數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開思辨 意義建構(gòu)數(shù)學(xué)概念
——以“生活中的比”一課教學(xué)為例

錢中華 羊 琴

(電子科技大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)小學(xué)，四川 成都 610051)

思辨是一種高階思維方式，強(qiáng)調(diào)批判、質(zhì)疑、反思，從多角度、全方位、全面看待事物，在認(rèn)知與理解中判斷、推理、重構(gòu)與解釋，祛除遮蔽和魅惑，擺脫局限和偏見，把握事物本質(zhì)屬性。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開思辨，就會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容“知其然，知其所以然”。也就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷探索、猜想、論證等繁復(fù)曲折的數(shù)學(xué)思考，符合數(shù)學(xué)邏輯規(guī)則從經(jīng)驗(yàn)判斷層面、追溯根源層面、邏輯思維層面對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(教學(xué)材料)的情況、類別、事理等展開全面、深刻的辨析、判斷，在認(rèn)知沖突的矛盾與反轉(zhuǎn)中重構(gòu)和解釋，理解知識(shí)產(chǎn)生原因，把握知識(shí)的本質(zhì)及關(guān)系結(jié)構(gòu)，意義建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生概念學(xué)習(xí)思辨，對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造、重構(gòu)，意義建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面以北師大版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)(上冊(cè))“生活中的比”一課為案例，進(jìn)行具體闡釋。

一、“生活中的比”教學(xué)前端的思考

教師在教學(xué)前端精準(zhǔn)把握概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，明確學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)出展開思辨的學(xué)習(xí)路徑，這是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開思辨、意義建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的前提。

1.理解把握“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，不僅是記住概念定義、認(rèn)識(shí)表示概念的符號(hào)，更為重要的是真正理解掌握概念的本質(zhì)屬性。這就要求教師在概念教學(xué)前端，透徹了解概念的發(fā)展過程，深刻理解把握概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。“比”是小學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)極為重要的數(shù)學(xué)概念，教材中將其定義為“像上面那樣，兩個(gè)數(shù)相除，又叫做這兩個(gè)數(shù)的比”。這一表述將“比”視為除法，“比”與除法只是符號(hào)和相關(guān)名稱的更改，顯然模糊了“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。那么，“比”的本質(zhì)到底是什么？

(1)“比”的歷史演變。為了把握“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有必要從數(shù)學(xué)史的視角了解“比”的發(fā)展過程。“比最初的意義并不是算術(shù)中的除法運(yùn)算，而是幾何中量之間的‘關(guān)系’…… 與幾何中度量的活動(dòng)密切相關(guān)，度量實(shí)際就是比較，比較自然會(huì)出現(xiàn)相同和不同的對(duì)象。”[1]這里“比”是同類量的度量，即確定一個(gè)單位標(biāo)準(zhǔn)去測量另一個(gè)同類的量，就得到一個(gè)比，兩個(gè)同類量是倍數(shù)關(guān)系。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《原本》中將“比”定義為“同類量之間的關(guān)系”[2]，就是對(duì)上述內(nèi)容的表達(dá)。后經(jīng)約翰·沃利斯、德·摩根等數(shù)學(xué)家對(duì)這一定義的解讀，“比”從幾何領(lǐng)域逐步進(jìn)入算術(shù)領(lǐng)域，進(jìn)而進(jìn)化到不同類量的比和兩個(gè)數(shù)的比，用除法運(yùn)算求比值。由此可知：“比”產(chǎn)生的根本原因是比較；路徑：幾何到算術(shù)，同類量到不同類量；“比”是兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，求比值用除法計(jì)算；有表達(dá)和度量功能。

(2)“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。關(guān)于“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，張奠宙先生定義為“‘比’是一種數(shù)量關(guān)系，不是除法運(yùn)算，只是在求比值時(shí)才要用除法；‘比’是為比例做準(zhǔn)備，并可以拓展為一種變量之間的自變量函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系的含義遠(yuǎn)超‘除法’；‘比’原本是同類量比較關(guān)系，但也可以推廣到不是‘同類量’的情形，同類量之比是‘源’，不同類量之比是‘流’；不同類量的比，不宜作為比的主要情境引入；同類量的比值沒有量綱，不同類量的比值一定有量綱。”[3]郜舒竹教授認(rèn)為“比具有‘關(guān)系’和‘運(yùn)算’兩種意義。”[1]史寧中教授等認(rèn)為“比的數(shù)學(xué)本質(zhì)：表達(dá)和度量兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系。”[4]朱立明博士等認(rèn)為“比是對(duì)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的刻畫。”[5]由此可知，“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量，不是除法運(yùn)算。基于以上分析可以明確：在“生活中的比”教學(xué)中應(yīng)緊扣“比較”的本真意涵，把同類量與不同類量的比分開進(jìn)行，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)簡略經(jīng)歷“比”產(chǎn)生、形成、發(fā)展的歷史演變，深刻理解“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.調(diào)查學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，奧蘇貝爾對(duì)此曾說：“如果我不得不把教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會(huì)說影響學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。弄懂了這一點(diǎn)以后，進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)。”[6]這就要求教師在教學(xué)前端深入分析學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，了解已經(jīng)知道了什么，這不僅是確定教學(xué)難點(diǎn)、把握學(xué)習(xí)生長點(diǎn)的需要，而且是為創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)、激發(fā)認(rèn)知沖突的教學(xué)情境提供可靠依據(jù)。

關(guān)于“比”，學(xué)生已有哪些經(jīng)驗(yàn)，可以通過教材邏輯、自我經(jīng)驗(yàn)、教師團(tuán)隊(duì)經(jīng)驗(yàn)、前測練習(xí)調(diào)查等進(jìn)行分析、了解。為了準(zhǔn)確把握學(xué)生對(duì)“比”的認(rèn)知儲(chǔ)備設(shè)計(jì)了如下問題：看見“比”，您想到了什么？在日常生活中，您聽說過哪些比？寫一個(gè)比，并舉例說明。調(diào)查六年級(jí)一個(gè)班全體學(xué)生(N=49)，結(jié)果如下：針對(duì)第一個(gè)問題，學(xué)生全部作答，想到的都是同類量相比，包括兩種情況：93.9%的學(xué)生比大小、比多少、比高矮、比長短、比快慢等；14.3%的學(xué)生想到了倍比。說明學(xué)生對(duì)比差認(rèn)識(shí)較深，在生活中接觸多；對(duì)不同類量的比缺乏了解。針對(duì)第二個(gè)問題，學(xué)生全部作答，包括三種情況：100%的學(xué)生聽說過球類比賽的比分；18.4%的學(xué)生聽說過房屋裝修沙、水泥、水三者的比；22.4%的學(xué)生聽說過煮米飯水與米的比等。說明學(xué)生對(duì)體育比賽的比分接觸多、感知深；對(duì)生活中具有數(shù)學(xué)意義的比了解少。針對(duì)第三個(gè)問題，學(xué)生作答情況：93.9%學(xué)生寫出了至少一個(gè)比，其中16.3%學(xué)生舉出了生活實(shí)例，并正確說理，其余的或說理錯(cuò)誤或舉例錯(cuò)誤或沒有舉例；6.1%學(xué)生沒有寫出比。

經(jīng)過前測練習(xí)調(diào)查，可以得出學(xué)生：對(duì)同類量的比有所了解，對(duì)不同類量的比缺乏了解；對(duì)比差認(rèn)識(shí)較為深刻，對(duì)比倍認(rèn)識(shí)膚淺；在生活中了解到比是球類比賽的比分或沙、水泥、水的配比；能正確書寫比，會(huì)借助生活實(shí)例解釋其意義的極少；對(duì)“比”的認(rèn)識(shí)基本符合“比”的歷史演變。

3.學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開思辨的學(xué)習(xí)路徑

學(xué)習(xí)路徑是指“學(xué)習(xí)活動(dòng)的路線與序列。學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)策略指導(dǎo)下，根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)、內(nèi)容、基礎(chǔ)與環(huán)境條件，對(duì)所需完成的系列學(xué)習(xí)活動(dòng)(含活動(dòng)中的各環(huán)節(jié))進(jìn)行排序。”[7]這表明：學(xué)習(xí)路徑是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)融為一體的活動(dòng)。因此，教師設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)路徑必須從“教”和“學(xué)”兩個(gè)方面思考。

在“生活中的比”教學(xué)中，要實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思辨，“教”必須提供引發(fā)思辨的教學(xué)材料。這就關(guān)涉兩個(gè)話題：學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)之間存在的“距離”，是教師捕捉學(xué)生認(rèn)知矛盾點(diǎn)和創(chuàng)設(shè)激發(fā)認(rèn)知沖突情境的根本所在；學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與“比”的歷史演變的符合程度，是教師重組教材和設(shè)計(jì)教學(xué)過程的關(guān)鍵所在。基于以上分析，設(shè)計(jì)出如圖1所示的學(xué)習(xí)路徑。

圖1 “生活中的比”學(xué)習(xí)路徑

二、提供學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開思辨的教學(xué)材料，意義建構(gòu)“比”的概念

數(shù)學(xué)教學(xué)材料是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思辨的對(duì)象，也是引發(fā)思辨的根本。在“生活中的比”教學(xué)中，教師以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)、“比”的歷史演變、“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)為依據(jù)，設(shè)計(jì)提供學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開思辨的教學(xué)材料，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷以上設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑，意義建構(gòu)“比”的概念，獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

1.創(chuàng)設(shè)引發(fā)認(rèn)知沖突的問題情境，讓學(xué)生在猜想、論證中理解兩個(gè)同類量的“比”是倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量

問題情境是教學(xué)材料的重要組成部分，教師“創(chuàng)設(shè)問題情境，其主要任務(wù)就是把概念和定理中的數(shù)學(xué)關(guān)系由已知轉(zhuǎn)化為需要思考和探索的未知關(guān)系，并置于與學(xué)生相關(guān)的現(xiàn)實(shí)背景中。其核心意義在于激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。”[8]表明了創(chuàng)設(shè)問題情境要抓住情境主題的數(shù)學(xué)價(jià)值、內(nèi)容本質(zhì)、具有探究性、學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的銜接點(diǎn)和矛盾點(diǎn)。正是在這個(gè)意義上，創(chuàng)設(shè)了如下教學(xué)情境，幫助學(xué)生突破對(duì)“比”的認(rèn)知局限。

師：觀察屏幕上的圖形(如圖2)，有哪些發(fā)現(xiàn)？

圖2

師：老師選擇的(以上)5個(gè)答案，可以分成幾類？

生：可以分成3類：第一類含①，線段AB、CD的長度；第二類包含②③，比較線段AB、CD的長短；第三類包含④⑤，線段AB是CD的幾倍或CD是AB的幾分之幾。

師：第二類和第三類有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同：都要與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。不同：第二類是用減法比線段長短；第三類是用除法所得倍數(shù)比長短。

師：第二類已經(jīng)學(xué)過，第三類就是我們這節(jié)課研究的話題：生活中的比。

師：AB是CD的2倍，即8是4的2倍，稱為8比4，記作8∶4，8叫前項(xiàng)，4叫后項(xiàng)，“∶”叫比號(hào)；通過8÷4得到8∶4的結(jié)果是2，叫比值。8∶4表達(dá)了AB與CD的倍數(shù)關(guān)系，以CD為標(biāo)準(zhǔn)去度量AB，可以量2次，也就是2倍，標(biāo)準(zhǔn)作后項(xiàng)，被度量對(duì)象作前項(xiàng)。

教學(xué)以“您有哪些發(fā)現(xiàn)”這個(gè)開放性問題切入，激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過觀察、分析、比較、評(píng)估、綜合等對(duì)圖形(學(xué)習(xí)對(duì)象)情況、事理進(jìn)行思考，得出多個(gè)答案；再引導(dǎo)學(xué)生辨析其中5個(gè)答案的異同點(diǎn)，明確兩個(gè)同類量可以差比和倍比；進(jìn)而點(diǎn)明本節(jié)課探究的比是倍比，這與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)“差比”相矛盾，激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突。最后介紹“比”各部分名稱以及求比值，結(jié)合學(xué)生對(duì)倍的理解，讓學(xué)生感知“比”是兩個(gè)同類量的倍數(shù)關(guān)系，以及用單位標(biāo)準(zhǔn)去度量另一個(gè)量。在這個(gè)過程中，強(qiáng)調(diào)了兩個(gè)同類量的比較，學(xué)生學(xué)習(xí)圍繞問題展開思辨，體會(huì)“比”因比較而產(chǎn)生。

師：觀察屏幕上的圖形(如圖3)，你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

圖3 圖形比較

學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、比較、分類，發(fā)現(xiàn)：有5張大小不同的相片，B、D與A像，C、E與A不像；相片放在正方形方格紙上，每個(gè)正方形方格的邊長是1；A的長寬分別是6和4，B的長寬分別是3和2，C的長寬分別是12和3，D的長寬分別是12和8，E的長寬分別是12和2。提出“①這5張相片誰的面積(周長)大？②B、D與A為什么像？ C、E與A為什么不像？”等諸多問題。

師：現(xiàn)在我們一起來探討“B、D與A為什么像？ C、E與A為什么不像？”其余問題課后自己解決。

學(xué)生經(jīng)過自主研究、同桌討論，然后交流匯報(bào)。

生：A的長是寬1.5倍，6∶4=1.5；B的長是寬的1.5倍，3∶2=1.5；D長是寬的1.5倍，12∶8=1.5；可知，6∶4=3∶2=12∶8=1.5；所以B、D與A像。C的長是寬4倍，12∶3=4；E的長是寬的6倍，12∶2=6；12∶3≠12∶2≠6∶4；所以，C、E與A不像。

師追問：既然同學(xué)們都理解了，老師還有疑問：為什么用長寬的比來判斷這些與A像或不像呢？

生：①比較5張相片面積(周長)的大小，不能得出像不像；②比較相片的長或?qū)挼拇笮。荒艿贸鱿癫幌瘢虎郾容^相片的長之差或?qū)捴睿荒艿贸鱿癫幌瘢虎鼙容^每張相片的長寬之差，不能得出像不像。所以，就比較每張相片的長寬之比。

縱觀這個(gè)過程，學(xué)生通過對(duì)圖形的觀察、分析、比較、分類，作出猜想“B、D與A像，C、E與A不像。”然后，運(yùn)用排除法對(duì)各種情況、類別、事理進(jìn)行辨析，達(dá)到對(duì)猜想的評(píng)估與論證，不僅感悟“比”產(chǎn)生的必要性，理解比、除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，并且加深理解因比較才有比。強(qiáng)調(diào)了比是同類量的比較，是用單位標(biāo)準(zhǔn)去度量另一個(gè)同類量的表達(dá)，單位標(biāo)準(zhǔn)作后項(xiàng)、另一個(gè)同類量作前項(xiàng)。

2.搭建引發(fā)認(rèn)知沖突的腳手架，讓學(xué)生在判斷、重構(gòu)中理解兩個(gè)不同類量的“比”是倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，從理性、感性層面展開思辨，需要教師立足最近發(fā)展區(qū)，搭建引發(fā)認(rèn)知沖突的腳手架，幫助學(xué)生意義建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。基于“比”包括同類量之比和不同類量之比兩種情況，并且學(xué)生剛學(xué)同類量之比，教師搭建了學(xué)生學(xué)習(xí)的如下腳手架：

根據(jù)題目提供的條件，您能寫出比嗎？

①我們班男生有25人，女生有24人。

②“新冠”疫情期間，學(xué)校常用84消毒液對(duì)校園消毒，按要求：1 000 mL水加84消毒液10 mL。

③行15 km，需要3 h。

④在一杯糖水中，有蔗糖10 g，水100 g。

⑤某商場規(guī)定：顧客每買5支牙膏送2把牙刷。

⑥買3 kg蘋果，需要人民幣42元。

學(xué)生通過探索、分析、判斷，得出：①可以是男生與女生之比25∶24或女生與男生之比24∶25；②可以是84消毒液的體積與水的體積之比10∶1 000或水的體積與84消毒液的體積之比1 000∶10；④可以是蔗糖的質(zhì)量與水的質(zhì)量之比10∶100或水的質(zhì)量與蔗糖的質(zhì)量之比100∶10。針對(duì)③⑤⑥有的認(rèn)為可以寫出比，有的認(rèn)為不能寫出比。

師：根據(jù)①②④，真的可以寫出兩個(gè)比嗎？

生：可以。每個(gè)題目都是兩個(gè)同類量，單位標(biāo)準(zhǔn)不同，后項(xiàng)就不同，寫出的比就不同。如①中，女生是單位標(biāo)準(zhǔn)，去度量男生，比是25∶24；男生是單位標(biāo)準(zhǔn)，去度量女生，比是24∶25。

師：根據(jù)③⑤⑥，有同學(xué)認(rèn)為不能寫出比，理由是什么？

生：這三個(gè)題目中的兩個(gè)量不是同類量。

師：根據(jù)③⑤⑥，有同學(xué)認(rèn)為能寫出比，理由是什么？

學(xué)生通過對(duì)6個(gè)題目的分析、判斷，將其分成兩類：同類量和不同類量。針對(duì)兩個(gè)不同類量能否形成比與原有認(rèn)知(兩個(gè)同類量的比)產(chǎn)生沖突，在教師的追問、引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)受矛盾與反轉(zhuǎn)、思考與辨析，溝通與兩個(gè)同類量比的聯(lián)系，將兩個(gè)同類量比的意義遷移到不同類量，理解單位標(biāo)準(zhǔn)度量另一個(gè)不同類量，產(chǎn)生新“量”，重構(gòu)出不同類量的比是倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量，也打通比、除法、分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.設(shè)計(jì)提供概念正反例證，讓學(xué)生在辨析、反思、解釋中深度理解“比”的本質(zhì)

學(xué)生概念學(xué)習(xí)是一個(gè)過程，通過正例理解把握概念對(duì)象“不變”的本質(zhì)屬性，剔除“可變”的非本質(zhì)屬性；通過反例，主要是概念外延反例，強(qiáng)化對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。教師立足概念內(nèi)涵，設(shè)計(jì)提供概念正反例，旨在引發(fā)學(xué)生反思，對(duì)正反例進(jìn)行甄別、辨析、判斷，展開富有深度的數(shù)學(xué)思考，在解釋說理中理解把握概念本質(zhì)屬性。

(1)下面哪些說法是正確的？哪些是錯(cuò)誤的？簡要說明理由。

②游艇上有12人，平均身高157 cm，身高與人數(shù)的比157∶12。

③蝸牛2h全速爬行的路程是17 m，路程與時(shí)間之比是17∶2。

④混凝土由水、沙、碎石組成，在某一時(shí)刻的比是4∶2∶3。

⑤紅、藍(lán)兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，比分16∶8。

⑥笑笑身高1.4 m，媽媽身高165 cm，笑笑與媽媽身高的比1.4∶165。

學(xué)生經(jīng)過分析、比較、評(píng)估、判斷，對(duì)各題目作出解釋：

②錯(cuò)誤。游艇上的人數(shù)與平均身高是不同類量，不能以人數(shù)為單位標(biāo)準(zhǔn)度量平均身高。

③正確。路程與時(shí)間是兩個(gè)不同類量，以時(shí)間為單位標(biāo)準(zhǔn)度量路程，比是17∶2，產(chǎn)生一個(gè)新量速度。

④錯(cuò)誤。比是兩個(gè)同類量的倍數(shù)關(guān)系，有單位標(biāo)準(zhǔn)，可以度量。水、沙、碎石是三個(gè)同類量(體積)，不能以沙或碎石為單位標(biāo)準(zhǔn)，去度量其余的量。

⑤錯(cuò)誤。籃球比賽的比分是比差，表達(dá)的是誰比誰多多少分，不能表達(dá)倍比。

⑥錯(cuò)誤。笑笑身高、媽媽身高是兩個(gè)同類量，同類量的比在寫成比時(shí)，要么帶單位，要么單位統(tǒng)一；而題目中寫成1.4∶165，顯然長度單位沒有統(tǒng)一。

圖4

(2)根據(jù)圖4，可以寫出哪些比？并求出比值。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師設(shè)計(jì)提供的概念正反例以兩種題型呈現(xiàn)：一是判斷正誤并說明理由；二是根據(jù)圖形寫比并求比值。針對(duì)(1)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，運(yùn)用已儲(chǔ)備的比的認(rèn)知，對(duì)每個(gè)題目進(jìn)行分析、比較、推理、判斷，辨析正誤，理解例證意義，給予解釋，說清楚道理；深化理解兩個(gè)同類量和不同類量“比”的內(nèi)涵，把握兩個(gè)量可比是“比”的前提，同類量比單位要一致且比值是“率”，不同類量比產(chǎn)生新“量”。針對(duì)(2)，學(xué)生立足“比”的概念，經(jīng)過對(duì)圖形的分析、比較、綜合、辨析，再次理解“比”是兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量，這個(gè)“比”可以是整體(圓)與部分(白色或灰色扇形)的比，也可以是部分(白色或灰色扇形)與部分(灰色或白色扇形)的比。學(xué)生通過對(duì)正反例證的辨析、遷移運(yùn)用、拓展完善、解釋說理，深度理解“比”的本質(zhì)與關(guān)系結(jié)構(gòu)(如圖5)，意義建構(gòu)“比”的概念。

圖5 “比”的本質(zhì)與關(guān)系結(jié)構(gòu)

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)、概念發(fā)展過程及數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)計(jì)提供學(xué)生概念學(xué)習(xí)引發(fā)思辨的教學(xué)材料。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圍繞教學(xué)材料展開思辨，在簡略經(jīng)歷概念歷史演變的過程中進(jìn)行分析、比較、分類、甄別、評(píng)估、推理、判斷、解釋、說理等，理解概念本質(zhì)屬性和關(guān)系結(jié)構(gòu)，意義建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。