“數學教學的關鍵”與教師的專業成長
——中學視角下的“數學教學的關鍵”（8）

鄭毓信

（南京大學哲學系）

我們將基于先前關于數學教學的五個關鍵的分析指明其對于教師專業成長的啟示意義.由于這事實上可被看成相關思想的一個具體應用，從而也就更清楚地表明了它們所具有的普遍意義，即如我們應當高度重視由“局部性認識”向“整體性認識”的過渡，清楚認識“總結、反思與再認識”的重要性等，我們并應努力提升自身在這些方面的自覺性.

第一，從實踐的角度來看，這應當說是最核心的一個思想，即是我們應當清楚地認識“抓好關鍵”的重要性，而不應在教學中平均使用力量.

這直接關系到了“新手教師”如何能夠更快地成長為“合格教師”.因為，這正是前者的普遍特征，即對于自己如何能夠上好課有很強的焦慮感，而造成這一現象的主要原因就是認為所有的教學內容、所有與教學有關的方面都很重要，從而在時間和精力都有限的情況下就不知道應當如何去做……與此相對照，所謂“抓好關鍵”，就是指我們應當通過“分清主次，抓好重點，以主帶次”在教學中取得真正的主動.

由國外的相關研究我們可以更好地認識做好這一工作的重要性.就筆者而言，這還可以說是一個意外的發現：由于我們關于“數學教學的關鍵”的研究主要可以被看成一項“土生土長”的工作，也即完全立足于自身的工作.因此，筆者就完全沒有想到國外也會有相似的研究，盡管兩者所使用的詞語并不相同，具體內容也有不小的區別.

具體地說，這是前面已經提及的《數學教育研究手冊》中的一篇文章：K-12數學教學核心實踐的研究.盡管這里所使用的“核心實踐”這一字眼對我們來說較為陌生，但由相關論述可以看出，后者大致就相當于我們所說的“數學教學的關鍵”.我們還可以由以下論述更好地認識深入開展這方面研究的重要性：教學中核心實踐的研究是一種相對較新又很有前途的、幫助我們理解和改進教學的方式；將教學分解為核心實踐的工作已經有了很大的發展……我們覺得將數學教學研究的討論建立在核心實踐工作的基礎上是富有成效的.

文中還特別強調了這樣一點：從觀察中學到什么取決于關注到了什么.由此可見，就只有對“什么是數學教學的關鍵”有清楚的認識，我們才可能通過有針對性的學習，包括教學觀摩和向同行學習，在專業上有更大的收獲，并將自己的數學課講得更好.

相關作者在對上述斷言進行論證時還采用了這樣一個論證方式，即關于中美數學教師的對照比較：相比中國教師，美國教師更傾向于對與一般教學問題有關（如課堂結構、呈現方式和動機策略）的視頻片段進行評論.相反地，中國教師更傾向于對其中的數學內容和與教學內容知識有關（如學生的理解，學生對于內容的困難和如何克服這些困難）的視頻進行評論.這些在教學關注上的差異反映了兩國教師培養和學校組織上的差異，中國的小學教師更有可能是數學專業的，而且在內容領域受過很強的訓練.由此可見，切實抓好數學教學的“關鍵”或“核心實踐”事實上也就可以被看成中國數學教學傳統的一個重要組成成分.

當然，作為“抓好關鍵”這一思想的具體應用，在此又可提出這樣一個問題：我們能否對所說的“五個關鍵”做出進一步壓縮，即進一步指明數學教學工作的真正“核心”？

事實上，先前的分析已對此提供了明確解答，后者是指我們的全部教學工作都應集中于這樣兩個關鍵詞——“引”和“思”.值得指出的是，從同一角度去分析，我們也可更好地理解這樣一個事實，即是“K-12數學教學核心實踐的研究”為什么會集中于這樣兩個主題：在本章中，我們聚集于以學生思維為中心的、與K-12數學課堂教學交互部分有關的核心實踐.

第二，作為一線教師，我們又應特別重視“實踐的觀點”，也即應當堅持從教學實踐的立場去分析和思考各種問題.

這就是我們通常所說的“實踐的觀點（立場）”的一個基本含義，即對于“理論之上”的明確反對.特別是，我們不應僅僅關注如何能在教學實踐中很好地去應用各種理論，而且也應高度重視如何能夠對此進行解讀（實踐性解讀），包括必要的檢驗和發展.

這事實上也可被看成筆者由“K-12數學教學核心實踐的研究”獲得的又一重要啟示，即相對于“何者可以被看成數學教學的核心實踐”而言，我們應當更加重視這樣一個更高層次的思考，即應當按照什么標準對“核心實踐”做出判斷.以下就是這一文章中明確提及的一些方面：核心實踐應是“教學中經常發生的實踐”，更應是“新手教師可以掌握的實踐，能夠讓新手教師更多地了解學生和教學的實踐”.我們建議用一種實用主義的視角看待高影響力的實踐：哪些實踐——在什么樣的尺度下——有可能給予我們更大的動力促進針對特定受眾的教和學？

相關作者在文中還明確提出了這樣一個建議：首要目標不是達成對核心實踐的共識，而是核心實踐的想法能夠成為改進該領域的工具.顯然，這與我們在這方面的基本立場也是完全一致的.特別是，相對于建立這方面的一個完整清單而言，我們應當更加重視如何能以相關研究為指導去改進教學，包括如何能夠針對具體的教學內容、教學情境與學生的具體情況（以及自身的個性特征）做出恰當的選擇.

這事實上可被看成教學活動綜合性與復雜性的一個直接結論：數學教學需要的不僅僅是某些特定實踐的熟練度，還需要考慮這些實踐作用的情境——這些學生是誰，以及影響學生作為學習者的身份和經驗的學校制度.進而，這顯然也就更為清楚地表明了教學工作的創造性.筆者在這方面有一個強烈的信念：只要做出適當的選擇，并能持之以恒，包括認真總結與深入研究，我們就一定可以在教學工作中做出更好的成績，并更好地實現自己的專業成長.

第三，堅持獨立思考，而不應盲目地追隨潮流.

這事實上也是我們一直強調的一點，即面對各種理論觀點，包括所論及的“數學教學的各個關鍵”，我們都應認真地去思考：相關主張是否真有道理？實踐中又如何才能很好地落實？

除此以外，我們還應跳出已有的框架，并從更廣泛的角度去發現問題、思考問題.例如，依據相關分析我們可以對以下問題做出自己的判斷，即究竟什么可以被看成教師工作的適當定位，包括這樣一個相關的論述：教師是數學學習的組織者、引導者與合作者.特別是，在這三者中究竟何者可以被看成具有特別的重要性？

另外，就總體而言，我們又應特別重視辯證思維的指導，從而防止各種可能的片面性與簡單化.

例如，就“數學教育基本目標”的分析而言，我們就應堅持這樣一個立場，既應從專業立場進行分析思考，又應注意跳出狹隘的學科立場，并采取更加廣泛的分析視角.

筆者以為，這可被看成數學教育最基本的一個矛盾，即同時包含“教育方面”和“數學方面”這樣兩個不同的側面：前者是指數學教育應當充分體現教育的整體目標，并符合教育的一般原則，這集中體現了數學教育相對于一般教育的共同性，后者則是指數學教育也應很好地體現數學的本質，或者說是其相對于一般教育的特殊性.進而，這又可以被看成做好數學教育的關鍵，即我們應當很好地處理這兩者之間的辯證關系，使它們盡量平衡.不難想到，這事實上也可被看成新一輪數學課程改革的相關實踐給予我們的一個重要啟示或教訓.

進而，我們也應通過內在矛盾的分析對數學教學的各個問題做出分析思考，包括很好地體現這樣一個基本立場，即努力做好對立面的適度平衡，而不應片面地強調其中的任何一個方面.

具體地說，以下就是與我們的論題直接相關的一些對立環節或矛盾：教與學，“做”與思，局部與整體，“內”與“外”，個體與群體，等等.應當強調的是，從同一立場我們也可以對現實中經常看到的其他一些主張做出自己的分析與判斷.例如，我們是否應當唯一地強調所謂的“做數學”和“熟能生巧”，或是認為我們就應將“數學經驗的積累”看成數學教育的一個重要目標？

筆者建議還可以聯系自己的教學實踐在這方面做出進一步的思考，包括數學教學中所涉及的其他方面.例如，相對于已論及的各個矛盾而言，盡管以下各個對立面可以被看成屬于不同的層次，但對于我們做好數學教學顯然也有很大的重要性：特殊與一般，具體與抽象，形式與非形式，“多”與“一”，“主”與“次”，“變”與“不變”，“快”與“慢”，等等.特殊地，這顯然也為我們密切聯系教學實踐積極開展教學研究提供了很好的切入點.

第四，我們還可以以相關研究為背景提煉出與專業成長密切相關的另外一些問題，進一步提升自身在這方面的自覺性.

具體地說，依據先前的分析，這顯然就是我們應當認真思考的一些問題：（1）為了切實抓好數學教學的各個關鍵，教師必須具備哪些基本能力（也可稱為“基本功”）？或者說，哪些能力可以被看成對于數學教學具有特別的重要性？（2）什么是數學教師最重要的專業素養？什么又可被看成數學教師實現專業成長的關鍵？

首先，就第（1）小題而言，筆者曾提出過這樣一個觀點，即數學教師必須具備這樣三項基本能力：①善于舉例；②善于提問；③善于比較和優化.顯然，這與我們關于“數學教學的關鍵”的分析也是高度一致的.當然，相關分析又不應被看成已經窮盡了“數學教學能力”的全部內容，恰恰相反，我們應當通過積極的教學實踐和深入的研究對此做出必要的發展，包括內涵的擴展與認識的深化.例如，從現今的角度來看，我們顯然就應將“善于數學的交流與互動”看成數學教師必須具備的又一基本能力，包括從專業角度對其內涵做出具體的分析.另外，依據先前的分析，我們在此顯然又應特別強調這樣一點，即對于通常所說的“基本能力”，我們都應看成一種“實踐性智慧”.也正因如此，相對于單純的理論學習而言，我們就應更加重視如何能夠依據具體的教學情況和自己的個性特征靈活地加以應用，包括由此而獲得的更加細致、更加深入的體會與感悟.

其次，依據上述分析我們顯然也可對“什么是數學教師最重要的專業素養”做出自己的概括.當然，從宏觀的角度來看，我們應做出如下的必要補充：我們不僅應對教學活動有很好的了解，也應很好地了解學生、了解教學，或者更恰當地說，應當通過積極的教學實踐很好地實現這三者的必要整合.

再次，筆者以為，這可以被看成數學教師實現專業成長的關鍵：樂于思考，勤于思考，善于思考.因為，如果教師本身不善于思考，也不愿意思考，如在教學中總是照本宣科，更會聽任情感主導自己的行為，乃至十分任性地處事，那么，要期望通過他的教學提升學生的核心素養，特別是促進學生思維的發展，顯然就只是一句空話.進而，這無疑也可被看成我們如何能夠做好理論學習與教學研究的關鍵，包括很好地弄清各種理論，他人經驗對于我們改進教學的啟示，什么又可被看成是進一步研究工作的方向，等等.總之，這也就如優秀小學青年教師宋煜陽所指出的，一切創新，思考先行.行之于對外來信息的獨立判斷，行之于對實際問題的追溯改進，行之于對自我意志的百般錘煉.

以下就是這方面的又一實例：做一個講道理的數學教師.

這是著名小學特級教師羅鳴亮老師的一部著作的題目.筆者很喜歡這個題目，因為它可以讓我們認真地去思考這樣一些問題：數學教學為什么要“講道理”？數學教學需要講哪些“道理”？我們在教學中又應如何去“講道理”？

這也集中反映了羅鳴亮老師在這方面的具體體會，即我們如何才能真正做到樂于思考、勤于思考、善于思考.例如，即使在獲獎以后，我們也應讓自己在最短的時間內靜下心來，進行反思、總結……沉下心讀書、思考……每次上完課，不再去關注別人的感受，而是追問自己的內心：課，講出真實的自己了嗎？真情演繹出自己了嗎？跟孩子們交流對話的是真實的自己嗎？還能有更大的突破嗎？同時，為了避免“只從純理論的高度出發，讓教師心悅誠服的同時卻仍不知所措”這樣一個弊病，或是“僅止于神來之筆式的靈感，讓教師拍案叫絕之余卻無從借鑒”，羅鳴亮老師又特別重視帶領年輕教師一起去思考：為了什么？該怎么辦？為什么這么辦？有沒有更優的方案？加上這方面的直接嘗試，從而讓教師聽得明白、說得清楚、講得流暢.

希望廣大一線教師也能對上述問題做出自己的思考.

最后，作為全文的結束，筆者又愿重申這樣三段論述，因為，它們的共同核心都是希望廣大一線教師在這方面表現出更大的自覺性.

這是我們判斷一堂數學課成功與否的主要標準：無論這是一堂什么樣的數學課，其中所涉及的又是什么內容，也無論教師在其中采取的是什么樣的教學方法或教學形式，如果相關教學未能促進學生積極、深入地進行思考，就不能被看成一堂真正的好課.

優秀教師的主要特色不應局限于教學方法或教學模式，而是相關教學是否體現了對于教學內容的深刻理解，反映了他對于學習和教學活動本質的深入思考，以及對于理想課堂與教師自身價值的深刻理解與執著追求.

對于數學教師我們可以區分出這樣三個不同的層次或境界：如果僅僅停留于知識和技能的傳授，你就只是一個教書匠；如果能夠幫助學生通過數學學會思考，你就是一個智者，因為你能給人以智慧；如果能給學生無形的文化熏陶，那么，即使你是一位小學教師，或者身處深山老林、偏僻農村，你也是一名真正的大師，你的生命也將因此而具有真正的價值.

愿大家都能在上述方向做出不懈的努力！