.這是數形結合、坐標法、方程思維等綜合運用的成果.

4 反思總結

數學解題必須進行有根據的運算和合邏輯的判斷，體現數學的求實精神與懷疑的態度，數學解題常常進行“嘗試、猜想、辨析”等探索步驟，又體現數學的探索性和創造性.這一切都要求學生以充分的論據去評判事物的真偽，把握事物的內在規律，提高發現事實和反駁謬誤的能力，貫穿一種相信自我、理性分析、縝密推理、求實創新的嚴謹態度[1].

向量的坐標運算、線性運算、數量積運算都是向量的基本運算，是研究三角、立體幾何、復數等的有效方式方法，也是研究物理學、工程學等學科的重要理論工具，因此，我們在教學中必須要能足夠重視它.同時，向量運算要求學生熟悉相應的數學情境，了解運算的對象，能夠分析已有條件與問題之間的聯系，能夠分析問題的特征與呈現的形式，提出運算方案，并形成恰當的思維模式，這是數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的本質所在，是當下學生需要提升的能力.因此，向量運算提升核心素養方面的非常好的載體.

本案例中，基于向量的特征，向量運算的學習、研究過程需要學習者在完整而深刻地理解相關數學知識的基礎上，全身心的投入、積極探究與建構、理解與批判，并有效遷移與運用已有學科知識及思維方法.如運用方程思維解答本題時，解法6用解方程的思維解答本題，其復雜程度遠超坐標法等，解法7將解法6進行改進，把坐標法滲透其中，使思維量、轉化過程、計算量都降下來.解法8則創造了“有條件要用”，沒有條件創造條件也要用”的解題思想，通過構造特殊的“好用(算)的”非零向量使向量運算特殊化.縱觀整個學習過程，進行了“嘗試、猜想、辨析、改進”等探索步驟，又體現數學的探索性和創造性.實現深度學習的目的.