基于新課程標準的高中數學建模教學認知與策略

■ 廣東省佛山市三水區實驗中學 李 安

數學家、數學教育家Hans.Freudenthal指出：學數學就是學習數學化，教數學就是教會學生數學化。數學建模是一種很重要的水平數學化。在新課程標準理念下，有效開展數學建模教學，是高中數學新課程目標和內容的重要要求，是學科育人和創新人才培養的有效載體，是培養學生應用意識、合作精神、價值觀念和問題解決能力的跨學科融通載體。但現實中教師對數學建模教學的認知堪憂。

一、高中數學建模教學存在的問題

（一）教學設計缺乏整體把握和研究

新課程改革越來越重視數學建模活動，但教師對數學建模教學內容的設計缺乏整體把握和研究，在課堂教學中只是適當開展數學建模教學，其教學內容設計基本是依照教材的實際情境直接給出數學模型、應用數學方法求解模型，其實質是“已知數學模型進行數學求解”，相當于單純而機械的解題操練，沒有呈現數學建模教學的整體設計，難以培養學生的建模素養。

（二）缺乏建模的全過程教學

《普通高中數學教科書》2019人教A版把“數學建模”編為必修和選擇性必修課程內容，而且設置有專門的數學建模案例以呈現數學建模全過程教學。例如，人教A版（2019年）《數學》必修第一冊第162頁“建立函數模型解決實際問題”，此案例完整的展現了建模全過程的整體統一。但在教學中，多數教師還是沿用解決實際應用題的方式進行數學建模教學，少數教師雖關注建模教學的過程，但在教學過程中忽視實際情境、發現和提出問題、數據的收集與處理，忽視模型的檢驗與改進，重視模型的建立和求解，缺乏建模的全過教學。數學建模教學要注重建模的全過程教學，不能以解決實際情境問題的短期應試效應來設計教學內容，而忽視對學生建模素養培養的長期效應。

（三）缺乏跨學科融合與智能計算思維

數學是一切學科的基礎。物理、化學、生物、地理、工程學、建筑學、信息學都離不開數學。但多數教師對實際情境問題的分析和模型的假設還局限在純數學上，沒有融合其他學科的知識，缺乏數學與現實問題及相關學科知識相融合的思維。教科書中設置的數學建模案例中經常會出現“由信息技術得”“用信息技術計算”等語句，其意是在數學建模教學中要借助信息技術和智能計算完成數據的收集和處理。但現實數學建模教學中，多數教師習慣紙筆運算或計算器運算。

二、基于新課程標準的高中數學建模教學認知

數學建模過程主要包括在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。數學建模六個過程的整體統一，突顯了數學建模的全過程教學，體現了數學建模的綜合教育價值。開展建模的全過程教學逐步實現數學建模素養的提升：對現實情境問題能用數學語言表達現實世界，發現和提出問題；對文字、圖表、數據等信息進行分析、整理并建立模型；利用數據確定假設模型中的參數，通過計算求解得出數學模型；根據問題的實際意義檢驗結果，利用其他信息對模型作出改進、完善，并應用模型對現實問題進行解釋、預測。學生通過參與數學建模活動的全過程，不僅感悟到數學與現實之間的關聯，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗，而且學習方式也能得到切實的轉變，能以多樣化的方式開展學習與實踐活動，提升了跨學科思維和信息素養，增強了創新意識和科學精神。

信息化和智能化高速發展必將帶來跨學科融合研究，數學建模教學突顯了多學科融合特點，關注不同領域知識的融通。高中學科中物理的運動力學、天體運動，化學的晶體結構、電子模型，生物學的遺傳規律、DNA模型，地理的遙感定位等都是數學建模與跨學科研究的主題。另外，工程學、建筑學、信息學、大學數學建模競賽都有明顯的跨學科內容。除此以外，現代生活、經濟、科學、工程技術等很多領域無不融入數學建模，跨學科融通已經成為數學建模的重要特征。

數學建模的實質是從“現實世界”到“數學世界”的轉化過程，利用數學的解回答現實世界提出的問題，并為現實世界提供科學的推斷或預測。現實世界中的數據量多且復雜，收集、整理數據需要智能軟件和信息技術；利用數據確定假設模型中的參數，通過計算求解得出數學模型，根據問題的實際意義檢驗結果都需要大量的數據計算，把信息技術和智能計算融入數學建模教學，促使數學建模教學向更加廣闊的空間邁進。張思明老師曾提出利用數字工具（如計算機工具）并結合數學方法求解數學模型，是建模循環中一個重要的步驟（如圖5）。

三、高中數學建模教學策略

（一）注重價值引領是數學建模教學的核心

數學建模主要是解決現實世界遇到的生活、生產實踐問題，而生活、生產實踐往往涉及中華優秀文化、國家建設、經濟發展、社會生產等，能引導學生關注中華優秀文化、社會熱點和社會主義建設成果，增強民族自豪感，培育學生的核心價值觀。“南水北調”工程是集生態、經濟和社會于一體的國家戰略性工程，輸水槽是“南水北調”的控制性工程之一。教學中設計了“輸水槽橫截面形狀對水流量大小影響”的建模教學案例，水槽橫截面周長一定時，橫截面形狀是影響水流量的關鍵因素，基于生活經驗和幾何知識學生設計出如圖6所示的水槽橫截面圖。數學建模是為了解釋為什么出現這種規律進而作出模型假設，參數的設置是依據真實發生的數據更好地衡量現實問題變化的影響要素，模型的求解、檢驗和改進是依據數學運算、數據分析、邏輯推理等更好地衡量變化趨勢的準確程度，應用模型對現實問題進行科學推斷或預測，使得現實問題發展的結果可測、可控，對未知的世界提出更好的方案和科學的預測，解釋及預測是數學建模教學的價值旨向。輸水槽橫截面周長一定時，橫截面形狀為什么是影響水流量的關鍵因素，將實際問題情景理想化而做出模型假設：假定水流速度是一定的，那么，要在單位時間內獲得最大的流水量，就應該將水槽設計成橫截面面積最大，而截面面積又與截面周長有關，基于實際可再假定橫截面的周長a一定（圖6中各橫截面圖形的實線段之和為定值a）。這樣的話就可以設置參數建立截面面積S的數學模型，應用數學運算（信息技術和智能計算）、數據分析、邏輯推理得出把截面設計為半圓形時，單位時間內獲得最大水流量。這與在生活中同學們觀察到的輸水槽橫截面形狀大多為半圓形是一致的。同時，通過對模型的求解、檢驗和改進，學生體驗到當n越大截面的面積也越大，n趨近于+∞時橫截面就趨近于半圓，從而科學解釋了通常情況下水槽的形狀設計為半圓形的原因。

圖6 水槽橫截面形狀示意圖

（二）教師的專業素養和認知是數學建模教學的保障

（三）實切的問題情境是數學建模教學的基礎

高中數學建模教學是培養學生建模素養的重要途徑，實切的問題情境能促進學生提出更為全面、更有價值的問題，激發學生學習的興趣，又能培養學生的開放思維，提高學生的實踐和創新能力。生產、生活實踐中真實發生的、切合學生生活的情境問題是開展數學建模教學的基礎。學生在生活和實踐中會發現、體驗大量的數學建模案例，比如學校建筑物的高度、高中生的身高與體重的關系、汽車安全停車距離、輸水槽橫截面的形狀、廣場停車場優化問題、社會核酸檢查點的位置規劃、共享單車停放點的規劃、洗衣服漂洗次數問題、泡茶所用水溫與茶的口感問題……只要我們善于觀察、思考，就能發現生活、實踐中有很多實切的情境問題。