把握教材內容邏輯 促進算理算法融通
——基于三版本教材“分數除法”單元的比較分析

魏 先 玲

(深圳市寶安區(qū)海港小學，廣東 深圳 518102)

分數除法既是分數乘法的延伸，也是整數除法運算的擴展。在日常教學中，學生對于分數除法的運算法則能夠靈活運用，但對于為什么可以這樣運用，卻說不清、道不明，這就涉及分數除法算理與算法的貫通關系。《義務教育小學數學課程標準(2011年版)解讀》指出：“學生不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據題目條件尋求正確的運算途徑。”[1]教育家顧泠沅曾說過：分數以及分數的運算是整個小學階段乃至初中階段數學學習的關鍵內容，學生對分數及其運算的理解困難，會成為以后數學學習道路的阻礙。可見，將分數除法的算理和算法進行融會貫通，對于學生正確運用算法、深入理解算理至關重要。

數學知識主要通過數學教材來承載[2]，分數除法算理和算法的貫通也正是借助教材這一媒介來實現。基于此，筆者查閱了北京師范大學出版社義務教育教科書小學數學教材(以下簡稱北師大版)、人民教育出版社義務教育教科書小學數學教材(以下簡稱人教版)和江蘇鳳凰教育出版社義務教育教科書小學數學教材(以下簡稱蘇教版)三個版本教材中關于“分數除法”這一內容的編排，從宏觀和微觀兩個角度進行比較分析，以期為后續(xù)教學路徑的設置與實施提出建議。

一、宏觀比較，強調教材內容邏輯

教材內部編排具有一定的邏輯性，站在宏觀角度審視，才能更有效地理解教材的編排意圖。宏觀比較是指從大的模塊進行比較分析，包括知識銜接和編排結構兩個方面。

1.知識銜接，遵循邏輯層次

數學知識前后銜接緊密，環(huán)環(huán)相扣，具有很強的邏輯性和系統(tǒng)性。各知識點之間的銜接過渡，是保證數學這門學科邏輯完整性的關鍵。以“分數除法”單元為例，現對三個版本教材從知識銜接的角度進行比較分析，情況如表1。

表1 三個版本教材前后知識銜接

在學習“分數除法”之前，需提前學習分數的基本知識，包括分數的認識及意義，分數的加減法、分數的乘法等等。北師大版教材將“分數除法”這一內容安排在五年級下學期，而人教版和蘇教版則將這一單元內容安排得比較晚，放在了六年級上學期。從表1中，我們看到三個版本教材在知識的前后銜接上是一致的，都遵循了從淺到深、步步深入的邏輯。當然，三個版本教材也存在一定的區(qū)別，人教版教材將倒數的認識設置在了本單元，蘇教版的教材將比的內容設置在了本單元，而北師大版教材則將倒數的認識安排在了分數乘法一單元中，將比的認識安排在了六年級上學期。

2.編排結構，彰顯邏輯規(guī)律

教材在編排設計的時候，主要遵循“一體化”原則。為使教材一體化，需從實現教學目標的全局出發(fā)，依據知識體系的內在聯(lián)系與學習規(guī)律，按不同的層次編排教材。以“分數除法”單元為例，從編排結構來看，三個版本的教材都充分體現了知識體系的連貫性、邏輯性，尊重知識體系編排的螺旋上升規(guī)律，體現了單元整體教學理念(詳見表2)。

表2 三個版本教材分數除法單元內容設置及課時安排

從表2中，我們發(fā)現北師大版教材在解決分數除法時編排了6個課時；人教版教材編排了11個課時，其中“用方程解決實際問題”里又劃分為4種類型，劃分的層次比較細，步步深入地引領學生去感悟、理解不同情況下用方程解決的分數問題；蘇教版編排了13個課時，拋開比的內容不看，只看分數除法部分，劃分得更細，將“一個數除以分數”分解成“整數除以分數”和“分數除以分數”兩個部分，與北師大版和人教版相比，還多了“分數連除和乘除混合運算”這一模塊。

在“一個數除以分數”模塊中，北師大版教材只列舉了分數除以分數單位這一類型，就總結出“除以一個數相當于乘這個數的倒數”；人教版則是從一個數除以非分數單位的分數入手，通過兩個例子總結出“除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數”；蘇教版教材編排的相對比較細致，具有一定的層次性，先從整數除以分數單位，再進一步擴展到整數除以非分數單位的分數，從特殊到一般，通過兩個例子，總結出“整數除以分數，等于整數乘這個分數的倒數”，最后再過渡到分數除以分數，進而總結出“甲數除以乙數(0除外)，等于甲數乘乙數的倒數”。

二、微觀比較，促進算理算法貫通

算理是計算的本質，而算法是抽象概括的。算法探究過程的每一次抽象與創(chuàng)造都是算理的無形內化，需要精心設計，才能促進算理的深層感悟與算法的有效生成，實現算理和算法的相互交融。[3]微觀比較是指系統(tǒng)學習“分數除法”時教材內容的比較，包括情境的設置、表征方式的運用、活動經驗的積累以及數學思想的滲透四個方面。

1.創(chuàng)設情境，來源生活高于生活

小學生的學習是基于情境的。教材根據不同地區(qū)學生發(fā)展的需要，設計了多樣化的情境，不但能夠提高學生的學習興趣、精準解決問題，而且有利于學生體會數學與生活的密切聯(lián)系，同時也有利于學生認識數學的產生與發(fā)展的過程。三版本教材在使用情境種類及次數情況如表3。

表3 各版本教材使用的情境及次數

從表格中，我們可以看到，三個版本的教材在本單元設置時，能夠結合學生的生活，設計貼合學生實際情況的情境，做到“數學來源于生活并高于生活”。但同時，我們也發(fā)現，沒有一個版本的教材做到從始至終有一個完整的情境，做的相對比較好的是蘇教版的教材，“分果汁”的情境在本單元教學中使用了4次，頻率相對比較高。

2.運用表征，達成算理算法融通

華羅庚說過：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微”。多元表征的有效利用，有利于學生從多角度深入理解數學知識的本質，使抽象問題具象化、復雜問題簡單化、學生的思維可視化。經過比較分析，梳理出三版本教材所使用的表征方式的類型及概述如表4。

表4 表征方式的類型

三個版本的教材都運用了圖形表征、符號表征、算式表征和文字表征。其中，北師大版教材用圖形表征貫穿分數除法始終，借助圖形表征，將分數除法的算理直觀形象、清晰明了地呈現出來，適切地將算理和算法融會貫通，在幫助學生理解算理方面起到了很有效的作用；人教版教材在“分數除以整數”這一模塊時，只運用了圖形表征，而在“一個數除以分數”這一模塊時，則只運用了符號表征；蘇教版教材的幾個課時，既運用了圖形表征又運用了符號表征。三個版本的教材都注重運用多元表征的方式引領學生理解分數除法的含義。

3.積累經驗，強調主體參與感受

設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發(fā)生發(fā)展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑。[4]三版本的教材都注重學生活動經驗的積累，通過分一分、畫一畫、涂一涂、寫一寫、算一算等一系列操作活動，引領學生在親身體驗和感受的過程中，感悟分數除法的含義，打通分數除法算理和算法的內在聯(lián)系。

4.滲透思想，促進核心素養(yǎng)形成

數學知識是數學思想方法的載體，數學思想方法是對數學知識的進一步提煉概括。[5]三版本的教材在解決問題模塊都適切地滲透了方程思想；在分數除法含義的理解上都是將分數除法轉化為分數乘法，滲透了轉化思想。另外，人教版教材還借助速度模型思想幫助學生理解“一個數除以分數”的含義。三版本的教材將數學思想蘊涵在數學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括[4]，有利于促進學生核心素養(yǎng)的形成。

三、教學建議

通過對三個版本教材在宏觀和微觀兩個方面的比較研究，結合筆者所在學校使用的北師大版教材，依據學生思維水平和認知結構的特點，對本單元整體教學提出以下建議：

1.立足“四大”，貫通知識內部聯(lián)系

本單元教學以“分數除法的含義”這一“大概念”為核心，將本單元的內容重新整合，從單元整體教學的“大格局”出發(fā)，創(chuàng)設貼近學生生活、能夠融入整個單元的“折紙活動”為“大情境”，以“為什么一個數除以分數等于乘這個數的倒數”這一“大問題”為任務驅動，打通知識間的內在聯(lián)系，構建知識網絡體系。

2.遵循邏輯，重新設置課程模塊

以三版本教材的編排情況為出發(fā)點，以學生思維發(fā)展水平為起點，以兒童學習規(guī)律為依據，以教學內容邏輯層次為原則，本單元教學重新設置課時結構，共分為“分數除以整數”、“整數除以分數”、“分數除以分數”以及“用方程解決有關分數的問題”4個模塊開展教學，有利于幫助學生系統(tǒng)地建立知識體系，實現知識螺旋上升。

3.基于學情，重構整數除以分數

實際課堂教學中發(fā)現，學生對“整數除以分數”這一內容困難重重，基于此，將這一課進一步細分為整數除以分數單位和整數除以非分數單位的分數兩個課時開展教學，更有利于學生對分數除法算理的理解和算法的運用。

4.多元表征，促進算理算法融通

三版本教材中都有用到圖形表征、符號表征、算式表征、文字表征等表征方式。圖形表征的直觀性強，貼近學生思維發(fā)展水平，有利于引領學生感知算理；抽象的文字表征和簡潔的算式表征與直觀的符號表征結合在一起，更有利于打通算法之間的內在聯(lián)系，進一步幫助學生理解算理，實現算理與算法的融會貫通。

綜上所述，分數除法單元遵循教材內容邏輯，從學情出發(fā)，以大概念為核心，立足大格局，創(chuàng)設大情境，圍繞大問題，運用多元表征融通算理與算法之間的內在聯(lián)系，重新整合教學內容，構建清晰的單元學習路徑。