圓系方程的巧妙應用

■江蘇省張家港中等專業(yè)學校 龔 瑜 韓文美

我們把具有某一共同性質的所有圓的集合叫作圓系,它的方程叫作圓系方程。相比于圓的標準方程或圓的一般方程,圓系方程更加直接,體現(xiàn)圓的相關性質,同時所含的參數(shù)較少,可以有效減少數(shù)學運算量,優(yōu)化解題過程,使得問題迅速獲解。理解并掌握一些常見的圓系方程,可以開拓解題思路,優(yōu)化解題過程。

1.同心的圓系方程

與圓(x-a)2+(y-b)2=r2同心的圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ＞0);與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0(λ∈R)。

例1經過點M(2,-2)且與圓x2+y2+2x-4y+4=0同心的圓的方程為_____。

分析：根據(jù)題設條件,設出同心的圓系方程,直接根據(jù)已知點在所求的圓上,借助點的坐標代入所設的圓的方程,結合方程的構建并通過待定系數(shù)法確定參數(shù)λ的值,進而得到所求圓的方程。

解：設所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+λ=0。

把點M(2,-2)代入,可得22+(-2)2+2×2-4×(-2)+λ=0,解得λ=-20。

所以所求圓的方程為x2+y2+2x-4y-20=0。

點評:此類問題的常規(guī)解法是根據(jù)圓的一般方程進行配方處理,確定圓心坐標,結合圓心與圓上點的兩點間的距離公式來確定圓的半徑并求解。而借助同心的圓系方程的構造,求解目標更加明確,合理利用待定系數(shù)法并結合題設條件來分析與求解,處理起來更加簡捷方便。

2.過圓上一定點的圓系方程

所求圓的方程為x2+y2+2x+2y-8=0。

點評:此類問題的常規(guī)解法是利用圓的一般方程進行待定系數(shù)法處理,利用求解三元一次方程組來分析與求解。而借助過圓上一定點的圓系方程的構造,相比圓的一般方程而言,可以適當減少參數(shù)的引入,在一定程度上優(yōu)化數(shù)學運算過程,使問題分析與處理得更加方便快捷。

3.過直線與圓的交點的圓系方程

過直線Ax+By+C=0 與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)。

例3(2022～2023 學年廣西欽州市高二上學期期末數(shù)學試卷)已知直線l:x-2y+4=0與圓C:x2+y2+2x+2y-8=0相交于A,B兩點,則經過A點和B點且面積最小的圓的方程為____。

分析：根據(jù)題設條件,設出經過直線與圓交點的圓系方程,利用二元二次方程的整理與配方,從幾何思維視角,結合圓心坐標的確定,借助圓心經過直線l來保證所求圓的面積最小;從函數(shù)思維視角,利用半徑平方的關系式的構建,通過配方處理,利用二次函數(shù)的圖像與性質來確定半徑的最小值。

所求圓的方程為x2+y2+4x-2y=0。

點評:此類問題的常規(guī)解法是聯(lián)立方程組,通過確定直線與圓的交點坐標,利用線段AB為所求圓的一條直徑時滿足條件來分析并求解。而借助過直線與圓交點的圓系方程的構造,結合題設條件加以分析與處理,目標更加明確,處理起來更加快捷,思維方法更多樣。

4.過兩圓交點的圓系方程

過兩圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圓系方程不包括圓C2。

例4(2022～2023 學年河北省保定市定州市高二上學期期末數(shù)學試卷)已知圓C1:x2+y2=10與圓C2:x2+y2+2x+2y-7=0,則經過兩圓的交點,且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程為____。

分析：根據(jù)題設條件,設出經過兩圓交點的圓系方程,利用關系式的變形與轉化,結合配方法確定對應圓的圓心,代入相應的直線方程即可確定相關參數(shù)的值,進而求解相應的圓的方程。

點評:此類問題的常規(guī)解法是聯(lián)立方程組確定相應的兩圓的交點坐標,利用交點弦的中垂線方程求解,并與對應直線方程聯(lián)立來確定圓心坐標,進而得以求解相應圓的方程。而借助過兩圓交點的圓系方程的構造,可以回避二元二次方程組的求解與交點坐標的確定,減少數(shù)學運算量。而在圓系方程的構造與應用時,要注意方程的變形與轉化的準確性。

5.與圓切于圓上一定點的圓系方程

與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0切于圓上一定點P(x0,y0)的圓系方程為(xx0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(λ≠-1)。

例5(2022～2023學年江蘇省南京市雨花臺中學高二10月份月考數(shù)學試卷)過點A(1,4),且與已知圓M:x2+y2-6x-2y+5=0切于點B(1,2)的圓C的方程為____。

分析：根據(jù)題設條件,設出與圓切于圓上一定點的圓系方程,利用已知點在所求的圓上,把定點的坐標代入所設的圓的方程,結合方程的構建并通過待定系數(shù)法確定參數(shù)λ的值,從而求解所求圓的方程。

點評:此類問題的常規(guī)解法是根據(jù)圓的一般方程進行配方處理,確定已知圓的圓心坐標,利用已知圓的圓心與切點的連線,再利用切點與圓上已知點的中垂線,聯(lián)立直線方程來確定所求圓的圓心,進而分析與處理。而借助圓系方程的構造,通過待定系數(shù)法來處理,直接簡單。

在解決圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系等相關問題時,借助圓系方程的巧妙構建,更加直接地建立具有特殊性質的圓的方程,可以很好地優(yōu)化解題過程,減少數(shù)學運算量,效果事半功倍。